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1、能力升級(jí)練(九) 空間幾何體及三視圖
一、選擇題
1.(2019湖南長(zhǎng)沙模擬)如圖是一個(gè)正方體,A,B,C為三個(gè)頂點(diǎn),D是棱的中點(diǎn),則三棱錐A-BCD的正視圖、俯視圖是(注:選項(xiàng)中的上圖為正視圖,下圖為俯視圖)( )
解析正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見,故為虛線,易知選A.
答案A
2.(2019遼寧沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( )
A.4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3
解析由三視圖可得該幾何體為半圓錐,底面半圓的半徑為2,高為2,則其體積V=12×13×π×
2、22×2=4π3,故選A.
答案A
3.(2019陜西西安八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( )
A.4π3 B.5π3 C.2+2π3 D.4+2π3
解析由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)半徑為1的半球與一個(gè)底面半徑為1,高為2的半圓柱組合而成的組合體,故其體積V=23π×13+12π×12×2=5π3,故選B.
答案B
4.(2019吉林長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè)(一))已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O,半徑為R的球面上,AB=6,BC=23,且四棱錐O-ABCD的體積為83,則R等于( )
A.4 B.23 C.479 D.13
解析如圖,設(shè)矩形ABCD的中
3、心為E,連接OE,EC,由球的性質(zhì)可得OE⊥平面ABCD,所以VO-ABCD=13·OE·S矩形ABCD=13×OE×6×23=83,所以O(shè)E=2,在矩形ABCD中可得EC=23,則R=OE2+EC2=4+12=4,故選A.
答案A
5.(2019江西南昌調(diào)研)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的體積為( )
A.23 B.43 C.2 D.83
解析由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,將其放在棱長(zhǎng)為2的正方體中,如圖中三棱錐A-BCD所示,故該幾何體的體積V=13×12×1×2×2=23.
答案A
6.(2019遼寧五校
4、協(xié)作體聯(lián)考)如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線及粗虛線畫出的是三棱錐的三視圖,則此三棱錐的體積是( )
A.8 B.16 C.24 D.48
解析由三視圖還原三棱錐的直觀圖,如圖中三棱錐P-ABC所示,且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6,2,4,△ABC是直角三角形,AB⊥BC,AB=2,BC=6,三棱錐P-ABC的高為4,故其體積為13×12×6×2×4=8,故選A.
答案A
7.將一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體,能切割出的圓柱的最大體積為( )
A.π27 B.8π27 C.π3 D.2π9
解析如圖所示,設(shè)圓柱的半徑為r,高為x,體積為V
5、,由題意可得r1=2-x2,所以x=2-2r,所以圓柱的體積V=πr2(2-2r)=2π(r2-r3)(0
6、.所以該多面體的表面積S=2×22-12×1×1+12×(22-12)+12×22+2×22+12×32×(2)2=21+32+42,故選D.
答案D
9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積的最大值為( )
A.1 B.16 C.13 D.12
解析由三視圖可知該幾何體為三棱錐,設(shè)此三棱錐的高為x,則正視圖中的長(zhǎng)為6-x2,所以所求體積V=13×12×6-x2×1x=16(6-x2)x2≤16×6-x2+x22=12,當(dāng)且僅當(dāng)6-x2=x,即x=3時(shí)取等號(hào),所以該幾何體的體積的最大值為12.
答案D
二、填空題
10.(2019河南洛陽(yáng)第一次聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三
7、視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 .?
解析由題圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐,如圖所示,其中PD⊥平面ABCD,底面ABCD是一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形,底面積S=12×2×2=2,高h(yuǎn)=1,則該幾何體的體積V=13Sh=23.
答案23
11.(2019福建福州四校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 .?
解析在長(zhǎng)、寬、高分別為3,33,33的長(zhǎng)方體中,由幾何體的三視圖得幾何體為如圖所示的三棱錐C-BAP,其中底面BAP是∠BAP=90°的直角三角形,AB=3,AP=33,所以BP=6,又棱CB⊥平面BAP且CB=33,所以AC=6,所以
8、該幾何體的表面積是12×3×33+12×3×33+12×6×33+12×6×33=273.
答案273
12.(2019山東濰坊模擬)已知正四棱柱的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,且球的表面積為12π,當(dāng)正四棱柱的體積最大時(shí),正四棱柱的高為 .?
解析設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h,球的半徑為r,由題意知4πr2=12π,所以r2=3,又2a2+h2=(2r)2=12,所以a2=6-h22,所以正四棱柱的體積V=a2h=6-h22h,則V'=6-32h2,由V'>0,得02,所以當(dāng)h=2時(shí),正四棱柱的體積最大,Vmax=8.
答案2
13.(2019江西
9、南昌調(diào)研)已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC滿足AB=22,∠ACB=90°,PA為球O的直徑且PA=4,則點(diǎn)P到底面ABC的距離為 .?
解析取AB的中點(diǎn)O1,連接OO1,如圖,在△ABC中,AB=22,∠ACB=90°,所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓,所以O(shè)1A=2,且OO1⊥AO1,又球O的直徑PA=4,所以O(shè)A=2,所以O(shè)O1=OA2-O1A2=2,且OO1⊥底面ABC,所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為2OO1=22.
答案22
三、解答題
14.如圖所示,正四棱臺(tái)的高是17 cm,兩底面邊長(zhǎng)分別為4 cm和16 cm,求棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和
10、斜高.
解設(shè)棱臺(tái)兩底面的中心分別為O'和O,B'C',BC的中點(diǎn)分別為E',E,連接O'B',O'E',O'O,OE,OB,EE',則四邊形O'E'EO,OBB'O'均為直角梯形.
在正方形ABCD中,BC=16cm,
則OB=82cm,OE=8cm,
在正方形A'B'C'D'中,B'C'=4cm,
則O'B'=22cm,O'E'=2cm,
在直角梯形O'OBB'中,
BB'=OO'2+(OB-O'B')2=19(cm);
在直角梯形O'OEE'中,
EE'=OO'2+(OE-O'E')2=513(cm).
所以這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm,斜高為513cm.
15
11、.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?
解由PO1=2m,知O1O=4PO1=8m.
因?yàn)锳1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=13·A1B12·PO1=13×62×2=24(m3);
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積
V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3),
所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).
故倉(cāng)庫(kù)的容積是312m3.
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