2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第65講 拋物線練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第65講　拋物線 1．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，則|PQ|的值為(B) A．10 B．8 C．5 D．6 因?yàn)閜＝2，又|PF|＝x1＋，|QF|＝x2＋， 所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 2．(2018·武漢二月調(diào)研)已知不過(guò)原點(diǎn)O的直線交拋物線y2＝2px于A，B兩點(diǎn)，若OA，AB的斜率分別為kOA＝2，kAB＝6，則OB的斜率為(D) A．3 B．2 C．－2 D．－3 設(shè)A(，y1)，B(，y2)， 則kOA＝，kOB＝，kAB＝， 由＝＋

2、，即＝＋， 所以kOB＝－3. 3．(2016·四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(C) A. B. C. D．1 　　 設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用設(shè)而不求、整體代換法求解． 如圖所示，設(shè)P(x0，y0)(y0>0)，則y＝2px0，即x0＝. 設(shè)M(x′，y′)，由＝2， 得化簡(jiǎn)可得 所以直線OM的斜率為k＝＝＝≤＝(當(dāng)且僅當(dāng)y0＝p時(shí)取等號(hào))． 4．(經(jīng)典真題)如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋

3、物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是(A) A. B. C. D. 由圖形可知，△BCF與△ACF有公共的頂點(diǎn)F，且A，B，C三點(diǎn)共線， 易知△BCF與△ACF的面積之比就等于. 由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1,0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x＝－1. 因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線上，過(guò)A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K，H，且與y軸分別交于點(diǎn)N，M. 由拋物線定義，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1. 在△CAN中，BM∥AN，所以＝＝. 5．(2016·浙江卷)若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是　9

4、　. 設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝－1的距離為x＋1， 由拋物線的定義知x＋1＝10，所以x＝9， 所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9. 6．(2017·河南新鄉(xiāng)二模)已知點(diǎn)A(1，y1)，B(9，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，y2>y1>0，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，若|BF|＝5|AF|，則y＋y2的值為　10　. 由拋物線的定義可知，9＋＝5(1＋)，解得p＝2. 所以拋物線方程為y2＝4x， 又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在拋物線上，所以y1＝2，y2＝6， 所以y＋y2＝22＋6＝10. 7．已知斜率為1的直線l過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與拋物

5、線交于A，B兩點(diǎn)． (1)求直線l的方程(用p表示)； (2)若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：|AB|＝x1＋x2＋p； (3)若|AB|＝4，求拋物線方程． (1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)， 又因?yàn)橹本€l的斜率為1， 所以直線l的方程為：y＝x－. (2)證明：過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AA′，BB′，交準(zhǔn)線于A′，B′， 則由拋物線的定義得： |AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′| ＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p. (3)由|AB|＝4，得x1＋x2＋p＝4. 直線y＝x－與拋物線方程聯(lián)立， ?x2－3px＋＝0，

6、由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4， 解得p＝1， 故拋物線方程為y2＝2x. 8．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(B) A．2 B．4 C．6 D．8 設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. 因?yàn)閨AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， 所以不妨設(shè)A(，2)，D(－，)． 因?yàn)辄c(diǎn)A(，2)，D(－，)在圓x2＋y2＝r2上， 所以所以＋8＝＋5，所以p＝4(負(fù)值舍去)． 所以

7、C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4. 9．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1，1)和拋物線C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝__2__. (方法1)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0)，設(shè)直線方程為y＝k(x－1)，直線方程與y2＝4x聯(lián)立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，x1＋x2＝. 由M(－1，1)，得＝(－1－x1，1－y1)， ＝(－1－x2，1－y2)． 由∠AMB＝90°，得·＝0， 所以(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，

8、 所以x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0. 又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]， y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， 所以1＋＋1＋k2(1－＋1)－k(－2)＋1＝0， 整理得－＋1＝0，解得k＝2. (方法2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 所以y－y＝4(x1－x2)，所以k＝＝. 設(shè)AB中點(diǎn)M′(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， 則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|) ＝(|AA′|＋|BB′|)． 因?yàn)镸′(x0，y

9、0)為AB的中點(diǎn)， 所以M為A′B′的中點(diǎn)，所以MM′平行于x軸， 所以y1＋y2＝2，所以k＝2. (方法3)由條件M在以AB為直徑的圓上， 因?yàn)橐訟B為直徑的圓與準(zhǔn)線相切， 且M在準(zhǔn)線上，所以M為切點(diǎn)， 所以x＝－1為圓M′的切線方程． 由此得圓心M′的縱坐標(biāo)為1. 由得ky2－4y＋4k＝0， 所以＝＝1，所以k＝2. 10．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． (1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1. 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)， 所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 6