《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機變量、空間向量(理)7.1 隨機變量與分布列達標訓(xùn)練(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機變量、空間向量(理)7.1 隨機變量與分布列達標訓(xùn)練(含解析)(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、隨機變量與分布列
A組——大題保分練
1.(2018·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球,每種顏色的小球各有4個,分別編號為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機取兩個球.
(1)若兩個球顏色不同,求不同取法的種數(shù);
(2)在(1)的條件下,記兩球編號的差的絕對值為隨機變量X,求隨機變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.
解:(1)兩個球顏色不同的情況共有C·42=96(種).
(2)隨機變量X所有可能的值為0,1,2,3.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以隨機變量X的概率分布列為
X
0
1
2
3
P
2、
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
2.某射擊小組有甲、乙兩名射手,甲的命中率為p1=,乙的命中率為p2.在射擊比賽活動中,每人射擊兩發(fā)子彈,則完成一次檢測.在一次檢測中,若兩人命中次數(shù)相同且都不少于一發(fā),則稱該射擊小組為“和諧組”.
(1)若p2=,求該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率;
(2)若計劃在2019年每月進行1次檢測,記這12次檢測中該小組獲得“和諧組”的次數(shù)為X,如果E(X)≥5,求p2的取值范圍.
解:(1)記該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為P,
則P=+×·×=.即該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為.
(2)該小組在一
3、次檢測中榮獲“和諧組”的概率為
P=×Cp2(1-p2)+p
=p2-p.
因為該小組在這12次檢測中獲得“和諧組”的次數(shù)X~B(12,P),所以E(X)=12P.
由E(X)≥5得12≥5,
解得≤p2≤.
因為p2≤1,所以p2的取值范圍為.
3.從集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三個元素構(gòu)成子集{a,b,c}.
(1)求a,b,c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2的概率;
(2)記a,b,c三個數(shù)中相鄰自然數(shù)的組數(shù)為ξ(如集合{3,4,5}中3和4相鄰,4和5相鄰,ξ=2),求隨機變量ξ的概率分布及其數(shù)學(xué)期望E(ξ).
解:(1)從9個不同的元素中任
4、取3個不同元素,其基本事件總數(shù)為n=C.
記“a,b,c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2”為事件A.
由題意,a,b,c均不相鄰,可利用插空法.假設(shè)有6個元素排成一列,則6個元素之間和兩端共有7個空位,現(xiàn)另取3個元素插入空位,共有C種插法,然后將這9個元素,從左到右編號,依次為1,2,3,…,9,則插入的這3個元素中任意兩者之差的絕對值均不小于2,所以事件A包含的基本事件數(shù)m=C.
故P(A)==.
所以a,b,c中任意兩數(shù)之差的絕對值均不小于2的概率為.
(2)ξ的所有可能取值為0,1,2.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==.
所以ξ的概率分布為
ξ
5、0
1
2
P
數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×+1×+2×=.
4.已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為,某實驗小組對該種植物的種子進行發(fā)芽試驗,若該實驗小組共種
植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨立),用ξ表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對值.
(1)求隨機變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(2)求不等式ξx2-ξx+1>0的解集為R的概率.
解:(1)由題意知,這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4,對應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0,
所以ξ的所有可能取值為0,2,4,
P(ξ=0)=C×2×2=,
P(
6、ξ=2)=C×3×1+C×1×3=,
P(ξ=4)=C×4×0+C×0×4=.
所以隨機變量ξ的概率分布為
ξ
0
2
4
P
數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×+2×+4×=.
(2)由(1)知ξ的所有可能取值為0,2,4,
當(dāng)ξ=0時,代入ξx2-ξx+1>0,得1>0,對x∈R恒成立,即解集為R;
當(dāng)ξ=2時,代入ξx2-ξx+1>0,得2x2-2x+1>0,
即22+>0,對x∈R恒成立,即解集為R;
當(dāng)ξ=4時,代入ξx2-ξx+1>0,得4x2-4x+1>0,其解集為x≠,不滿足題意.
所以不等式ξx2-ξx+1>0的解集為R的概率P=P(ξ=0
7、)+P(ξ=2)=.
B組——大題增分練
1.(2018·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試,每門得A等級的概率都是,該學(xué)生各學(xué)科等級成績彼此獨立.規(guī)定:有一門學(xué)科獲A等級加1分,有兩門學(xué)科獲A等級加2分,有三門學(xué)科獲A等級加3分,四門學(xué)科獲A等級則加5分.記X1表示該生的加分數(shù),X2表示該生獲A等級的學(xué)科門數(shù)與未獲A等級學(xué)科門數(shù)的差的絕對值.
(1)求X1的數(shù)學(xué)期望;
(2)求X2的分布列.
解:(1)記該學(xué)生有i門學(xué)科獲得A等級為事件Ai,i=0,1,2,3,4.
X1的可能取值為0,1,2,3,5.
則P(Ai)=Ci4-i,
即P(A0)=,P(A1)=,P
8、(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,則X1的分布列為
X1
0
1
2
3
5
P
所以E(X1)=0×+1×+2×+3×+5×=.
(2)X2的可能取值為0,2,4,則
P(X2=0)=P(A2)=;
P(X2=2)=P(A1)+P(A3)=+=;
P(X2=4)=P(A0)+P(A4)=+=.
所以X2的分布列為
X2
0
2
4
P
2.(2018·南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點P處分別向A,B,C三個目標進行射擊,每人向三個目標各射擊一次.每人每次射擊每個目標均相互獨立,且兩人各自擊中A,B,C的概
9、率分別為,,.
(1)設(shè)X表示甲擊中目標的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)求甲、乙兩人共擊中目標數(shù)為2個的概率.
解:(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=××+××+××=,
P(X=3)=××=.
所以隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)設(shè)Y表示乙擊中目標的個數(shù),
由(1)可知,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=.
則P(X=0,Y=2)=×=,
P(X=1,
10、Y=1)=×=,
P(X=2,Y=0)=×=,
所以P(X+Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=.
所以甲、乙兩人共擊中目標的個數(shù)為2的概率為.
3.如圖,設(shè)P1,P2,…,P6為單位圓上逆時針均勻分布的六個點,現(xiàn)任選其中三個不同點構(gòu)成一個三角形,記該三角形的面積為隨機變量S.
(1)求S=的概率;
(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S).
解:(1)從六個點中任選三個不同點構(gòu)成一個三角形共有C種不同選法,其中S=的為有一個角是30°的直角三角形(如△P1P4P5),共6×2=12種,
所以P==.
(2)S的所有可能取值為,,.S=
11、的為頂角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3),共6種,
所以P==.
S=的為等邊三角形(如△P1P3P5),共2種,
所以P==.
又由(1)知P==,
故S的分布列為
S
P
所以E(S)=×+×+×=.
4.一個摸球游戲,規(guī)則如下:在一不透明的紙盒中,裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球.參加者交費1元可玩1次游戲,從中有放回地摸球3次.參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球,然后摸球.當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時,游戲費被沒收;當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次,2次,3次時,參加者可相應(yīng)獲得游戲費的0倍,1倍,k倍的獎勵(k∈N*),且游戲費仍退還給參加者.記參加者玩1次游戲的收益為X元.
(1)求概率P(X=0)的值;
(2)為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元,求k的最小值.
解:(1)事件“X=0”表示“有放回的摸球3回,所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”,
則P(X=0)=3××2=.
(2)依題意得,X的可能值為k,-1,1,0,
且P(X=k)=3=,P(X=-1)=3=,P(X=1)=3×2×=,
結(jié)合(1)知,參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)=k×+(-1)×+1×=,
為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元,
所以k≥110,即kmin=110.
故k的最小值為110.
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