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1、復(fù)變函數(shù)論試題庫梅一A111復(fù)變函數(shù)考試試題（一）1、 _.（為自然數(shù)）2. _.3.函數(shù)的周期為_.4.設(shè)，則的孤立奇點有_.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是_.7.若，則_.8._，其中n為自然數(shù).9. 的孤立奇點為_ .10.若是的極點，則.三.計算題（40分）：1. 設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2. 3. 設(shè)，其中，試求4. 求復(fù)數(shù)的實部與虛部.四. 證明題.(20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值.復(fù)變函數(shù)考試試題（二）二
2、. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則2.設(shè)，則_.3. _.（為自然數(shù)） 4. 冪級數(shù)的收斂半徑為_ .5. 若z0是f(z)的m階零點且m0，則z0是的_零點.6. 函數(shù)ez的周期為_. 7. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.8. 設(shè)，則的孤立奇點有_.9. 函數(shù)的不解析點之集為_.10. .三. 計算題. (40分)1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2. 在復(fù)平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3. 計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4. 求 .四. 證明題. (20分)1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域
3、D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復(fù)變函數(shù)考試試題（三）二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則f(z)的定義域為_.2. 函數(shù)ez的周期為_.3. 若，則_.4. _.5. _.（為自然數(shù)）6. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.7. 設(shè)，則f(z)的孤立奇點有_.8. 設(shè)，則.9. 若是的極點，則.10. .三. 計算題. (40分)1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑.3. 算下列積分：，其中是. 4. 求在|z|1內(nèi)根的個數(shù).四. 證明題. (20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么
4、它在內(nèi)為常數(shù).2. 設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當時，證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。復(fù)變函數(shù)考試試題（四）二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則.2. 若，則_.3. 函數(shù)ez的周期為_.4. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_5. 若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是_.6. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_.7. 設(shè)，則.8. 的孤立奇點為_.9. 若是的極點，則.10. _.三. 計算題. (40分)1. 解方程.2. 設(shè)，求3. . 4. 函數(shù)有哪些奇點？各屬何類型（若是極點，指明它的階數(shù)）.四. 證明題. (2
5、0分)1. 證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.2. 證明方程在內(nèi)僅有3個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（五）二. 填空題.（20分）1. 設(shè)，則.2. 當時，為實數(shù).3. 設(shè)，則.4. 的周期為_.5. 設(shè)，則.6. .7. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_。8. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.9. 的孤立奇點為_.10. 設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三. 計算題. (40分)1. 求復(fù)數(shù)的實部與虛部.2. 計算積分：，在這里L(fēng)表示連接原點到的直線段.3. 求積分：，其中0a1.4. 應(yīng)用儒歇定理求方程，在|z|1內(nèi)根的個數(shù)，在這里在上解
6、析，并且.四. 證明題. (20分)1. 證明函數(shù)除去在外，處處不可微.2. 設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個數(shù)R及M，使得當時，證明:是一個至多n次的多項式或一常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題（六）1.一、 填空題（20分）1. 若，則_.2. 設(shè)，則的定義域為_.3. 函數(shù)的周期為_.4. _.5. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.6. 若是的階零點且，則是的_零點.7. 若函數(shù)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是_.8. 函數(shù)的不解析點之集為_.9. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10. 公式稱為_.二、 計算題（30分）1、.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)
7、的實部與虛部.6、求的值.三、 證明題（20分）1、 方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、 若是的階零點，則是的階極點.計算下列積分（分）(1) ； (2) 計算積分（分）求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分）(1)；(2)設(shè)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定，的值（分）三、證明題設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)（分）試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實常數(shù)（分）試卷一至十四參考答案復(fù)變函數(shù)考試試題（一）參考答案二填空題1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函數(shù)； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三計算題.1
8、. 解 因為 所以 .2. 解 因為 ,.所以.3. 解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi), . 所以.4. 解 令, 則 . 故 , .四. 證明題.1. 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) 若, 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明的支點為. 于是割去線段的平面內(nèi)變點就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周, 故能分出兩個單值解析分支. 由于當從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到 時, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在
9、支割線上岸取正值, 于是可認為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.復(fù)變函數(shù)考試試題（二）參考答案二. 填空題1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 計算題1. 解 .2. 解 令. 則. 又因為在正實軸去正實值，所以. 所以.3. 單位圓的右半圓周為, . 所以.4. 解=0.四. 證明題.1. 證明 (必要性) 令,則. (為實常數(shù)). 令. 則. 即滿足, 且連續(xù), 故在內(nèi)解析.(充分性) 令, 則 , 因為與在內(nèi)解析, 所以, 且.比較等式兩邊得 . 從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2. 即要證
10、“任一 次方程 有且只有 個根”. 證明 令, 取, 當在上時, 有 . .由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相同個數(shù)的根. 而 在 內(nèi)有一個 重根 . 因此次方程在 內(nèi)有 個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（三）參考答案二.填空題.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 計算題.1. 解 .2. 解 . 所以收斂半徑為.3. 解 令 , 則 .故原式.4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內(nèi), 方程只有一個根.四. 證明題.1. 證明 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析,
11、所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) , 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù). 復(fù)變函數(shù)考試試題（四）參考答案.二. 填空題.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函數(shù);6. 亞純函數(shù); 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 計算題.1. 2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 為可去奇點 當時， 而 為一階極點.四. 證明題.1. 證明 設(shè), 在下半
12、平面內(nèi)任取一點, 是下半平面內(nèi)異于的點, 考慮 .而, 在上半平面內(nèi), 已知在上半平面解析, 因此, 從而在下半平面內(nèi)解析.2. 證明 令, , 則與在全平面解析, 且在上, ,故在內(nèi).在上, , 故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個零點, 即原方程在內(nèi)僅有三個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（五）參考答案一. 判斷題.1 6 10.二. 填空題.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亞純函數(shù); 8. ; 9. 0; 10. . 三. 計算題.1. 解 令, 則 . 故 , .2. 解 連接原點及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3. 令, 則. 當時, 故, 且在圓內(nèi)只以為一
13、級極點, 在上無奇點, 故, 由殘數(shù)定理有.4. 解 令 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個根.四. 證明題.1. 證明 因為, 故. 這四個偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題（六）參考答案二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 歐拉公式 三、計算題：1. 解：因為 故.2. 解： 因此 故 .3.解： 4.解： 5解：設(shè), 則. 6解：四、1. 證明：設(shè)則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6. 2.證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù). 3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.14
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