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1、課時(shí)作業(yè)32 等差數(shù)列
一、選擇題
1．(2019·湖北荊州一模)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，則a12的值是( A )
A．15 B．30
C．31 D．64
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＋a4＋a5＝3，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，又由a8＝8得a1＋7d＝8，聯(lián)立解得a1＝－，d＝，則a12＝－＋×11＝15.故選A.
2．已知數(shù)列{an}中，a2＝，a5＝，且{}是等差數(shù)列，則a7＝( D )
A. B.
C. D.
解析：設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則＝＋3d，即＝＋3d，解得d＝2，所以＝＋5d＝12，
2、解得a7＝.故選D.
3．(2019·山東青島模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝3a4，且S9＝λa4，則λ的值為( A )
A．18 B．20
C．21 D．25
解析：設(shè)公差為d，由a6＝3a4，且S9＝λa4，
得解得λ＝18，故選A.
4．(2019·貴陽(yáng)市摸底考試)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2a3，則＝( D )
A. B.
C. D.
解析：＝＝＝.故選D.
5．(2019·河南鄭州一中月考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S11＝22，a4＝－12，如果當(dāng)n＝m時(shí)，Sn最小，那么m的值為( C
3、)
A．10 B．9
C．5 D．4
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則
解得
所以Sn＝－33n＋×7＝n2－n＝(n－)2－×()2.因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最小值．故選C.
6．(2019·安徽淮北一模)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2 0180.∴S4 034＝
＝2 017
4、(a2 018＋a2 017)<0，S4 035
＝＝4 035a2 018>0，
可知Sn<0時(shí)n的最大值是4 034.故選D.
二、填空題
7．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，且a1，a4，a13成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1，a4，a13成等比數(shù)列，a1＝3，∴a＝a1a13，即(3＋3d)2＝3(3＋12d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，故{an}的通項(xiàng)公式為an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.
8．在等差數(shù)列{an}中，a9＝a12＋6，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11等于132.
5、
解析：S11＝＝11a6，
設(shè)公差為d，由a9＝a12＋6
得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，
解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.
9．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足－＝1，則數(shù)列{an}的公差是2.
解析：∵－＝1，
∴2－3＝6，
∴6a1＋6d－6a1－3d＝6，∴d＝2.
10．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為.
解析：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn有最大值，可得即解得－1
6、，且a2＋a5＝25，S5＝55.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)anbn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由題意得
解得∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n＋2.
(2)由anbn＝，得bn＝
＝＝(－)，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－＋－＋…＋－)＝(－)
＝－＝.
12．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝－21，a5與a7的等差中項(xiàng)為1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T10的值和Tn的表達(dá)式．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首
7、項(xiàng)為a1，公差為d，由題意得
解得則an＝－9＋(n－1)×2＝2n－11，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－11.
(2)令an＝2n－11<0，得n<，即n≤5，所以當(dāng)n≤5時(shí)，an＝2n－11<0，當(dāng)n≥6時(shí)，an＝2n－11>0.
又Sn＝n2－10n，S5＝－25，S10＝0，
所以T10＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝－S5＋(S10－S5)＝S10－2S5＝50.
當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝－Sn＝10n－n2；
當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝－S5＋(Sn－S5)＝Sn－2S5＝n2－10n＋50.
綜上，Tn＝
13．(2019
8、·武漢市調(diào)研測(cè)試)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，則這個(gè)最小值為－12.
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，
又a4a6＝275，聯(lián)立，
解得或
當(dāng)時(shí)，可得
此時(shí)an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知當(dāng)n≤2時(shí)，an<0，當(dāng)n≥3時(shí)，an>0，
∴a2a3＝－12為anan＋1的最小值；
當(dāng)時(shí)，可得此時(shí)an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知當(dāng)n≤7時(shí)，an>0，當(dāng)n≥8時(shí)，an<0，∴a7a8＝－12為anan＋1的最小值．
綜上，anan＋1的最小值為－12.
14
9、．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝a5＋a6＝25.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若不等式2Sn＋8n＋27>(－1)nk(an＋4)對(duì)所有的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解：(1)設(shè)公差為d，則5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，∴a1＝－1，d＝3.
∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－4.
(2)Sn＝－n＋，2Sn＋8n＋27＝3n2＋3n＋27，an＋4＝3n，則原不等式等價(jià)于(－1)nk－；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，k
10、為奇數(shù)時(shí)，n＋1＋的最小值為7，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n＝4時(shí)，n＋1＋的最小值為，∴不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是－70)，則an－an－1＝4，∴{an}是以4為公差的等差數(shù)列，即an＝4n－2.
(2)bn＝＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋＋
＝×＋［＋…＋＋］
<×＝×.
設(shè)f(n)＝＋，則f(n＋1)－f(n)<0，
所以{f(n)}遞減，×≤f(1)＝，即bn≤.
6
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