7.3 二元一次不等式 組 與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題ppt課件

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1、柯橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)組 何利民,第七編 不等式,7.4 二元一次不等式(組)與 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,在平面直角坐標(biāo)系中，不等式 Ax + By + C 0 表示在直線：Ax+By+C = 0的某一側(cè)的平面區(qū)域,1.二元一次不等式表示平面區(qū)域,(1)結(jié)論：二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。,(2)判斷方法：由于對(duì)直線同一側(cè)的所有點(diǎn) (x,y)，把它代入Ax+By+C，所得實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0,y0) ，從Ax0+By0+C的正負(fù)可以判斷出Ax+By+C0表示哪一側(cè)的區(qū)域。,一般在C0時(shí)，取原

2、點(diǎn)作為特殊點(diǎn)。,應(yīng)該注意的幾個(gè)問題：,1、若不等式中不含0，則邊界應(yīng)畫成虛線，否則應(yīng)畫成實(shí)線。 2、畫圖時(shí)應(yīng)非常準(zhǔn)確，否則將得不到正確結(jié)果。,2.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,有關(guān)概念 由x，y 的不等式(或方程)組成的不等式組稱為x，y 的約束條件。關(guān)于x，y 的一次不等式或方程組成的不等式組稱為x，y 的線性約束條件。欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y 的解析式稱為目標(biāo)函數(shù)。關(guān)于x，y 的一次目標(biāo)函數(shù)稱為線性目標(biāo)函數(shù)。求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解（x，y）稱為可行解。所有可行解組成的集合稱為可行域。使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解稱為最

3、優(yōu)解。,解線性規(guī)劃問題的步驟：,（2）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行 線中，利用平移的方法找出與可行域有公共 點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；,（3）求：通過解方程組求出最優(yōu)解；,（4）答：作出答案。,（1）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；,基礎(chǔ)自測(cè) 1.下列各點(diǎn)中,不在x+y-10表示的平面區(qū)域的 是 （ ） A.（0，0） B.（-1，1） C.（-1，3） D.（2，-3）,C,2.若點(diǎn)(1,3)和(-4,-2)在直線2x+y+m=0的兩側(cè)，則m 的取值范圍是 （ ） A.m10 B.m=-5或m=10 C.-5m10 D.-5m10,C,3.設(shè)A=（x，y）|x，y，1-x-y是三

4、角形的三邊長(zhǎng)， 則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是 （ ）,A,4.（2009安徽文，3）不等式組 所表 示的平面區(qū)域的面積等于 （ ） A. B. C. D. 解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，,C,5.完成一項(xiàng)裝修工程需要木工和瓦工共同完成.請(qǐng)木 工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元， 現(xiàn)有工人工資預(yù)算2 000元,設(shè)木工x人，瓦工y人， 請(qǐng)工人的約束條件是_.,題型一 二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域 【例1】畫出不等式組 表示的平面區(qū) 域,并回答下列問題: (1)指出x,y的取值范圍; (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)?,題型分類 深度剖析,x+y=0,x-y+5

5、=0,x=3,3,(3,8),(3,-3),5,-5,(2)平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有 2+4+6+8+10+12=42個(gè).,知能遷移1 如圖ABC中,A(0,1), B(-2,2),C(2,6),寫出ABC區(qū)域 所表示的二元一次不等式組.,題型二 求目標(biāo)函數(shù)的最值問題 【例2】,解下列線性規(guī)劃問題：求 z = 2x + y的最大 值和最小值，使式中的x、y 滿足約束條件:,【點(diǎn)評(píng)】正確作出不等式組所表示的平面區(qū)域(可行域)，再由線性目標(biāo)函數(shù)作出一組平行線考察最值，是解線性規(guī)劃問題的基本步驟,l0:2x+y=0,當(dāng)x=1,y=1時(shí)，z取最小值,zmin=3,當(dāng)x=5,y=2時(shí)，z取最大值,zmax=

6、12,變式1:求z=2x-y(x,y均為整數(shù)) 的最大值與最小值,變式2:求z=(x+1)2+(y-3)2 的最大值與最小值,知能遷移2 （2009浙江理,13）若實(shí)數(shù)x,y滿足不 等式組 則z=2x+3y的最小值是_.,4,知能遷移3 在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi) （陰影部分且包括邊界),若目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取 得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè),則 的最大值是 ( ) A. B. C. D.,B,在約束條件 下，當(dāng) 3s5 時(shí)， 目標(biāo)函數(shù) z = 3x + 2y 的最大值的變化范圍是(A) 6,15(B) 7,15(C) 6,8 (D) 7,8,06廣東高考,D,B(4-s,2s-4),C(0,

7、s),06重慶高考 已知變量x，y滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a0）僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍為 。,題型三 線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用 【例3】某公司倉庫A存有貨物12噸，倉庫B存有貨物 8噸,現(xiàn)按7噸、8噸和5噸把貨物分別調(diào)運(yùn)給甲、乙、 丙三個(gè)商店.從倉庫A運(yùn)貨物到商店甲、乙、丙,每噸 貨物的運(yùn)費(fèi)分別為8元、6元、9元；從倉庫B運(yùn)貨到 商店甲、乙、丙,每噸貨物的運(yùn)費(fèi)分別為3元、4元、 5元.問應(yīng)如何安排調(diào)運(yùn)方案，才能使得從兩個(gè)倉庫 運(yùn)貨物到三個(gè)商店的總運(yùn)費(fèi)最少？ 由于題目中量比較多，所以最好通過列 出表格以便清晰地展現(xiàn)題目中的條件. 設(shè)出倉庫A運(yùn)給甲、乙商店的貨物噸

8、數(shù)可得運(yùn)到丙商 店的貨物噸數(shù)，列出可行域，即可求解.,思維啟迪,解 將已知數(shù)據(jù)列成下表： 設(shè)倉庫A運(yùn)給甲、乙商店的貨物分別為x噸，y噸， 則倉庫A運(yùn)給丙商店的貨物為(12-x-y）噸,從而倉庫 B運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨物分別為(7-x)噸、(8-y) 噸、5-(12-x-y)=(x+y-7)噸,于是總運(yùn)費(fèi)為 z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7) =x-2y+126.,商店,倉庫,每 噸 運(yùn) 費(fèi),線性約束條件為 目標(biāo)函數(shù)為z=x-2y+126. 作出上述不等式組表示的平面區(qū)域，其可行域如圖中 陰影部分所示.,作出直線l:x-2y=0,把直線l平行移動(dòng),

9、顯然當(dāng)直線l移 動(dòng)到過點(diǎn)(0,8)時(shí),在可行域內(nèi)，z=x-2y+126取得最小 值z(mì)min=0-28+126=110,即x=0,y=8時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少. 安排的調(diào)運(yùn)方案如下:倉庫A運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨 物分別為0噸、8噸、4噸，倉庫B運(yùn)給甲、乙、丙商店 的貨物分別為7噸、0噸、1噸，此時(shí)可使得從兩個(gè)倉 庫運(yùn)貨物到三個(gè)商店的總運(yùn)費(fèi)最少. 解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟是:(1)分 析題意,設(shè)出未知量;(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函 數(shù):(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解;(4)作答.,探究提高,知能遷移3 （2009四川，10）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙 兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原 料2

10、噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸. 銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬元、每噸乙產(chǎn)品可 獲得利潤(rùn)3萬元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原 料不超過13噸、B原料不超過18噸,那么該企業(yè)可獲 得的最大利潤(rùn)是 （ ） A.12萬元 B.20萬元 C.25萬元 D.27萬元,解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸， 則獲得的利潤(rùn)為z=5x+3y. 由題意得 可行域如圖陰影所示. 由圖可知當(dāng)x、y在A點(diǎn)取值時(shí)，z取得最大值， 此時(shí)x=3，y=4,z=53+34=27(萬元). 答案 D,題型四 線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用 【例4】（12分）實(shí)數(shù)x,y滿足 （1）若 求z的最大值和最小值，并求z的取值 范圍；

11、（2）若z=x2+y2，求z的最大值與最小值,并求z的取值 范圍. (1) 表示的是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn) 連線的斜率.故 的最值問題即為直線的斜率的 最大值與最小值.（2）z=x2+y2的最值表示的是區(qū)域 內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的兩點(diǎn)距離的平方的最大值、最小值.,思維啟迪,解 作出可行域如 圖陰影部分所示. 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與 坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率， 4分 因此 的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率 (OA斜率不存在）. zmax不存在，zmin=2, z的取值范圍是2，+）. 7分,解題示范,(2)z=x2+y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的兩 點(diǎn)間距離的平方. 9分 因此x2+y2的范圍最小為|O

12、A|2（取不到），最大為 |OB|2. 由 得A(0，1)， |OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5. zmax=5，z無最小值. 故z的取值范圍是（1，5. 12分,探究提高 本例與常規(guī)線性規(guī)劃不同，主要是目標(biāo)函 數(shù)不是直線形式，此類問題常考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意 義，常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點(diǎn)： (1) 表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)（0，0）的距離; 表示點(diǎn)（x,y）與（a,b）的距離. (2) 表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)連線的斜率; 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率. 理解這些代數(shù)式的幾何意義,往往是解決問題的關(guān)鍵.,1.平面區(qū)域的畫法:二元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)化

13、與半平 面的對(duì)應(yīng)性.對(duì)于A0的直線l：Ax+By+C=0，Ax+By+ C0對(duì)應(yīng)直線l右側(cè)的平面；Ax+By+C0對(duì)應(yīng)直線l左 側(cè)的平面. 由一組直線圍成的區(qū)域形狀常見的有：三角形、四 邊形、多邊形以及扇形域和帶狀域等.,方法與技巧,思想方法 感悟提高,2.轉(zhuǎn)化：求二元一次函數(shù)z=ax+by (ab0)的最值,將 函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式： 通過求直線的截距 的最值間接求出z的最值. 3.實(shí)數(shù)最優(yōu)解一定在頂點(diǎn)或邊界取得;經(jīng)過區(qū)域內(nèi)整 數(shù)最優(yōu)解的直線距實(shí)數(shù)最優(yōu)解最近. 4.線性規(guī)劃應(yīng)用題建模的思路：一般以“資源產(chǎn) 品收益”為主線;設(shè)元時(shí)將產(chǎn)品數(shù)量設(shè)為x、y, 將收益多少設(shè)為z，資源數(shù)

14、量為常數(shù)a、b、c等.這樣 z與x、y之間的關(guān)系就是目標(biāo)函數(shù);而x、y與a、b、c 等之間的關(guān)系就是約束條件.,1.二元一次不等式與半平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如： 二元一次不等式Ax+By+C0,當(dāng)A0時(shí)表示直線l:Ax+ By+C=0右側(cè)的平面；當(dāng)A0時(shí)，截距 取最大值時(shí)，z也取 最大值；截距 取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b0 時(shí)，截距 取最大值時(shí)，z取最小值；截距 取最 小值時(shí)，z取最大值.,失誤與防范,一、選擇題 1.（2009福建文，9）在平面直角坐標(biāo)系中,若不等 式組 (a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的 面積等于2，則a的值為 （ ） A.-5 B.1 C.2 D.3,定時(shí)檢測(cè),解析 由 得A

15、(1，a+1), 由 得B(1，0)， 由 得C(0，1). ABC的面積為2，且a-1, SABC= |a+1|=2,a=3. 答案 D,2.(2009安徽理,7)若不等式組 所表示 的平面區(qū)域被直線 分為面積相等的兩部 分，則k的值是 ( ),解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示. 由于直線y=kx+ 過定點(diǎn) 因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí), 直線y=kx+ 能平分平面區(qū)域. 因?yàn)锳(1,1),B(0,4), 所以AB中點(diǎn) 答案 A,3.若實(shí)數(shù)x,y滿足條件 目標(biāo)函數(shù)z=2x-y, 則 （ ） A.zmax= B.zmax=-1 C.zmax=2 D.zmin=0 解析 如圖所示，當(dāng)z=2x-y

16、過 時(shí),C,4.已知點(diǎn)P（x,y）滿足 點(diǎn)Q(x,y)在 圓(x+2)2+(y+2)2=1上,則|PQ|的最大值與最小值為 （ ） A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2 解析 可行域如圖陰影部分, 設(shè)|PQ|=d，則由圖中圓心 C(-2,-2)到直線4x+3y-1=0的 距離最小,則到點(diǎn)A距離最大. 得A（-2，3）. dmax=|CA|+1=5+1=6，,B,5.（2009湖北理，8）在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，某 廠要將100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn).現(xiàn)有4輛甲型貨 車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用 400元，可裝洗衣機(jī)20臺(tái)；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用 300元,可裝洗衣機(jī)10

17、臺(tái).若每輛車至多只運(yùn)一次,則 該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為 （ ） A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元,解析 設(shè)需甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，由題意知 作出其可行域如圖所示， 可知目標(biāo)函數(shù)z=400 x+300y在點(diǎn)A處取最小值， zmin=4004+3002=2 200(元). 答案 B,6.(2008海南、寧夏文,10)點(diǎn)P(x,y)在直線4x+3y=0 上,且x,y滿足-14x-y7,則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 的取值范圍是 （ ） A.0,5 B.0,10 C.5,10 D.5,15 解析 如圖所示，可知直線 4x+3y=0分別與直線x-y=-14,x-y=

18、7 的交點(diǎn)為P1(-6,8)，P2(3，-4)， 易知|OP1|=10,|OP2|=5. 故|OP|的取值范圍為0，10.,B,二、填空題 7.（2009陜西文，14）設(shè)x,y滿足約束條件 則z=x+2y的最小值是_,最大值是_. 解析 如圖所示，由題意得A（3，4）.由圖可以看 出，直線x+2y=z過點(diǎn)（1，0）時(shí)，zmin=1,過點(diǎn)(3,4) 時(shí),zmax=3+24=11.,1,11,8.（2009山東文,16）某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備 生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5 件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件 和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,

19、 設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為 _元.,解析 設(shè)需租賃甲種設(shè)備x臺(tái)，乙種設(shè)備y臺(tái)， 目標(biāo)函數(shù)為z=200 x+300y. 作出其可行域，易知當(dāng)x=4,y=5時(shí)，z=200 x+300y有最 小值2 300元. 答案 2 300,9.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組 目標(biāo)函數(shù) z=y-ax(aR).若取最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3), 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 解析 如圖所示，依題意直 線x+y-4=0與x-y+2=0交于 A(1,3),此時(shí)取最大值， 故a1.,(1,+),三、解答題 10.若a0,b0,且當(dāng) 時(shí)，恒有ax+b

20、y1, 求以a,b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積. 解 作出線性約束條件 對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示，,在此條件下，要使ax+by1恒成立,只要ax+by的最大 值不超過1即可. 令z=ax+by,則 因?yàn)閍0,b0, 此時(shí)對(duì)應(yīng)的可行域如圖， 所以以a,b為坐標(biāo)的點(diǎn)P（a,b）所形成的面積為1.,11.A、B兩地分別生產(chǎn)同一規(guī)格產(chǎn)品12千噸、8千噸, 而D、E、F三地分別需要8千噸、6千噸、6千噸，每 千噸的運(yùn)價(jià)如下表.怎樣確定調(diào)運(yùn)方案,使總的運(yùn)費(fèi) 為最?。?解 設(shè)從A到D運(yùn)x千噸,則從B到D運(yùn)(8-x)千噸; 從A到E運(yùn)y千噸,則從B到E運(yùn)(6-y)千噸; 從A到F運(yùn)(12-x-y)

21、千噸,從B到F運(yùn)(x+y-6)千噸,則線性約束條件為 線性目標(biāo)函數(shù)為z=4x+5y+6(12-x-y)+5(8-x)+2(6-y)+ 4(x+y-6)=-3x+y+100, 作出可行域，可觀察出目標(biāo)函數(shù)在(8，0)點(diǎn)取到最小 值，即從A到D運(yùn)8千噸，從B到E運(yùn)6千噸，從A到F運(yùn) 4千噸，從B到F運(yùn)2千噸，可使總的運(yùn)費(fèi)最少.,12.在R上可導(dǎo)的函數(shù) 當(dāng) x(0,1)時(shí)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí)取得極小值, 求點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積以及 的取值范圍. 解 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=x2+ax+2b,當(dāng)x(0,1) 時(shí),f(x)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí),f(x)取得極小值, 則方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi), 另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),由二次函數(shù)f(x)=x2+ax+ 2b的圖象與方程x2+ax+2b=0根的分布之間的關(guān)系可 以得到,在aOb平面內(nèi)作出滿足約束條件的 點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BD(不包 括邊界),如圖陰影部分,其中點(diǎn) A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), ABD的面積為 (h為點(diǎn)A到a軸的距離). 點(diǎn)C(1,2)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率為,返回,