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1、考點測試29 等差數(shù)列
高考概覽
本考點是高考必考知識點，?？碱}型為選擇題、填空題和解答題，分值5分、12分，中、低等難度
考綱研讀
1．理解等差數(shù)列的概念
2．掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式
3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應的問題
4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系
一、基礎(chǔ)小題
1．已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，則n＝( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 因為d＝＝2，所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8．故選C．
2
2、．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝( )
A．10 B．18 C．20 D．28
答案 C
解析 由題意可知a3＋a8＝a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，故選C．
3．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝( )
A．72 B．88 C．92 D．98
答案 C
解析 由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，所以{an}為等差數(shù)列，公差為3，由a4＋a5＝23得2a1＋7d＝23，所以a1＝1，S8＝8＋×8×7×3＝92．故選C．
3、4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝( )
A．8 B．7 C．6 D．5
答案 D
解析 由a1＝1，公差d＝2，得通項an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，解得k＝5．故選D．
5．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a8＋a11＝30，則S13＝( )
A．130 B．65 C．70 D．140
答案 A
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由a2＋a8＋a11＝30，可得a1＋6d＝10，故S13＝＝13(a1＋6d)＝130．故選A
4、．
6．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a＋a＝a＋a，則該數(shù)列的前10項和S10＝( )
A．－10 B．－5 C．0 D．5
答案 C
解析 由a＋a＝a＋a得a－a＝a－a，即(a4－a6)(a4＋a6)＝(a7－a5)(a7＋a5)，也即－2d×2a5＝2d×2a6，由d≠0，得a6＋a5＝a1＋a10＝0，所以S10＝5(a1＋a10)＝0．故選C．
7．在等差數(shù)列{an}中，已知S4＝1，S8＝4，設(shè)S＝a17＋a18＋a19＋a20，則S的值為( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 B
解析 由S4＝1，S8＝4得S8－S4＝3，所以
5、S12－S8＝5，所以S16－S12＝7，所以S＝S20－S16＝9．故選B．
8．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn．已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝________．
答案 10
解析 因為am－1＋am＋1－a＝0，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以2am－a＝0，解得am＝0或am＝2．又S2m－1＝38，所以am＝0不符合題意，所以am＝2．所以S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，解得m＝10．
二、高考小題
9．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝( )
A．－12 B．－10 C．1
6、0 D．12
答案 B
解析 設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題中的條件可得3×＝2×2＋d＋4×2＋·d，解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10，故選B．
10．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 在等差數(shù)列{an}中，S6＝＝48，則a1＋a6＝16＝a2＋a5．又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4．故選C．
11．(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比
7、數(shù)列，則{an}前6項的和為( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
答案 A
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意得a＝a2·a6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2或d＝0(舍去)，又a1＝1，所以S6＝6×1＋×(－2)＝－24．故選A．
12．(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
答案 C
解析 設(shè){an}的公差為d，由等差數(shù)列的前n項和公式及通項公式，得解得an＝a1＋(n－1)d＝n－2，所以a100＝100－2＝98．故選C．
8、
13．(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項公式為________．
答案 an＝6n－3
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n－1)＝6n－3．
14．(2016·江蘇高考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________．
答案 20
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由題設(shè)可得
解得從而a9＝a1＋8d＝20．
三、模擬小題
15．(2018·深圳4
9、月調(diào)研)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝S3＝3，則S4的值為( )
A．－3 B．0 C．3 D．6
答案 B
解析 解法一：由S3＝3a2＝3，得a2＝1，又a1＝3，則公差d＝－2，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3＋1＋(－1)＋(－3)＝0，故選B．
解法二：a2＋a3＝S3－a1＝0，則S4＝2(a2＋a3)＝0，故選B．
16．(2018·青島質(zhì)檢)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝3a4，且S9＝λa4，則λ的值為( )
A．18 B．20 C．21 D．25
答案 A
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，
10、公差為d．由a6＝3a4，得a1＋5d＝3(a1＋3d)，所以a1＝－2d．由S9＝λa4，得9a1＋36d＝λ(a1＋3d)，代入a1＝－2d，得λ＝18．故選A．
17．(2018·沈陽質(zhì)檢一)在等差數(shù)列{an}中，若Sn為其前n項和，2a7＝a8＋5，則S11的值是( )
A．55 B．11 C．50 D．60
答案 A
解析 依題意有a7－(a8－a7)＝5，即a7－d＝5(d為{an}的公差)，亦即a6＝5．從而S11＝11a6＝11×5＝55．故選A．
18．(2018·安徽江南十校模擬)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著，書中《均屬章》有如下問題：“今有五人分五錢
11、，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知A，B，C，D，E五人分5錢，A，B兩人所得與C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)．在這個問題中，E所得為( )
A．錢 B．錢 C．錢 D．錢
答案 A
解析 由題意，設(shè)A所得為a－4d，B所得為a－3d，C所得為a－2d，D所得為a－d，E所得為a，則解得a＝，故E所得為錢．故選A．
19．(2018·衡陽二模)已知在等差數(shù)列{an}中，－1<<0，若它的前n項和Sn有最大值，則當Sn>0時，n的最大值為( )
A．11 B．12
12、C．13 D．14
答案 B
解析 由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且它的前n項和Sn有最大值，可得d<0．因為－1<<0，由<0，得a6>0，a7<0，由>－1，得>0，所以a6＋a7>0，所以a1＋a12>0，所以S12>0，又S13＝13a7<0，則當Sn>0時，n的最大值為12，故選B．
20．(2018·合肥質(zhì)檢三)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且數(shù)列為等差數(shù)列，若S2＝1，S2018－S2016＝5，則S2018＝________．
答案 3027
解析 依題意，設(shè)＝xn＋y(x，y∈R)，則＝＝2x＋y，且S2018－S2016＝20182x＋2018y－(20162x
13、＋2016y)＝5，聯(lián)立可解得x＝，y＝．則Sn＝n2＋n，S2018＝3027．
一、高考大題
1．(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)設(shè){an}的公差為d，由題意，得3a1＋3d＝－15．
由a1＝－7，得d＝2．
所以{an}的通項公式為an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9．
(2)由(1)，得Sn＝n×(－7)＋×2＝n2－8n＝(n－4)2－16．
所以當n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16．
2．(2018·北京高考)設(shè){an}
14、是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean．
解 (1)設(shè){an}的公差為d．
因為a2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2．
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2．
(2)因為ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以{ean}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2．
3．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝2，S3＝－6．
15、
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列．
解 (1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)可得
解得q＝－2，a1＝－2．
故{an}的通項公式為an＝(－2)n．
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n·．
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·
＝2－＋(－1)n·＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列．
二、模擬大題
4．(2018·福建龍巖檢測)已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝．
(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項
16、公式．
解 (1)證明：－＝
＝，∴bn＋1－bn＝，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝．
5．(2018·福建外國語中學調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，前n項和為Sn，且a2·a3＝45，S4＝28．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(c為非零常數(shù))，且數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，求c的值．
解 (1)∵S4＝28，∴＝28，
∴a1＋a4＝14，∴a2＋a3＝14，
又a2·a3＝45，公差d>0，
∴a2
17、Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝．
又{bn}是等差數(shù)列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．
6．(2019·河南鄭州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23．
(1)求an；
(2)設(shè)Sn為{an}的前n項和，求Sn的最小值．
解 (1)∵an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，①
an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44，②
由②－①，得an＋2－an＝2．
又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23，∴a2＝－19，
同理得，a3＝－21，a4＝－17．
故a1，a3，a5，
18、…是以a1為首項，2為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，…是以a2為首項，2為公差的等差數(shù)列．
從而an＝
(2)當n為偶數(shù)時，
Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2(n－1)－44]
＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－×44＝－22n，
故當n＝22時，Sn取得最小值為－242．
當n為奇數(shù)時，
Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]
＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋·(－44)
＝－23＋－22(n－1)
＝－22n－．
故當n＝21或n＝23時，Sn取得最小值－243．
綜上所述：當n為偶數(shù)時，Sn取得最小值為－242；當n為奇數(shù)時，Sn取得最小值為－243．
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2020高考數(shù)學刷題首選卷 第四章 數(shù)列 考點測試29 等差數(shù)列 文（含解析）
