（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 第8講 直線與圓練習(xí)

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1、第8講 直線與圓 A級(jí)——高考保分練 1．已知直線l1∶x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝0或a＝－時(shí)均有l(wèi)1∥l2. 答案：－或0 2．已知圓(x－2)2＋y2＝9，則過(guò)點(diǎn)M(1,2)的最長(zhǎng)弦與最短弦的長(zhǎng)之和為_(kāi)_______． 解析：圓(x－2)2＋y2＝9的圓心為(2,0)，半徑為3，所以過(guò)點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為6，最短弦的長(zhǎng)為2＝4，所以過(guò)點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦與最短弦的長(zhǎng)之和為10. 答案：10 3．已知直線3

2、x＋ay＝0(a>0)被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則a＝________. 解析：由已知條件可知，圓的半徑為2，又直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，故圓心到直線的距離為，即＝，解得a＝. 答案： 4．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是________． 解析：圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為r1＝1，圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r2＝2，故兩圓的圓心距O1O2＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1

3、，則圓C的半徑為_(kāi)_______． 解析：法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,0)和(2,3)， ∴∴a＋b－2＝0.① 又圓C截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，∴|a|＝|b|.② 由①②得a＝b＝1，∴圓C的半徑為. 法二：∵圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－1,0)和N(2,3)，∴圓心C在線段MN的垂直平分線y＝－x＋2上，又圓C截兩坐標(biāo)軸所得弦長(zhǎng)相等，∴圓心C到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴圓心C在直線y＝±x上，∵直線y＝－x和直線y＝－x＋2平行，∴圓心C為直線y＝x和直線y＝－x＋2的交點(diǎn)(1,1)，∴圓C的半徑為. 答案： 6．已知a∈R且為常數(shù)，

4、圓C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)(1,2)的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程為2x－y＝0，則a＝________. 解析：圓的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圓心為C(－1，a)，當(dāng)弦AB長(zhǎng)度最短時(shí)，∠ACB最小，此時(shí)圓心C與定點(diǎn)(1,2)的連線和直線2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，解得a＝3. 答案：3 7．兩圓x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于兩點(diǎn)M，N，則線段MN的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：兩圓方程相減，得直線MN的方程為x－2y＋4＝0，圓x2＋y2＋2x－8＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)

5、2＋y2＝9，所以圓x2＋y2＋2x－8＝0的圓心為(－1,0)，半徑為3，圓心(－1,0)到直線MN的距離d＝，所以線段MN的長(zhǎng)為2 ＝. 答案： 8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(0，a)，B(3，a＋4)，若圓x2＋y2＝9上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C，使得△ABC的面積為5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因?yàn)锳(0，a)，B(3，a＋4)，所以AB＝5，直線AB的方程為y＝x＋a，因?yàn)镾△ABC＝AB·h＝h＝5，故h＝2，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在圓上存在4個(gè)點(diǎn)C，使得它到直線AB的距離為2.因?yàn)閳A的半徑為3，因此，圓心O到直線AB的距離小于1，即<1，解得－

6、 答案： 9．(2019·常州期末)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓x2＋y2＝1交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)A是該圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，以AQ為直徑的圓與直線l有異于Q的交點(diǎn)N，且直線AN與直線AP的斜率之積等于1，那么直線l的方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)P(x0，y0)，易知x0≠0，－1，y0≠0，則x＋y＝1，kPQ＝.由AQ為圓的直徑得AN⊥PQ得kAN＝－，kAN·kAP＝－·＝1，得x0＝－，y0＝±，kPQ＝＝±.所以直線l的方程為y＝±x. 答案：y＝±x 10．(2019·無(wú)錫期末)已知點(diǎn) P 在圓 M: (x－a)2＋(y－a＋2)2＝1 上， A，B為圓C: x2 ＋(y－4)2

7、 ＝4上兩動(dòng)點(diǎn)，且AB ＝2， 則 ·的最小值是________． 解析：設(shè)弦AB 的中點(diǎn)為D，則＝＋，＝＋，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－3，因?yàn)镃D＝ ＝1，所以點(diǎn)D在以C為圓心，1為半徑的圓上， 故PDmin＝MCmin－CD－PM＝MCmin－2，又因?yàn)镸C＝＝ ＝ ≥3，故PD≥3－2，所以 ·≥(3－2)2－3＝19－12. 答案：19－12 11．已知圓M過(guò)C(1，－1)，D(－1,1)兩點(diǎn)，且圓心M在x＋y－2＝0上． (1)求圓M的方程； (2)設(shè)P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最

8、小值． 解：(1)設(shè)圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 根據(jù)題意得解得 故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖， 并連結(jié)PM，由題意知，四邊形PAMB的面積為 S＝S△PAM＋S△PBM＝(AM·PA＋BM·PB)． 又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA. 而PA2＝2－2＝2－4， 即S＝2. 因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可， 即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)P，使得PM的值最小． 所以(PM)min＝＝3， 所以四邊形PAMB面積的最小值為2＝2. 12．已知圓M的方程為x2＋(y

9、－2)2＝1，直線l的方程為x－2y＝0，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B. (1)若∠APB＝60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，過(guò)P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD＝時(shí)，求直線CD的方程； (3)求證：經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)設(shè)P(2m，m)，因?yàn)椤螦PB＝60°，AM＝1， 所以MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4， 解得m＝0或m＝， 故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0,0)或P. (2)易知直線CD的斜率存在， 可設(shè)直線CD的方程為y－1＝k(x－2)， 由題知圓心M到直線CD的

10、距離為， 所以＝，解得k＝－1或k＝－， 故所求直線CD的方程為x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0. (3)證明：設(shè)P(2m，m)，MP的中點(diǎn)Q， 因?yàn)镻A是圓M的切線， 所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓， 故其方程為(x－m)2＋2＝m2＋2， 化簡(jiǎn)得x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是關(guān)于m的恒等式， 故解得或 所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)(0,2)或. B級(jí)——難點(diǎn)突破練 1．(2019·南京、鹽城一模)設(shè)A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，點(diǎn)P∈A，過(guò)點(diǎn)P引圓(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的兩條切線PA，PB，若∠APB

11、的最大值為，則r的值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)圓心為C.因?yàn)椤螦PB＝2∠APC，所以∠APC的最大值為，所以PC的最小值為2r，則＝2＝2r，即r＝1. 答案：1 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2＋y2＝1，P為直線l：x＝上一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線交圓O于點(diǎn)A，B，且B恰為線段AP的中點(diǎn)，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是________． 解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，A(x，y)，則B，因?yàn)辄c(diǎn)A，B均在圓O上，所以有該方程組有解，即圓x2＋y2＝1與圓2＋(y＋y0)2＝4有公共點(diǎn)，于是1≤≤3，解得－≤y0≤，即點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是. 答案： 3．已知圓C：(x－3)2＋(y

12、－4)2＝4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A(1,0)． (1) 若l1與圓相切，求直線l1的方程； (2) 若l1與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x＋2y＋2＝0的交點(diǎn)為N，判斷AM·AN是否為定值．若是，則求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)若直線l1的斜率不存在，即直線l1的方程為x＝1，符合題意； 若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 由題意知，圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2，即＝2，解得k＝，則l1：3x－4y－3＝0. 所求直線l1的方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2)直線與圓相交，斜率必定存在，

13、且不為0，可設(shè)直線l1方程為kx－y－k＝0. 由得N. 又因?yàn)橹本€CM與l1垂直， 故可得M. 所以AM·AN＝·＝·＝6，為定值．故AM·AN是定值，且為6. 4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點(diǎn)A(－1,0)，B(1,2)． (1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，MN＝AB，求直線l的方程； (2)在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由． 解：(1)因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝4， 所以圓心C(2,0)，半徑為2. 因?yàn)閘∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，

14、 所以直線l的斜率為＝1， 設(shè)直線l的方程為x－y＋m＝0， 則圓心C到直線l的距離為d＝＝. 因?yàn)镸N＝AB＝＝2， 而CM2＝d2＋2，所以4＝＋2， 解得m＝0或m＝－4， 故直線l的方程為x－y＝0或x－y－4＝0. (2)假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P(x，y)， 則(x－2)2＋y2＝4， PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12， 即x2＋y2－2y－3＝0，x2＋(y－1)2＝4， 因?yàn)閨2－2|< <2＋2， 所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交， 所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2. - 7 -