5、19·安徽宣城期末)若實(shí)數(shù)x，y滿足則(x＋1)2＋y2的最小值為( )
A．2 B．
C．8 D．10
答案 C
解析 作出可行域如圖中陰影部分所示，(x＋1)2＋y2的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)(－1，0)的距離的平方，由圖可知，最小值為點(diǎn)(－1，0)到直線x＋y＝3的距離的平方，即2＝8.故選C.
二、填空題
9．已知變量x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最小值是________．
答案 3
解析 畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則直線y＝－x＋經(jīng)過A點(diǎn)時z最小，由得A(1,1)，
所以zmin＝1＋2×1＝3.
10．不等式≥2的解集是_
6、_______．
答案 ∪(1,3]
解析?。?≥0等價于≤0
等價于
等價于－≤x≤3且x≠1.
所以原不等式的解集為∪(1,3]．
11．(2019·江蘇沭陽期中調(diào)研)有下面四個不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；③＋≥2；④≥.其中恒成立的有________個．
答案 2
解析 因?yàn)?(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，①正確；因?yàn)閍(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，所以②正確；當(dāng)a，b同號時，有＋≥2，當(dāng)a，b異號時，＋≤－2，所以③錯誤；ab
7、＜0時，≥不成立．其中恒成立的個數(shù)是2個．
12．已知f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍為________．
答案 [5,10]
解析 解法一：設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，
則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
則解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
解法二：由確定的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
當(dāng)f(－2)＝4a－2b過點(diǎn)A
8、時，取得最小值4×－2×＝5，當(dāng)f(－2)＝4a－2b過點(diǎn)B(3,1)時，取得最大值4×3－2×1＝10，所以5≤f(－2)≤10.
三、解答題
13．已知函數(shù)f(x)＝(a，b為常數(shù))．
(1)若b＝1，解不等式f(x－1)<0；
(2)若a＝1，當(dāng)x∈[－1,2]時，f(x)>恒成立，求b的取值范圍．
解 (1)∵f(x)＝，b＝1，∴f(x)＝，
∴f(x－1)＝＝，
∵f(x－1)<0，
∴<0，等價于x[x－(1－a)]<0，
①當(dāng)1－a>0，即a<1時，不等式的解集為(0,1－a)；
②當(dāng)1－a＝0，即a＝1時，不等式的解集為?；
③當(dāng)1－a<0，即a>1時，
9、不等式的解集為(1－a,0)．
(2)∵a＝1，f(x)>，
∴>?(x＋b)(x＋1)>－1， (※)
顯然x≠－b，易知當(dāng)x＝－1時，不等式(※)顯然成立；
當(dāng)－1－－x＝1－，
∵x＋1>0，
∴＋(x＋1)≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立，故b>－1.
∵x＋b≠0，∴x≠－b，
而－b?[－1,2]，故b<－2或b>1.
綜上所述，b>1.
14．電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：
連續(xù)劇播放
時長(分鐘)
廣告播放
10、
時長(分鐘)
收視
人次(萬)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．
(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？
解 (1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為
即
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分：
(2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z
11、＝60x＋25y.
將z＝60x＋25y變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一組平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時，z的值最大．又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖2可知，
當(dāng)直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，截距最大，即z最大．
解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)．
所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多．
一、選擇題
1．(2019·河北石家莊模擬一)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y的最小值為( )
A．6 B．8
C．4 D．3
答案 C
解析 由約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示．
12、聯(lián)立解得A(－2,2)，化目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y為y＝－＋，由圖可知，當(dāng)直線y＝－＋過A時，直線y＝－＋在y軸上的截距最小，z有最小值為4.故選C.
2．(2019·廣東六校第四次聯(lián)考)若x，y滿足則|x－y|的最大值為( )
A．4 B．2
C．1 D．0
答案 A
解析 不等式組對應(yīng)的可行域如圖中陰影部分所示，令z＝x－y，則y＝x－z，當(dāng)直線y＝x－z經(jīng)過點(diǎn)B(2，－2)時，直線的縱截距－z最小，|－z|＝4，當(dāng)直線過點(diǎn)A(1，－1)時，縱截距－z最大，|－z|＝2，故選A.
3．(2019·安徽合肥第三次質(zhì)檢)若直線y＝k(x＋1)與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則實(shí)
13、數(shù)k的取值范圍是( )
A．(－∞，1] B．[0,2]
C．[－2,1] D．(－2,2]
答案 B
解析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，
直線y＝k(x＋1)過定點(diǎn)A(－1,0)，要使得直線y＝k(x＋1)與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，
則0≤k≤kAC，
∵kAC＝＝2，∴k∈[0,2]．故選B.
4．(2019·河南重點(diǎn)高中4月聯(lián)合質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝2y－3x的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 作出約束條件表示的可行域如圖中陰影區(qū)域所示，
求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
14、由z＝2y－3x，得y＝x＋，平移直線y＝x，
當(dāng)直線z＝2y－3x經(jīng)過點(diǎn)A時，
z＝2×2－3×＝，當(dāng)直線z＝2y－3x經(jīng)過點(diǎn)B時，z＝2×－3×＝－，所以z的取值范圍是.故選A.
5．(2019·河北衡水質(zhì)檢四)設(shè)x，y滿足約束條件則下列恒成立的是( )
A．x≥3 B．y≥4
C．2x－y＋1≥0 D．的最小值為1
答案 D
解析 可行域如圖陰影部分，其中A(2,3)，顯然A，B，C選項(xiàng)都不成立，表示可行域內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)(0,1)的斜率，由圖可得最小值為1，故選D.
6．(2019·福建龍巖質(zhì)檢)已知x>0，y>0，且＋＝，則x＋y的最小值為( )
A．3 B．5
15、C．7 D．9
答案 C
解析 由x＋y＝(x＋1)＋y－1＝[(x＋1)＋y]·1－1＝[(x＋1)＋y]·2－1＝2－1≥3＋4＝7.當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y＝4時取得最小值7.故選C.
7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則實(shí)數(shù)a的取值集合為( )
A．{2，－1} B．{a∈R|a≠2}
C．{a∈R|a≠－1} D．{a∈R|a≠2且a≠－1}
答案 D
解析 不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由z＝－ax＋y得y＝ax＋z，若a＝0，直線y＝ax＋z可化為y＝z，此時取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個滿足條件．若a>0，則直
16、線y＝ax＋z的縱截距最大時，z取得最大值，若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則a≠2.若a<0，則直線y＝ax＋z的縱截距最大時，z取得最大值，若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有且只有一個，則a≠－1.故選D.
8．設(shè)0(ax)2的解集中的整數(shù)恰有4個，則的取值范圍為( )
A．(3,4] B．(3,4)
C．(2,3] D．(2,3)
答案 A
解析 整理不等式得[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0，因?yàn)檎麛?shù)解只有4個，且1＋a>0，可得1－a<0，所以a>1.其解集為，又0
17、整數(shù)只有4個，則－4≤<－3，所以∈(3,4]．
二、填空題
9．若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈(0,1]恒成立，則a的取值范圍是________．
答案 [－5，＋∞)
解析 由題意得，a≥－，設(shè)f(x)＝－，x∈(0,1]，則只要a≥f(x)max，由于函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f(1)＝－5，故a≥－5.
10．(2019·河北衡水中學(xué)模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足且m＝，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．
答案 [2,7]
解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．
m＝
＝＝1＋3·，可看作(x，y)與(－1，－1)連線的
18、斜率，觀察圖象可知，
kPC≤≤kPB，即≤≤2，所以2≤m≤7.
11．已知正數(shù)a，b滿足a2＋ab－3＝0，則4a＋b的最小值為________．
答案 6
解析 因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a2＋ab－3＝0，
所以3a·(a＋b)＝9，
則4a＋b＝3a＋(a＋b)≥2＝2＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)3a＝a＋b時等號成立．
此時由解得
所以4a＋b的最小值為6.
12．某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100
19、元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A，B的利潤之和的最大值為________元．
答案 216000
解析 設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A，B分別為x，y件，利潤之和為z元，那么 ?、?
目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y，二元一次不等式組①等價于 ?、?
作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分．
將z＝2100x＋900y變形，得y＝－x＋，當(dāng)直線y＝－x＋經(jīng)過點(diǎn)M時，z取得最大值．
解方程組得點(diǎn)M(60,100)．
所以當(dāng)x＝60，y＝100時，zmax＝2100×60＋900×100＝2
20、16000.
故生產(chǎn)產(chǎn)品A，B的利潤之和的最大值為216000元．
三、解答題
13．某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個增壓站的費(fèi)用為400萬元，鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費(fèi)用為(x2＋x)萬元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元．
(1)試將y表示成x的函數(shù)；
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少？
解 (1)設(shè)需要修建k個增壓站，
則(k＋1)x＝240，即k＝－1.
所以y＝400k＋(k
21、＋1)(x2＋x)
＝400＋(x2＋x)＝＋240x－160.
因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，所以0
2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第一部分 刷考點(diǎn) 考點(diǎn)六 不等式及線性規(guī)劃 理
