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1、一、平面圖形的面積 二、定積分的元素法 三、旋轉(zhuǎn)體的體積 四、小結(jié)、作業(yè),5.4 定積分的幾何應(yīng)用,直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算,一、平面圖形的面積,例1,解,所圍成的圖形如圖所示：,平面圖形的面積。,例2,解,所圍成的圖形如圖所示:,則,先解聯(lián)立方程組,則圖形的面積為,解,先求兩曲線的交點(diǎn)。,例3,注意： 此題選取縱坐標(biāo) 為積分變量，而沒(méi)有選取 橫坐標(biāo) 為積分變量，請(qǐng)思考這時(shí)為什么？若選取 橫坐標(biāo) 為積分變量能否得到這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果？,二、定積分的元素法,在定積分的應(yīng)用中，經(jīng)常采用“元素法”。為了說(shuō)明這種方法，我們回顧引入定積分的概念時(shí)曾經(jīng)舉的兩個(gè)例子：曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程。這
2、兩個(gè)問(wèn)題最終都?xì)w結(jié)為定積分的計(jì)算，且它們都滿足下述三個(gè)條件：,一般地，如果一個(gè)量 滿足上述三個(gè)條件，我們就可以考慮用定積分來(lái)表示這個(gè)量。確定量 的積分表達(dá)式的步驟是：,（1）根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取積分變量 并確定其變化區(qū)間 。,（2）在區(qū)間 上任取一小區(qū)間 ，求出相應(yīng)于此區(qū)間的所求量 的部分量 的近似值：,（3） 計(jì)算所求量,稱為所求量 的元素（或微元）。下面我們利用這一方法來(lái)求旋轉(zhuǎn)體的體積。,這個(gè)方法就稱為定積分的元素法（或微元法）。,圓柱,圓錐,圓臺(tái),三、旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)體的體積公式,推導(dǎo),如圖由于圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故只需考慮其第一象限內(nèi)的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。,求橢圓 分別繞 軸與 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。,例4,解,（1）繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：,（2）繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：,特別地，當(dāng) 時(shí)，得半徑為 的球體積,計(jì)算由兩條拋物線 ， 所圍成的圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)而成 的旋轉(zhuǎn)體的體積。,例5,解,先解聯(lián)立方程組,得兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)由曲線 ，直線 所圍成的曲邊梯形繞軸 旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 ；,由曲線,轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為,則所求旋轉(zhuǎn)體的體積為：,1、定積分的幾何應(yīng)用可直接代公式，這就要記住面積、體積公式。,四、小結(jié),2、理解定積分的微元法。,
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