4、(3x-10)(x-6)(20,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在上, f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),
所以當(dāng)x=≈3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.
故當(dāng)銷售價(jià)格約為3.3元/件時(shí),獲得的利潤最大.
解題關(guān)鍵 解第(2)問的關(guān)鍵是建立利潤關(guān)于銷售價(jià)格的函數(shù),進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法確定最大值點(diǎn).
煉技法
【方法集訓(xùn)】
方法 函數(shù)應(yīng)用題的解法
1.(2018福建三明期末,14)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定
5、時(shí)間t后的溫度是T,則T-Ta= (T0-Ta)·,其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡,放在24 ℃的房間中,如果咖啡降到40 ℃需要20分鐘,那么此杯咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時(shí),還需要 分鐘.?
答案 10
2.(2017江蘇南京、鹽城一模,18)如圖所示,某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心,其中AE=30米.活動(dòng)中心東西走向,與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下半部分是長方形ABCD,上半部分是以DC為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的
6、影長GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足tan θ=.
(1)若設(shè)計(jì)AB=18米,AD=6米,問能否保證題干中的采光要求?
(2)在保證題干中的采光要求的前提下,如何設(shè)計(jì)AB與AD的長度,可使得活動(dòng)中心的截面面積最大?(注:計(jì)算中π取3)
解析 如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)因?yàn)锳B=18米,AD=6米,所以半圓的圓心坐標(biāo)為H(9,6),半徑r=9米.設(shè)太陽光線所在直線方程為y=-x+b,
即3x+4y-4b=0,
則由=9,解得b=24或b= (舍).
故太陽光線所在直線方程為y=-x+24,
令x=30
7、,得y=,即EG=1.5米<2.5米.
所以此時(shí)能保證采光要求.
(2)設(shè)AD=h米,AB=2r米,則半圓的圓心為H(r,h),半徑為r.
解法一:設(shè)太陽光線所在直線方程為y=-x+b,
即3x+4y-4b=0,由=r,
解得b=h+2r或b=h-r(舍),
故太陽光線所在直線方程為y=-x+h+2r,
令x=30,得y=2r+h-,由y≤,得h≤25-2r,
所以S=2rh+πr2=2rh+r2≤2r(25-2r)+ r2
=-r2+50r=- (r-10)2+250≤250,
當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)取等號(hào).
所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí),活動(dòng)中心的截面面積最大.
解
8、法二:易知當(dāng)EG恰為2.5米時(shí),活動(dòng)中心的截面面積最大,此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(30,2.5),
設(shè)過點(diǎn)G的太陽光線所在直線為l1,則l1的方程為y-=- (x-30),即3x+4y-100=0.
由直線l1與半圓H相切,得r=.
而點(diǎn)H(r,h)在直線l1的下方,
則3r+4h-100<0,
即r=-,從而h=25-2r.
S=2rh+πr2=2r(25-2r)+ r2
=-r2+50r=- (r-10)2+250≤250,
當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)取等號(hào),
所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時(shí),活動(dòng)中心的截面面積最大.
過專題
【五年高考】
A組 自主命題·浙江卷題組
9、
考點(diǎn) 函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用
1.(2018浙江,11,6分)我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則當(dāng)z=81時(shí),x= ,y= .?
答案 8;11
2.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=+a在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則a的取值范圍是 .?
答案
3.(2014浙江,17,4分)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為A
10、B,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,則tan θ的最大值是 .(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)?
答案
B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組
考點(diǎn) 函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用
1.(2017課標(biāo)全國Ⅰ文,9,5分)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則( )
A. f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增
B. f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減
C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
D.y=f(x)的圖象關(guān)
11、于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱
答案 C
2.(2014湖南,8,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為( )
A. B.
C. D.-1
答案 D
3.(2018天津文,14,5分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=若對(duì)任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,則a的取值范圍是 .?
答案
4.(2015四川,13,5分)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食
12、品在0 ℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22 ℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33 ℃的保鮮時(shí)間是 小時(shí).?
答案 24
5.(2014湖北,14,5分)設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)>0,對(duì)任意a>0,b>0,若經(jīng)過點(diǎn)(a, f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當(dāng)f(x)=1(x>0)時(shí),可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù).
(1)當(dāng)f(x)= (x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);?
(2)當(dāng)f(x)= (x>0)時(shí)
13、,Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù).?
(以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)
答案 (1) (2)x
6.(2018江蘇,17,14分)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP,要求A,B均在線段MN上,C,D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.
(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積,并確定sin θ的取值范圍;
(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,
14、且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.
解析 本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.
(1)設(shè)PO的延長線交MN于H,則PH⊥MN,所以O(shè)H=10米.
過O作OE⊥BC于E,則OE∥MN,所以∠COE=θ,
故OE=40cos θ米,EC=40sin θ米,
則矩形ABCD的面積為2×40cos θ(40sin θ+10)
=800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,
△CDP的面積為×2×40cos θ(40-40sin θ)
15、=1 600(cos θ-sin θcos θ)平方米.
過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長線于G和K,則GK=KN=10米.
令∠GOK=θ0,則sin θ0=,θ0∈.
當(dāng)θ∈時(shí),才能作出滿足條件的矩形ABCD,
所以sin θ的取值范圍是.
答:矩形ABCD的面積為800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP的面積為1 600(cos θ-sin θcos θ)平方米,sin θ的取值范圍是.
(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3,
所以設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0).
則年總產(chǎn)值為4k×800(4
16、sin θcos θ+cos θ)+3k×1 600(cos θ-sin θcos θ)=8 000k(sin θcos θ+cos θ),θ∈.
設(shè)f(θ)=sin θcos θ+cos θ,θ∈.
則f '(θ)=cos2θ-sin2θ-sin θ=-(2sin2θ+sin θ-1)=-(2sin θ-1)(sin θ+1),
令f '(θ)=0,得θ=,
當(dāng)θ∈時(shí), f '(θ)>0,所以f(θ)為增函數(shù);
當(dāng)θ∈時(shí), f '(θ)<0,所以f(θ)為減函數(shù),
因此,當(dāng)θ=時(shí), f(θ)取到最大值.
答:當(dāng)θ=時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.
名師點(diǎn)睛 (1)用θ表
17、示OE和EC,就能求出矩形ABCD及△CDP的面積,求定義域時(shí)抓住N、G關(guān)于OK對(duì)稱得到∠GOK的正弦值,從而求得sin θ的取值范圍.
(2)先構(gòu)造函數(shù),再用導(dǎo)數(shù)求最值,求導(dǎo)時(shí),交代θ的取值范圍,判斷f '(θ)的符號(hào),再確定f(θ)的單調(diào)性,就能得到最大值,從而解決問題.
C組 教師專用題組
考點(diǎn) 函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用
1.(2015北京,8,5分)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是( )
A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米
B.以
18、相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多
C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油
D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
答案 D
2.(2014遼寧,12,5分)已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足:
①f(0)=f(1)=0;
②對(duì)所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|< |x-y|.
若對(duì)所有x,y∈[0,1],| f(x)-f(y)|
19、 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為 .?
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x?、踗(x)=x3?、躥(x)=x2+2
答案?、佗?
4.(2015江蘇,17,14分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所
20、在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=(其中a,b為常數(shù))模型.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.
①請(qǐng)寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;
②當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長度最短?求出最短長度.
解析 (1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).
將其分別代入y=,得解得
(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,
設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn),y'=-,
則l的方程為y-=-(x-t),由此得A,B.
故f(t)==,t∈[5
21、,20].
②設(shè)g(t)=t2+,則g'(t)=2t-.令g'(t)=0,
解得t=10.
當(dāng)t∈(5,10)時(shí),g'(t)<0,g(t)是減函數(shù);
當(dāng)t∈(10,20)時(shí),g'(t)>0,g(t)是增函數(shù).
從而,當(dāng)t=10時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此時(shí)f(t)min=15.
答:當(dāng)t=10時(shí),公路l的長度最短,最短長度為15千米.
評(píng)析 本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.
【三年模擬】
一、填空題(單空題4分,多空題6分,共16分)
1.(2019屆鎮(zhèn)海中學(xué)期中考試
22、,17)設(shè)函數(shù)f(x)=若存在互不相等的4個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,x3,x4,使得====7,則a的取值范圍為 .?
答案 (6,18)
2.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,11)我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載:“三百七十八里關(guān),初日健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”其大意:“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了6天才到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為 里.?
答案 192
3.(2018浙江寧波高三上學(xué)期期末,17)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=BC=1,AD=CD=,∠DAB=∠DCB=90
23、°,點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),M,N分別在線段BD,BC上,則PM+MN的最小值為 .?
答案 1
4.(2018浙江嵊州高三質(zhì)檢,17)已知函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+1+|x2-ax+1|的最小值為,則實(shí)數(shù)a的值為 .?
答案
二、解答題(共20分)
5.(2018浙江杭州高三5月模擬考試,18)中國古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一,給人以美的享受.如圖為一花窗中的一部分,呈長方形,長30 cm,寬26 cm,其內(nèi)部窗芯(不含長方形邊框)用一種條形木料做成,由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成,整個(gè)窗芯關(guān)于長方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長分別為x cm和y
24、 cm,窗芯所需條形木料的長度之和為L cm.
(1)試用x,y表示L;
(2)如果要求六根支條的長度均不小于2 cm,每個(gè)菱形的面積為130 cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長的條形木料(不計(jì)卯榫及其他損耗)?
解析 (1)水平方向每根支條長為m==(15-x)cm,豎直方向每根支條長為n==cm,菱形的一條邊長為= cm.
所以L=2(15-x)+4+8×
=82+4-2(x+y).
(2)由題意得xy=130,即y=,
由得≤x≤13.
所以L=82+4-2.
令t=x+,求導(dǎo)得t'(x)=1-.
當(dāng)≤x≤13時(shí),t'(x)<0.
故t=x+在上單調(diào)遞減
25、,故t∈.
所以L=82+4-2t,其中定義域t∈.
求導(dǎo)得L'(t)=2,當(dāng)t∈時(shí),L'(t)>0,所以L=82+4-2t在t∈上為增函數(shù),
故當(dāng)t=33,即x=13,y=20時(shí),L有最小值16+4.
所以做這樣一個(gè)窗芯至少需要(16+4)cm長的條形木料.
6.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測試,20)已知函數(shù)f(x)=|x2-2mx-n|(m,n∈R).
(1)當(dāng)n=3m2時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)記函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M,若M≥k對(duì)任意的m,n恒成立,試求k的最大值.
解析 (1)當(dāng)n=3m2時(shí), f(x)=|x2-2mx-3m2|=|(
26、x+m)·(x-3m)|,函數(shù)y=x2-2mx-3m2的對(duì)稱軸為直線x=m.
故當(dāng)m>0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-m]上為減函數(shù),在區(qū)間[-m,m]上為增函數(shù),在區(qū)間[m,3m]上為減函數(shù),在區(qū)間[3m,+∞)上為增函數(shù).
當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]上為減函數(shù),在區(qū)間[0,+∞)上為增函數(shù).
當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,3m]上為減函數(shù),在區(qū)間[3m,m]上為增函數(shù),在區(qū)間[m,-m]上為減函數(shù),在區(qū)間[-m,+∞)上為增函數(shù).
(2)設(shè)g(x)=x2-2mx-n,其對(duì)稱軸為直線x=m.
①當(dāng)|m|>1時(shí),g(x)在區(qū)間[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),
27、則f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值在兩端點(diǎn)處取得,故M應(yīng)是f(-1)和f(1)中較大的一個(gè).
∴2M≥f(1)+f(-1)=|1-2m-n|+|1+2m-n|≥|(1-2m-n)-(1+2m-n)|=4|m|>4,∴M>2.
②當(dāng)|m|≤1時(shí),g(x)在區(qū)間[-1,m]上是減函數(shù),在區(qū)間[m,1]上是增函數(shù),
此時(shí),M=max{f(-1), f(m), f(1)}.
由g(-1)-g(1)=(1+2m-n)-(1-2m-n)=4m,g(±1)-g(m)=(m?1)2≥0.
(i)若-1≤m≤0,∵g(m)≤g(-1)≤g(1),
∴|g(-1)|≤max{|g(m)|,|g(1
28、)|}.
則M=max{|g(1)|,|g(m)|}≥ (|g(1)|+|g(m)|)≥|g(1)-g(m)|= (m-1)2≥.
(ii)若0.
故當(dāng)|m|≤1時(shí),M≥.
綜合(i)(ii)知,對(duì)于任意的m,n,都有M≥.
而當(dāng)m=0,n=時(shí), f(x)=在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M=,
故M≥k對(duì)任意的m,n恒成立的k的最大值為.
13
（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題2 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 2.8 函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用檢測
