（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復習 專題四 函數(shù)與導數(shù)、不等式 第14講 基本不等及其應用、簡單的線性聲名規(guī)劃問題練習

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1、第14講 基本不等及其應用、簡單的線性聲名規(guī)劃問題 A級——高考保分練 1．設a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，則c的最大值為________． 解析：因為ab＝2，由基本不等式得：a2＋b2 ≥2ab＝4，當且僅當a2＝b2＝2時取等號，即a2＋b2取得最小值4，因此c≤4，所以c的最大值為4. 答案：4 2．(2019·南京三模)若實數(shù)x，y滿足則z＝x＋3y的最小值為________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當目標函數(shù)z＝x＋3y過點B(1，－2)時取得最小值，所以zmin＝1＋3×(－2)＝－5. 答案：－5 3．已知函

2、數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________. 解析：f(x)＝4x＋≥2 ＝4，當且僅當4x＝，即a＝4x2時取等號，則由題意知a＝4×32＝36. 答案：36 4．已知變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝2x－y的最大值是________． 解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示．由圖可知，當目標函數(shù)過點A(5,3)時，z取得最大值，所以zmax＝2×5－3＝7. 答案：7 5．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是________． 解析：因為1＝2x＋2y≥2，所以2x＋y≤，即x＋y≤－2，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號． 答

3、案：(－∞，－2] 6．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且C＝，a＋b＝12，則△ABC面積的最大值為________． 解析：由三角形的面積公式：S＝absin C＝ab≤×2＝9，當且僅當a＝b＝6時等號成立，則△ABC面積的最大值為9. 答案：9 7．某種汽車購車時的費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路費、汽油費共1.5萬元，如果汽車的維修費第1年0.1萬元，從第2年起，每年比上一年多0.2萬元，這種汽車最多使用________年報廢最合算(即平均每年費用最少)． 解析：設這種汽車最多使用x年報廢最合算，用x年汽車的總費用為10＋1.5x＋＝10＋1.5x＋0.1

4、x2萬元，故用x年汽車每年的平均費用為y＝0.1x＋＋1.5≥2＋1.5＝3.5(萬元)，當且僅當x＝10時，取等號． 答案：10 8．(2019·海安期末)設P(x，y)為橢圓＋＝1在第一象限上的點，則＋的最小值為________． 解析：因為橢圓＋＝1可化為＋＝4， 所以＋＝＋ ≥＋＝＋＝4， 當且僅當x＝2，y＝3時，取等號． 答案：4 9．某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池，池的深度為1米，池的四周墻壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁厚忽略不計)，則泳池的長設計為________米時，可使

5、總造價最低． 解析：設泳池的長為x米，則寬為米，總造價f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，當且僅當x＝(x＞0)，即x＝15時等號成立，即泳池的長設計為15米時，可使總造價最低． 答案：15 10．(2019·前黃中學檢測)已知x，y∈R且滿足x2＋2xy＋4y2＝6，則z＝x2＋4y2的取值范圍為________． 解析：因為2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，所以6－(x2＋4y2)≤，所以x2＋4y2≥4(當且僅當x＝2y時取等號)． 又因為(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，所以z

6、＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(當且僅當x＝－2y時取等號)． 綜上可知4≤x2＋4y2≤12. 答案：[4,12] 11．某學校為了支持生物課程基地研究植物的生長規(guī)律，計劃利用學校空地建造一間室內(nèi)面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3 m寬的通道，如圖．設矩形溫室的室內(nèi)長為x(單位：m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(單位：m2)． (1)求S關于x的函數(shù)關系式； (2)求S的最大值． 解：(1)由題設，得S

7、＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)． (2)因為8

8、)時，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，當x＝65時，y有最小值，為×675＝9，當x∈[80,120]時，函數(shù)y＝12－單調(diào)遞減，故當x＝120時，y有最小值，為10，因為9<10，所以該型號汽車的速度為65 km/h時，每小時耗油量最低． (2)設總耗油量為l，由題意可知l＝y(tǒng)·，當x∈[50,80)時，l＝y(tǒng)·＝≥＝16，當且僅當x＝，即x＝70時，l取得最小值，最小值為16.當x∈[80,120]時，l＝y(tǒng)·＝－2為減函數(shù)，故當x＝120時，l取得最小值，最小值為10，因為10<16，所以當速度為120 km/h時，總耗油量最少． B級——難點突破練

9、 1．(2019·揚州期末)已知正實數(shù)x，y滿足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_________． 解析：(“1”的代換) 因為x，y是正實數(shù)，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當x＝6，y＝3時，等號成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9. 答案： (－∞，9] 2．(2019·金陵中學期中)已知正數(shù)a，b，c滿足b2＋2(a＋c)b－ac＝0，則的最大值為________． 解析：b2＋2(a＋c)b－ac＝0?c＝， ∵c>0，∴a－2b>0， ∴＝＝＝. 令t＝－2(t>0)，則＝＝≤＝，當且僅當

10、t＝，即t＝時取“＝”． 答案： 3．已知函數(shù)f(x)＝2x＋2－x. (1)求方程f(x)＝2的根； (2)若對于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求實數(shù)m的最大值． 解：(1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2， 亦即(2x)2－2×2x＋1＝0， 所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0. (2)由條件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. 因為f(2x)≥mf(x)－6對于x∈R恒成立，且f(x)＞0， 所以m≤對于x∈R恒成立． 而＝f(x)＋≥2 ＝4，且＝4， 所以m≤4，故實數(shù)m的最大值為4

11、. 4．某商人投資81萬元建一間工作室，第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把工作室出租，每年收入租金30萬元． (1)若扣除投資和各種裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？ (2)若干年后該商人為了投資其他項目，對該工作室有兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以46萬元出售該工作室；②純利潤總和最大時，以10萬元出售該工作室．問該商人會選擇哪種方案？ 解：(1)設第n年獲取利潤為y萬元． n年付出的裝修費構成一個首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則n年付出的裝修費之和為n×1＋×2＝n2，又投資81萬元，n年共收入租金30n萬元， ∴利潤y＝30n－n2－81(n∈N*)． 令y＞

12、0，即30n－n2－81＞0，∴n2－30n＋81＜0， 解得3＜n＜27(n∈N*)，∴從第4年開始獲取純利潤． (2)方案①：年平均利潤t＝＝30－－n＝30－≤30－2＝12當且僅當＝n，即n＝9時取等號， ∴年平均利潤最大時，以46萬元出售該工作室共獲利潤12×9＋46＝154(萬元)． 方案②：純利潤總和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)， 當n＝15時，純利潤總和最大，為144萬元， ∴純利潤總和最大時，以10萬元出售該工作室共獲利潤144＋10＝154(萬元)， 兩種方案盈利相同，但方案①時間比較短，所以選擇方案①. - 6 -