（京津魯瓊專用）2020版高考數學二輪復習 第二部分 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積練典型習題 提數學素養(yǎng)（含解析）

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1、第1講　空間幾何體的三視圖、表面積與體積 一、選擇題 1.水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一個(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形 解析：選A.AO＝2A′O′＝2×＝，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2， 在Rt△AOB中，AB＝＝2，同理AC＝2，所以△ABC是等邊三角形． 2．給出下列幾個命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線； ②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱； ③棱臺的上、下

2、底面可以不相似，但側棱長一定相等．其中正確命題的個數是(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：選B.①錯誤，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺是上、下底面相似且對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等． 3．(2019·武漢市調研測試)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點，則三棱錐A-BC1M 的體積VA-BC1M＝(　　) A． B． C． D． 解析：選C.VA-BC1M＝VC1-ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故選C. 4．把一個半徑為20的半圓

3、卷成圓錐的側面，則這個圓錐的高為(　　) A．10 B．10 C．10 D．5 解析：選B.設圓錐的底面半徑為r，高為h.因為半圓的弧長等于圓錐的底面周長，半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝＝10. 5．(2019·湖北武漢5月模擬)已知長方體全部棱長的和為36，表面積為52，則其體對角線的長為(　　) A．4 B． C．2 D．4 解析：選B.設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，由已知得 ①的兩邊同時平方得x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz＝81，把②代入得x2＋y2＋z2＝29，所以長方體的體對角線的長為.故選B. 6．已知圓柱的

4、高為2，底面半徑為，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積等于(　　) A．4π B．π C．π D．16π 解析：選D.如圖，由題意知圓柱的中心O為這個球的球心，于是，球的半徑r＝OB＝＝＝2.故這個球的表面積S＝4πr2＝16π.故選D. 7．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，則點B到平面D1AC的距離等于(　　) A． B． C．1 D． 解析：選B.如圖，連接BD1，易知D1D就是三棱錐D1-ABC的高，AD1＝CD1＝，取AC的中點O，連接D1O，則D1O⊥AC，所以D1O＝＝.設點B到平面D1AC的距離為h，則由

5、VB-D1AC＝VD1-ABC，即S△D1AC·h＝S△ABC·D1D，又S△D1AC＝D1O·AC＝××2＝，S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，所以h＝.故選B. 8．在三棱錐S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱錐S-ABC的體積為，則該三棱錐的外接球半徑是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.取SC的中點O，連接OA，OB，則OA＝OB＝OC＝OS，即O為三棱錐的外接球球心，設半徑為r，則×2r×r2＝，所以r＝3. 9．(2019·安徽省江南十校3月檢測)我國南北朝時期的科學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既

6、同，則積不容異．”意思是：如果兩個等高的幾何體在等高處的水平截面的面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等．利用此原理求以下幾何體的體積：如圖，曲線y＝x2(0≤y≤L)和直線y＝L圍成的封閉圖形繞y軸旋轉一周得幾何體Z，將Z放在與y軸垂直的水平面α上，用平行于平面α，且與Z的頂點O距離為l的平面截幾何體Z，得截面圓的面積為π()2＝πl(wèi).由此構造右邊的幾何體Z1(三棱柱ABC-A1B1C1)，其中AC⊥平面α，BB1C1C∥α，EFPQ∥α，AC＝L，AA1?α，AA1＝π，Z1與Z在等高處的截面面積都相等，圖中EFPQ和BB1C1C為矩形，且PQ＝π，FP＝l，則幾何體Z1的體積為(　　)

7、 A．πL2 B．πL3 C．πL2 D．πL3 解析：選C.由題意可知，在高為L處，幾何體Z和Z1的水平截面面積相等，為πL， 所以S矩形BB1C1C＝πL，所以BC＝L，所以V三棱柱ABC-A1B1C1＝S△ABC·π＝πL2，故選C. 10．(2019·重慶市七校聯合考試)已知正三棱錐的高為6，內切球(與四個面都相切)的表面積為16π，則其底面邊長為(　　) A．18 B．12 C．6 D．4 解析：選B.由題意知，球心在三棱錐的高PE上，設內切球的半徑為R，則S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝＝2.因為△OPF∽△

8、DPE，所以＝，得DE＝2，AD＝3DE＝6，AB＝AD＝12.故選B. 11．(多選)在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下幾種幾何圖形的4個頂點，這些幾何圖形可以是(　　) A．矩形 B．有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體 C．每個面都是直角三角形的四面體 D．每個面都是等邊三角形的四面體 解析：選ABCD.4個頂點連成矩形的情形顯然成立；圖(1)中四面體A1-D1B1A是B中描述的情形；圖(2)中四面體D-A1C1B是D中描述的情形；圖(3)中四面體A1-D1B1D 是C中描述的情形． 12．(多選)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1

9、的棱長為2，則下列四個結論正確的是(　　) A．直線A1C1與AD1為異面直線 B．A1C1∥平面ACD1 C．BD1⊥AC D．三棱錐D1-ADC的體積為 解析：選ABC.對于A，直線A1C1?平面A1B1C1D1，AD1?平面ADD1A1， D1?直線A1C1，則易得直線A1C1與AD1為異面直線，故A正確； 對于B，因為A1C1∥AC，A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1， 所以A1C1∥平面ACD1，故B正確； 對于C，連接BD，因為正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正確

10、； 對于D，三棱錐D1-ADC的體積V三棱錐D1-ADC＝××2×2×2＝，故D錯誤． 13．(多選)如圖，AB為圓O的直徑，點E，F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則(　　) A．平面BCF⊥平面ADF B．EF⊥平面DAF C．△EFC為直角三角形 D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶4 解析：選AD.因BF⊥AF，BF⊥DA，所以BF⊥平面DAF， 所以平面BCF⊥平面ADF， 由題意可知，平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V四棱錐F-ABCD，V三棱錐F-CBE.過點F作FG⊥AB于

11、點G，因為平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，FG?平面ABEF，所以FG⊥平面ABCD.所以V四棱錐F-ABCD＝×1×2×FG＝FG，V三棱錐F-BCE＝V三棱錐C-BEF＝×S△BEF×CB＝××FG×1×1＝FG，由此可得V三棱錐C-BEF∶V四棱錐F-ABCD＝1∶4. 二、填空題 14．(一題多解)(2019·淄博市第一次模擬測試)底面邊長為6，側面為等腰直角三角形的正三棱錐的高為________．　 解析：法一：由題意得，三棱錐的側棱長為3，設正三棱錐的高為h，則××3×3×3＝××36h，解得h＝. 法二：由題意得，三棱錐的側棱長為3，底面正三

12、角形的外接圓的半徑為2，所以正三棱錐的高為＝. 答案： 15．(2019·高考天津卷)已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________． 解析：由題可得，四棱錐底面對角線的長為2，則圓柱底面的半徑為，易知四棱錐的高為＝2，故圓柱的高為1，所以圓柱的體積為π××1＝. 答案： 16．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為____________． 解析：如圖，過點P

13、分別作PE⊥BC交BC于點E，作PF⊥AC交AC于點F.由題意知PE＝PF＝.過P作PH⊥平面ABC于點H，連接HE，HF，HC，易知HE＝HF，則點H在∠ACB的平分線上，又∠ACB＝90°，故△CEH為等腰直角三角形．在Rt△PCE中，PC＝2，PE＝，則CE＝1，故CH＝，在Rt△PCH中，可得PH＝，即點P到平面ABC的距離為. 答案： 17．(2019·河南八市重點高中聯盟測評改編)已知一個高為1的三棱錐，各側棱長都相等，底面是邊長為2的等邊三角形，則三棱錐的表面積為________，若三棱錐內有一個體積為V的球，則V的最大值為________． 解析：該三棱錐側面的斜高為＝，則S側＝3××2×＝2，S底＝××2＝，所以三棱錐的表面積S表＝2＋＝3.由題意知，當球與三棱錐的四個面都相切時，其體積最大．設三棱錐的內切球的半徑為r，則三棱錐的體積V錐＝S表·r＝S底·1，所以3r＝，所以r＝，所以三棱錐的內切球的體積最大為Vmax＝πr3＝. 答案：3　 - 7 -