高等數(shù)學練習題(附答案).doc

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1、 高等數(shù)學專業(yè) 年級 學號 姓名 一、判斷題. 將或填入相應(yīng)的括號內(nèi).（每題2分，共20分）（ ）1. 收斂的數(shù)列必有界.（ ）2. 無窮大量與有界量之積是無窮大量.（ ）3. 閉區(qū)間上的間斷函數(shù)必無界.（ ）4. 單調(diào)函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)函數(shù).（ ）5. 若在點可導，則也在點可導.（ ）6. 若連續(xù)函數(shù)在點不可導，則曲線在點沒有切線.（ ）7. 若在上可積，則在上連續(xù).（ ）8. 若在（）處的兩個一階偏導數(shù)存在，則函數(shù)在（）處可微.（ ）9. 微分方程的含有任意常數(shù)的解是該微分方程的通解.（ ）10. 設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導數(shù)，且 , 則為的一個極小值.二、填空題.（每題2分，共20分）

2、1. 設(shè)，則 .2. 若，則 .3. 設(shè)單調(diào)可微函數(shù)的反函數(shù)為, 則 .4. 設(shè), 則 .5. 曲線在點切線的斜率為 .6. 設(shè)為可導函數(shù),則 .7. 若則 .8. 在0,4上的最大值為 .9. 廣義積分 .10. 設(shè)D為圓形區(qū)域 .三、計算題（每題5分，共40分）1. 計算.2. 求在（0，+）內(nèi)的導數(shù).3. 求不定積分.4. 計算定積分.5. 求函數(shù)的極值.6. 設(shè)平面區(qū)域D是由圍成，計算.7. 計算由曲線圍成的平面圖形在第一象限的面積.8. 求微分方程的通解.四、證明題（每題10分，共20分）1. 證明： .2. 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且證明：方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根.高等數(shù)學參考答案一

3、、判斷題. 將或填入相應(yīng)的括號內(nèi)（每題2分，共20分）1. ；2. ；3.； 4. ；5.； 6. ；7. ；8. ；9. ；10.二、 填空題.（每題2分，共20分）1.； 2. 1； 3. 1/2； 4.； 5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.三、計算題（每題5分，共40分）1.解：因為 且 ，=0 由迫斂性定理知： =0 2.解：先求對數(shù) 3.解：原式= = =2 4.解：原式= = = = =4/5 5.解： 故 或 當 時， 且A= （0，0）為極大值點 且 當 時， ， 無法判斷 6.解：D= = = = = = 7.解：令，；則，

4、 8.解：令 ，知 由微分公式知： 四.證明題（每題10分，共20分）1.解：設(shè) =0 令 即：原式成立。 2.解： 上連續(xù)且 0故方程在上至少有一個實根. 又 即 在區(qū)間上單調(diào)遞增 在區(qū)間上有且僅有一個實根. 高等數(shù)學專業(yè) 學號 姓名 一、判斷題（對的打，錯的打；每題分，共分）1.在點處有定義是在點處連續(xù)的必要條件.2. 若在點不可導，則曲線在處一定沒有切線.3. 若在上可積，在上不可積，則在上必不可積.4. 方程和在空間直角坐標系中分別表示三個坐標軸和一個點.5. 設(shè)是一階線性非齊次微分方程的一個特解，是其所對應(yīng)的齊次方程的通解，則為一階線性微分方程的通解.二、填空題（每題分，共分）1.

5、設(shè)則 .2. 設(shè)，當 時，在點連續(xù).3. 設(shè)，則 .4. 已知在處可導，且，則 . 5. 若，并且，則.6. 若在點左連續(xù)，且 ，則與大小比較為 7. 若，則；.8. 設(shè)，則.9. 設(shè)，則.10. 累次積分化為極坐標下的累次積分為 .三、計算題（前題每題分，后兩題每題分，共分）1. ; 2. 設(shè)，求; 3. ;4. ; 5. 設(shè), 求.6. 求由方程所確定的函數(shù)的微分.7. 設(shè)平面區(qū)域是由圍成，計算. 8. 求方程在初始條件下的特解. 四、（分）已知在處有極值，試確定系數(shù)、，并求出所有的極大值與極小值.五、應(yīng)用題（每題分，共分）1. 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比. 已知當速度

6、為時，燃料費為每小時元，而其它與速度無關(guān)的費用為每小時元. 問輪船的速度為多少時, 每航行所消耗的費用最小？2. 過點向曲線作切線，求：（1）切線與曲線所圍成圖形的面積；（2）圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 六、證明題（分）設(shè)函數(shù)在上的二階導數(shù)存在，且, . 證明在上單調(diào)增加.高等數(shù)學參考答案一、判斷題 1.； 2.； 3. ； 4. ； 5.二、填空題1. 36 ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6.；7. ； 8. ； 9. ； 10.三、計算題1. 原式 2. 3原式= 4設(shè) 則 原式= 5 6兩邊同時微分得： 即 故 （本題求出導數(shù)后，用解出結(jié)果也可）7 8原方程可化為 通解

7、為 代入通解得 故所求特解為： 四、解： 因為在處有極值，所以必為駐點故 又 解得： 于是 由 得 ，從而 ， 在處有極小值 ，在處有極大值 五、1.解：設(shè)船速為，依題意每航行的耗費為 又 時， 故得， 所以有， 令 ， 得駐點 由極值第一充分條件檢驗得是極小值點.由于在上該函數(shù)處處可導，且只有唯一的極值點，當它為極小值點時必為最小值點，所以求得船速為時，每航行的耗費最少，其值為（元） 2.解：（1）設(shè)切線與拋物線交點為，則切線的斜率為，又因為上的切線斜率滿足，在上即有所以，即 又因為滿足，解方程組 得 所以切線方程為 則所圍成圖形的面積為： （2）圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為： 六、證：

8、在上，對應(yīng)用拉格朗日中值定理，則存在一點，使得 代入上式得 由假設(shè)知為增函數(shù)，又，則,于是,從而，故在內(nèi)單調(diào)增加. 高等數(shù)學試卷專業(yè) 學號 姓名 一、填空題（每小題1分，共10分）1函數(shù)的定義域為_。 2函數(shù) 上點（ ， ）處的切線方程是_。 3設(shè)在可導且，則 _。 4設(shè)曲線過，且其上任意點的切線斜率為，則該曲線的方程是_。 5_。 _。 7設(shè)，則_。 8累次積分化為極坐標下的累次積分為_。 9微分方程的階數(shù)為_。 10設(shè)級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù) _。二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的（ ）內(nèi)，（110每小題1分，1117每小題2分，共24分）1設(shè)函數(shù) ，

9、則 （ ） 2 時， 是 （ ） 無窮大量 無窮小量 有界變量 無界變量 3下列說法正確的是 （ ） 若在 連續(xù)， 則在可導 若在不可導，則在不連續(xù) 若在 不可微，則在極限不存在 若在 不連續(xù)，則在不可導 4若在內(nèi)恒有，則在內(nèi)曲線弧為 （ ）. 上升的凸弧 下降的凸弧 上升的凹弧 下降的凹弧 5設(shè)，則 （ ） 為常數(shù) 為常數(shù) 6 （ ） 7方程在空間表示的圖形是 （ ） 平行于面的平面 平行于軸的平面 過軸的平面 直線8設(shè)，則 （ ） 9設(shè)，且 ，則級數(shù) （ ） 在時收斂，時發(fā)散 在時收斂，時發(fā)散 在時收斂，時發(fā)散 在時收斂，時發(fā)散10方程是 （ ） 一階線性非齊次微分方程 齊次微分方程 可分

10、離變量的微分方程 二階微分方程11下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 （ ） 12設(shè)在可導，則至少有一點使 （ ） 13設(shè)在 的左右導數(shù)存在且相等是在 可導的 （ ） 充分必要的條件 必要非充分的條件 必要且充分的條件 既非必要又非充分的條件14設(shè) ，則，則 （ ） 15過點（，）且切線斜率為 的曲線方程為 （ ） 4 4 4 16設(shè)冪級數(shù) 在（）收斂， 則 在 （ ） 絕對收斂 條件收斂 發(fā)散 收斂性與有關(guān) 17設(shè)域由所圍成，則 （ ） ； ； ； . 三、計算題（13每小題5分，49每小題6分，共51分） 設(shè) 求 . 求 . 計算 . 設(shè)，求 . 求過點 （，），（，）的直線方程. 設(shè) ，求 . 計算

11、. 求微分方程 的 通解 . 將 展成的冪級數(shù). 四、應(yīng)用和證明題（共15分） （分）設(shè)一質(zhì)量為的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（ 比例常數(shù)為 ）求速度與時間的關(guān)系。（分）借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當時， 。高等數(shù)學參考答案一、填空題（每小題1分，共10分） （，） 2 （） 三階 發(fā)散二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的（ ）內(nèi)，110每小題1分，1117每小題2分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17三、計算題（13每小題5分，49每小題6分，共51分） 解： 解： 原式 解： 原式

12、- 解：因為 解：所求直線的方向數(shù)為， 所求直線方程為 解： 解：原積分 解：兩邊同除以 得 兩邊積分得 亦即所求通解為 解：分解，得 （ 且 ） （ ） 四、應(yīng)用和證明題（共分） 解：設(shè)速度為，則滿足 解方程得 由t=0定出，得 證：令 則在區(qū)間，連續(xù) 而且當時， 因此在，單調(diào)增加 從而當時， 即當時， 高等數(shù)學專業(yè) 學號 姓名 一、判斷正誤（每題2分，共20分）1. 兩個無窮大量之和必定是無窮大量.2. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必定為連續(xù)函數(shù).3. 在點連續(xù)，則在點必定可導.4. 若點為的極值點，則必有.5. 初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)必定存在原函數(shù).6. 方程表示一個圓.7. 若在點可微，則在

13、點連續(xù).8. 是二階微分方程.9. .10. 若為連續(xù)函數(shù)，則必定可導.二、填空題（每題4分，共20分）. . . 設(shè)，且，則. ，則.三、計算題與證明題（共計60分）.，（5分）； ，（5分）。. 求函數(shù)的導數(shù)。（10分）. 若在上.證明：在區(qū)間和上單調(diào)增加.（10分）. 對物體長度進行了次測量，得到個數(shù)?，F(xiàn)在要確定一個量，使之與測得的數(shù)值之差的平方和最小.應(yīng)該是多少？（10分） . 計算.（5分） 6. 由曲線與兩直線所圍成的平面圖形的面積是多少.（5分）. 求微分方程滿足條件的特解。（5分）. 計算二重積分是由圓及圍成的區(qū)域.（5分）高等數(shù)學參考答案一、判斷正誤（每題2分，共20分）1-

14、5 ， ， ， ， . 6-10. ， ， ， ， .二、填空題（每題4分，共20分） ； ； ； ； .三、計算題與證明題。（共計60分）.= = = = 2. 令 則 同理 3. = 令 則 則 當時 當時 故命題成立。 4.令 則 令 5. = = 6. 7. 方程變形為 而 = 初始條件： 8、 高等數(shù)學專業(yè) 學號 姓名 一、判斷（每小題 2 分，共 20 分）1. f(x)在點x處有定義是f(x)在點x處連續(xù)的必要條件. ( )2. 無窮小量與有界變量之積為無窮小量. ( )3. y=f(x)在x處可導,則y=|f(x)|在x處也可導. ( )4. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必連續(xù). (

15、)5. 可導函數(shù)f(x)的極值點一定是f(x) 的駐點. ( )6. 對任意常數(shù)k,有=k. ( )7. 若f(x)在a,b上可積,則f(x)在a,b上有界. ( )8. 若f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,則當f(x,y) 為關(guān)于x的奇函數(shù)時,=0. ( )9. =-2x-e的通解中含有兩個獨立任意常數(shù). ( )10. 若z=f(x,y)在P的兩個偏導數(shù)都存在,則z=f(x,y)在P連續(xù). ( )二、填空（每空 2 分，共20 分）1. xsin+sinx+()= .2. 函數(shù)f(x)=x在0,3上滿足羅爾定理的條件,定理中的數(shù)值= .3. 設(shè)f(x)= 當a= 時,f(x)在

16、x=0處連續(xù).4. 設(shè)z=e ,則dz| (0,0)= .5. 函數(shù)f(x)=e-x-1在 內(nèi)單調(diào)增加;在 內(nèi)單調(diào)減少.6. 函數(shù)滿足條件 時, 這函數(shù)沒有極值.7.dx = 其中a,b為常數(shù). 8. (x)=1且,則= .9.若I=dxdy交換積分次序后得 .三、計算（每小題 5 分,共 40 分）1. 求(-) ； 2. +=2,求dy；3. 求； 4. 求 ； 5. 求；6. 設(shè)z=ln(x+y) 求,；7. 計算 I=.其中D是由圓x+y=4圍成的區(qū)域；8. 求微分方程-ydx+(x+y)dy=0的通解.四、應(yīng)用題(每題7分,共14分)1. 某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋,現(xiàn)有存磚只夠

17、砌20米長的墻壁,問應(yīng)圍成的長方形的長,寬各為多少才能使這間小屋面積最大.2. 求由y=,x=1,x=2與x軸所圍成的圖形的面積及該圖繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積.五、證明(本題6分)證明:當x0時,不等式1+成立.高等數(shù)學參考答案一、判斷正誤（每題2分，共20分）1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10 . 二、填空題（每題4分，共20分） 1. ； 2. 2 ； 3. 1 ； 4. ； 5.， ； 6. ；7.0； 8. ； 9. . 三、計算題與證明題（共計60分）. 2. 方程兩邊同時對求導得： 則 3. 4、 令 當 時；當時 原式 5. 6. 7.令 ， 8.解： 原方程的通解為： 四、（每題7分，共14分）1.解：設(shè)長方形的長和寬分別為和，面積為，則即 ，得 當長M；寬M時，面積最大。 五、（本題6分）令 即 28