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1、考點(diǎn)規(guī)范練7 函數(shù)的奇偶性與周期性
一、基礎(chǔ)鞏固
1.函數(shù)f(x)=1x-x的圖象關(guān)于( )
A.y軸對稱 B.直線y=-x對稱
C.坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D.直線y=x對稱
答案C
解析∵f(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),且定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),
∴f(x)為奇函數(shù).∴f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.
2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增的是( )
A.y=x2 B.y=2|x|
C.y=log21|x| D.y=sin x
答案C
解析函數(shù)y=x2在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù);函
2、數(shù)y=2|x|在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù);函數(shù)y=log21|x|=-log2|x|是偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù);函數(shù)y=sinx不是偶函數(shù).故選C.
3.已知函數(shù)f(x)=x4+1,x>0,cos2x,x≤0,則下列結(jié)論正確的是( )
A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是增函數(shù)
C.f(x)是周期函數(shù) D.f(x)的值域?yàn)閇-1,+∞)
答案D
解析因?yàn)閥=x4+1(x>0)的值域?yàn)?1,+∞),且y=cos2x(x≤0)的值域?yàn)閇-1,1],所以f(x)的值域?yàn)?1,+∞)∪[-1,1]=[-1,+∞).故選D.
4.已知函數(shù)y=f(x)+x是偶函數(shù),且f(2)
3、=1,則f(-2)=( )
A.1 B.5 C.-1 D.-5
答案B
解析令g(x)=f(x)+x,
由題意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.
又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.
5.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)為偶函數(shù),且f(1)=2,則f(4)+f(5)的值為( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
答案A
解析∵f(x+1)為偶函數(shù),f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,
∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),
∴f(x+2)=-f(x)
4、,f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),則f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,
∴f(4)+f(5)=0+2=2,故選A.
6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x).若當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f(x)=2x-2,則f(log1242)的值為( )
A.0 B.1 C.2 D.-2
答案A
解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(log1242)=f(-log2252)=f-52=-f52.
又f(x+2)=f(x),
所以f52=f12=212-2=0.
所以f(log1242)=0.
7.已知定義域?yàn)?/p>
5、R的函數(shù)f(x)在區(qū)間(8,+∞)內(nèi)為減函數(shù),且函數(shù)y=f(x+8)為偶函數(shù),則( )
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)
C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
答案D
解析由y=f(x+8)為偶函數(shù),知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=8對稱.
又f(x)在區(qū)間(8,+∞)內(nèi)為減函數(shù),故f(x)在區(qū)間(-∞,8)內(nèi)為增函數(shù).
可畫出f(x)的草圖(圖略),知f(7)>f(10).
8.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2+2x.若f(2-a2)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,
6、2)
C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案C
解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2+2x.
作出f(x)的大致圖象如圖中實(shí)線部分,結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù).
由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2
7、10.已知定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且f12=0,則f(x)>0的解集為 .?
答案x-1212
解析由奇函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且f12=0,可知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,且f-12=0.由f(x)>0,可得x>12或-12
8、f(3),
所以當(dāng)x=-3時(shí),有f(3)=f(-3)+f(3)=0,
所以f(-3)=0,f(3)=0,
所以f(x+6)=f(x),周期為6.
故f(2017)=f(1)=2.
12.已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,2],且在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞減,則滿足f(1-m)+f(1-m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .?
答案[-1,1)
解析∵f(x)的定義域?yàn)閇-2,2],
∴-2≤1-m≤2,-2≤1-m2≤2,解得-1≤m≤3.①
又f(x)為奇函數(shù),且在[-2,0]上單調(diào)遞減,
∴f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,
∴f(1-m)<-f(1-m2)=f
9、(m2-1).
∴1-m>m2-1,解得-2
10、f(x1)-f(x2)x1-x2<0,∴f(x)在(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù),
又f(x)是R上的偶函數(shù),∴f(x)在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).
∵0<0.32<20.3
11、的偶函數(shù),且對任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x2.若直線y=x+a與函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,2]上恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值是( )
A.0 B.0或-12
C.-14或-12 D.0或-14
答案D
解析因?yàn)閒(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期T=2.
因?yàn)楫?dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x2,且f(x)是偶函數(shù),所以可畫出函數(shù)y=f(x)在一個(gè)周期[0,2]上的圖象如圖所示.
顯然a=0時(shí),y=x與y=x2在區(qū)間[0,2]上恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).
另當(dāng)直線y=x+a與拋物線y=x2(0≤x≤1)相切時(shí),也恰有兩
12、個(gè)不同的公共點(diǎn).
由題意知x2=x+a,即x2-x-a=0.
故Δ=1+4a=0,即a=-14.
綜上可知,a=0或a=-14.
16.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=3x.若12
13、x+3)=f(x).
設(shè)g(x)=a(x+3),分別作出函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[-3,2]上的圖象如圖.
因?yàn)?20)在區(qū)間[-8,8]上有四個(gè)不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4= .?
答案-8
解析∵f(x)為奇函數(shù)且f(x-4)=-f(x),
∴f(x-4)=
14、-f(4-x)=-f(x),
即f(x)=f(4-x)且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),
即y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,且是周期為8的周期函數(shù).
∵f(x)在[0,2]上是增函數(shù),∴f(x)在[-2,2]上是增函數(shù),在[2,6]上是減函數(shù).
據(jù)此可畫出y=f(x)圖象的草圖(如圖):
其圖象也關(guān)于直線x=-6對稱,
∴x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.
三、高考預(yù)測
18.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則( )
A.f(-25)
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