初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 二次函數(shù)知識點總結(jié)

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1、二次函數(shù)知識點總結(jié)20110311 二次函數(shù)知識點： 1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)． 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵ 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項． 二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：左圖畫，右圖畫 結(jié)論：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 總結(jié)： 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而

2、減??；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值． 2. 的性質(zhì)：左圖畫，右圖畫 結(jié)論：上加下減。 總結(jié)： 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值． 3. 的性質(zhì)：左圖畫，右圖畫 結(jié)論：左加右減。 總結(jié)： 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì)

3、 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值． 4. 的性質(zhì)：左圖畫，右圖畫 總結(jié)： 二次函數(shù)圖象的平移 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值． 1. 平移步驟： ⑴ 將拋物線解

4、析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 三、二次函數(shù)與的比較 請將利用配方的形式配成頂點式。請將配成。 總結(jié)： 從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中． 四、二次函數(shù)圖象的畫法 五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖

5、.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）. 畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點. 左圖畫，右圖畫 五、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為． 當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，有最小值． 2. 當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為．當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，有最大值． 六、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式：（，，為常數(shù)，）； 2. 頂點式：（

6、，，為常數(shù)，）； 3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標(biāo)）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù) 二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然． ⑴ 當(dāng)時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； ⑵ 當(dāng)時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大． 總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向

7、，的大小決定開口的大?。? 2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在的前提下， 當(dāng)時，，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)； 當(dāng)時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當(dāng)時，，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè)． ⑵ 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng)時，，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)； 當(dāng)時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當(dāng)時，，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)． 總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置． 總結(jié)： 3. 常數(shù)項 ⑴ 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為正； ⑵ 當(dāng)時，拋物線與軸的交點

8、為坐標(biāo)原點，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為； ⑶ 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為負． 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置． 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式； 4.

9、已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式． 二、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點對稱 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是． 5. 關(guān)于點對稱

10、關(guān)于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式． 二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）： 一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數(shù)： ① 當(dāng)時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離. ② 當(dāng)時

11、，圖象與軸只有一個交點； ③ 當(dāng)時，圖象與軸沒有交點. 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有． 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； ⑵ 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號，或由二次函數(shù)中，，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； ⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo).