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1、第六章第六章 三角函數(shù)三角函數(shù)6.4 反三角函數(shù)反三角函數(shù)引入課題:（一）（一）1 1、追溯歷史追溯歷史 提出問題提出問題引入課題:6x1,sin;662xy2,sin2xy1sin,2x 例如522()66xkxkk或Z Z1sin3x 倘若，又怎樣用正弦值表示相應(yīng)的角值呢？?x 1sin,?3xx怎樣用正弦值表示相應(yīng)的角值？sinyx確定確定為什么要學習反正弦函數(shù)？為什么要學習反正弦函數(shù)？要用正弦值表示相應(yīng)的角值要用正弦值表示相應(yīng)的角值.上升到函數(shù)上升到函數(shù),研究正弦值變化時相應(yīng)角值研究正弦值變化時相應(yīng)角值如何變化如何變化.需要考慮正弦函數(shù)y=sinx的反函數(shù)？一般地，對于函數(shù)y=f(x)
2、設(shè)它的定義域為，值域為如果對中的任意一個值y，在中總有唯一確定的x值與它對應(yīng)，滿足y=f(x)，這樣得到的x關(guān)于y的函數(shù)叫做y=f(x)的反函數(shù)復習反函數(shù)的概念：提問:怎樣的函數(shù)存在反函數(shù)？答答:自變量與因變量是一一對應(yīng)的函數(shù)存在反函數(shù)自變量與因變量是一一對應(yīng)的函數(shù)存在反函數(shù).易知單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù).正弦函數(shù)y=sinx是否存在反函數(shù)？說明 因為對于任一正弦值y都有無數(shù)個角值x與之對應(yīng)，正弦函數(shù)的自變量與因變量是多對一的 因此定義在R上的正弦函數(shù)y=sinx不存在反函數(shù)xy 2 O O 2 4 3 xysin為什么?思考：216能否在正弦函數(shù)的一個周期里用正弦值表示相應(yīng)角值呢？52266xk
3、xkk或Z1sin,2x 例如：1sin,626xsinsin-sinx51566626?x 結(jié)合舊知結(jié)合舊知 討論概念產(chǎn)生的可能性討論概念產(chǎn)生的可能性正弦函數(shù)不存在反函數(shù)，要用正弦值表示相應(yīng)的角值要用正弦值表示相應(yīng)的角值正弦函數(shù)是周期函數(shù)正弦函數(shù)是周期函數(shù)研究正弦函數(shù)的反函數(shù)目的是什么？研究正弦函數(shù)的反函數(shù)目的是什么？正弦函數(shù)為什么不存在反函數(shù)？正弦函數(shù)為什么不存在反函數(shù)？0,2,怎么辦？結(jié)合舊知結(jié)合舊知 討論概念產(chǎn)生的可能性討論概念產(chǎn)生的可能性sinyxoyx-2-3 -2 3 -11（一）（一）1 1（2 2）具體分析具體分析 師生共同探討概念產(chǎn)生師生共同探討概念產(chǎn)生能取得能取得y=si
4、nx的一切函數(shù)值的一切函數(shù)值-1,1.y=sinx y=sinx在該區(qū)間上是一一對應(yīng)的在該區(qū)間上是一一對應(yīng)的.ysinx x,2 2 應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間，使得y=sinx存在反函數(shù)？的角內(nèi)正弦值為，表示例如：322232arcsin二、反正弦函數(shù)二、反正弦函數(shù)1、反正弦函數(shù)的定義：(1)“arcsin”是反正弦函數(shù)的函數(shù)名，是一個整體符號是反正弦函數(shù)的函數(shù)名，是一個整體符號的那個弧度制角內(nèi)正弦值為x2,2arcsin11)2(表示一個角，這個角是時，當xx 11)sin(arcsin1，：重要等式xxxarcsin 11,2 2yxx 記作，其值域為，sin2 2yxx 函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正
5、弦函數(shù),（一）（一）1 1（4 4）多項訓練多項訓練 強化理解概念的本質(zhì)強化理解概念的本質(zhì)例：例：12arcsin13arcsin2arcsin 對于符號對于符號arcsinx而言而言當當|x|1時有意義時有意義滿足滿足sin(arcsinx)=x表示在表示在 上的角值上的角值 ,22 考慮下列各式的意義：考慮下列各式的意義：1,1,2 2 sin,2 2yx x (一一)2)2、研究反正弦函數(shù)、研究反正弦函數(shù)y-11ox-1-1-(一一)2(1)2(1)畫出反正弦函數(shù)的圖像畫出反正弦函數(shù)的圖像y=x-1,1 y=arcsinx(x-y=sinx(x定義域值域單調(diào)性奇偶性分段11，22，上單調(diào)
6、遞增，在 11奇函數(shù)2010，時，yx(一一)2(2)形數(shù)結(jié)合，解讀反正弦函數(shù)的性質(zhì)形數(shù)結(jié)合，解讀反正弦函數(shù)的性質(zhì) 11arcsin，xxy22xyo110201，時，yx時，0 x 11arcsin)arcsin(2，：重要等式xxx是一個銳角；xarcsin時，0 x是一個負角xarcsin例1：判斷下列各式是否正確？并簡述理由。3(1)arcsin233(2)arcsin32(3)arcsin12()2kkZ(4)arcsin()arcsin33(5)sin(arcsin2)222(6)sin(arcsin)1010對13錯錯13 錯21對錯例、求下列反正弦函數(shù)的值23arcsin)1(
7、323arcsin223233sin，且解：0arcsin)2()22arcsin()3(21arcsin)4(1arcsin)5()1arcsin()6(3arcsin)7(04622不存在例2、求下列反正弦函數(shù)的函數(shù)值)32sin(arcsin)1()31(sinarcsin)2()21(sinarcsin)3()21(cosarcsin)4()23cos(arcsin)5(6)21arcsin()4(解：23)6cos()21(cosarcsin323121233cos21例3、用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式中的x；，2253sin)1(xx53sin22)1(xx且，解：53arcsinx，2241sin)2(xx41sin22)2(xx且，41arcsinx41arcsin；，253sin)1(xx，)23(41sin)2(xx202)1(，解：xx53arcsinx53sin)sin(xx53arcsinx)02()23()2(，xx41sin)sin(xx)41arcsin(x41arcsinx找到定義域內(nèi)的角找到定義域內(nèi)的角
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