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1、懷柔區(qū)高三年級(jí)調(diào)研考試
數(shù) 學(xué)（理科） .4
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每題5分，共40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
有且只有一項(xiàng)是符合題目規(guī)定的．
1．已知全集U={一l，0，1，2}，集合A={一l，2}，B={0，2}，則
A．{0} B．{2} C．{0，l，2} D．
2．已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)
A． B． C．2i D．－2i
3．“a=2”是“直線(xiàn)ax十2y=0與直線(xiàn)x+y=l平行”的
A．充足不必要條件 B．必要不充足條件
C．充要條件 D．既不充
2、足也不必要條件
4．一種四棱錐的三視圖如圖所示，其中主
1
1
主視圖
左視圖
俯視圖
視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，則
這個(gè)幾何體的體積是
A． B．
C． D．
5．函數(shù)是
A．最小正周期為的奇函數(shù)
B．最小正周期為的偶函數(shù)
C．最小正周期為的奇函數(shù)
D．最小正周期為的偶函數(shù)
6．過(guò)點(diǎn)引圓的一條切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)為
A． B． C． D．
7．將圖中的正方體標(biāo)上字母, 使其成為正方體, 不
同的標(biāo)字母方式共有
A．24種
3、B．48種
C．72種 D．144種
8．若函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，，
函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)
數(shù)為
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6小題，每題5分，滿(mǎn)分30分．
開(kāi) 始
i=1, s=0
s=s+
i=i+2
輸出S
結(jié) 束
否
是
9．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)
是 （用數(shù)字作答）．
10．如圖給出的是計(jì)算的值
的一種程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件
是 ．
．
11．如圖，PA是圓的切線(xiàn)
4、，A為
切點(diǎn)，PBC是圓的割
線(xiàn)，且，
則 ．
12．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范疇為 ．
13．已知不等式組表達(dá)的平面區(qū)域?yàn)槿糁本€(xiàn)與平面區(qū)域
有公共點(diǎn)，則的取值范疇是 ．
14．手表的表面在一平面上．整點(diǎn)1，2，…，12這12個(gè)數(shù)字等間隔地分布在半徑為的圓周上．從整點(diǎn)i到整點(diǎn)（i＋1）的向量記作，則＝ ．
三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分．解答須寫(xiě)出文字闡明、證明過(guò)程和演算環(huán)節(jié)．
15．（本小題滿(mǎn)分13分）
在中，分別為角的對(duì)邊，且滿(mǎn)足
5、．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，設(shè)角的大小為，的周長(zhǎng)為，求的最大值．
16．（本小題滿(mǎn)分14分）
O
S
A
B
C
D
E
如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其她四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，與的交點(diǎn)為，為側(cè)棱上一點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)為側(cè)棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：
∥平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）當(dāng)二面角的大小為
時(shí)，試判斷點(diǎn)在上的位置，并闡明理由．
17．（本小題滿(mǎn)分13分）
某食品廠(chǎng)為了檢
6、查一條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的生產(chǎn)狀況，隨機(jī)抽取該流水線(xiàn)上的40件產(chǎn)
品作為樣本稱(chēng)出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為， ，… ，．由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（Ⅱ）在上述抽取的40個(gè)產(chǎn)品中任職2件，設(shè)為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列；
（Ⅲ）從流水線(xiàn)上任取5件產(chǎn)品，估計(jì)其中恰
有2件產(chǎn)品的重量超過(guò)505克的概率．
18．（本小題滿(mǎn)分13分）
已知，其中是自然常數(shù)，．
（Ⅰ）討論時(shí)，的單調(diào)性、極值；
（Ⅱ）
7、求證：在（Ⅰ）的條件下，；
（Ⅲ）與否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，闡明理由．
19．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知：橢圓（），過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)傾斜角為，原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）斜率不小于零的直線(xiàn)過(guò)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程；
（Ⅲ）與否存在實(shí)數(shù)，直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，覺(jué)得直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)闡明理由．
20．（本小題滿(mǎn)分13分
8、 ）
定義：對(duì)于任意，滿(mǎn)足條件且（是與無(wú)關(guān)的常數(shù)）的無(wú)窮數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列．
（Ⅰ）若()，證明：數(shù)列是數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，且數(shù)列是數(shù)列，求常數(shù)的取值范疇；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列(，)，問(wèn)數(shù)列與否是數(shù)列？請(qǐng)闡明理由．
參照答案及評(píng)分原則
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題；每題5分，共40分．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
A
C
D
B
C
二、填空題：本大題共6小題，每題5分，滿(mǎn)分30分．
9．10 10． 11．
9、
12． 13． 14．
三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分．
15．（本小題滿(mǎn)分13分）
在中，分別為角的對(duì)邊，且滿(mǎn)足．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，設(shè)角的大小為，的周長(zhǎng)為，求的最大值．
解：（Ⅰ）∵，
∴
又，
∴； --------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）∵，
∴---------------------------6分
同理-----------------------------------8分
∴
10、-----10分
∵∴，
∴即時(shí)，。----------------------------13分
16．（本小題滿(mǎn)分14分）
O
S
A
B
C
D
E
如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其她四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，與的交點(diǎn)為，為側(cè)棱上一點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)為側(cè)棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：
∥平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）當(dāng)二面角的大小為
時(shí)，試判斷點(diǎn)在上的位置，并闡明理由．
（Ⅰ）證明：連接，由條件可得∥.
O
y
z
x
S
A
B
C
D
E
由于平面，平面，
因此∥平面.-----
11、------------------------------------4分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，
則，，，
，，
.
因此，.
設(shè)（），由已知可求得.
因此，.
設(shè)平面法向量為，
則 即
令，得.
易知是平面的法向量.
由于，
因此，因此平面平面.-------------------------------------8分
（Ⅲ）解：設(shè)（），由（Ⅱ）可知，
平面法向量為.
由于，
因此是平面的一種法向量.
由已知二面角的大小為.
因此，
因此，解得.[
因此點(diǎn)是的中點(diǎn).
12、-----------------------------------------------------------------14分
17．（本小題滿(mǎn)分13分）
某食品廠(chǎng)為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的生產(chǎn)狀況，隨機(jī)抽取該流水線(xiàn)上的40件產(chǎn)
品作為樣本稱(chēng)出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為， ，. . . ，．由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（Ⅱ）在上述抽取的40個(gè)產(chǎn)品中任職2件，設(shè)為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列；
（Ⅲ）從流水線(xiàn)上任取5件產(chǎn)品，估計(jì)其中恰
有2件產(chǎn)品的重量超過(guò)505克的概率．
13、
解：（Ⅰ）重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是件 -------2分
（Ⅱ）的所有也許取值為0,1,2 （只有當(dāng)下述沒(méi)做或都做錯(cuò)時(shí)，此步寫(xiě)對(duì)給1分）,,,
（以上（Ⅱ）中的過(guò)程可省略，此過(guò)程都對(duì)但沒(méi)列下表的扣1分）
的分布列為
0
1
2
-------------------------------------9分（每個(gè)2分，表1分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）的記錄數(shù)據(jù)知，抽取的40件產(chǎn)品中有12件產(chǎn)品的重量超過(guò)505克，其頻率為，可見(jiàn)從流水線(xiàn)上任取一件產(chǎn)品，其重量超過(guò)505克的概率為，令為任取的5件產(chǎn)品中重量超過(guò)
14、505克的產(chǎn)品數(shù)，則，
----------------------------------------------------------------------11分
故所求的概率為---------------- ------13分
18．（本小題滿(mǎn)分13分）
已知，其中是自然常數(shù)，．
（Ⅰ）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；
（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，;
（Ⅲ）與否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，闡明理由．
解：（Ⅰ），
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增
∴的極小值為---------------------------------
15、--------------------------4分
（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，……5分
令，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增
∴
∴在（1）的條件下，--------------------------------------------------8分
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使（）有最小值3，
① 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），因此，此時(shí)無(wú)最小值.
② 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
，，滿(mǎn)足條件.
③ 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），因此，此時(shí)無(wú)最小值.
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3.--------------
16、-------13分
19．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知：橢圓（），過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)傾斜角為，原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）斜率不小于零的直線(xiàn)過(guò)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程；
（Ⅲ）與否存在實(shí)數(shù)，直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，覺(jué)得直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)闡明理由．
解：（Ⅰ）由， ，得，，
因此橢圓方程是：---------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）設(shè)EF：（）代入，得，
設(shè)，，由，得．
由，----------------------------6分
得，
17、，（舍去），（沒(méi)舍去扣1分）
直線(xiàn)的方程為：即---------------------------------------8分
（Ⅲ）將代入，得（*）
記，，PQ為直徑的圓過(guò)，則，即，又，，得．-------12分
解得，此時(shí)（*）方程，
存在，滿(mǎn)足題設(shè)條件．------------------------------------------------------------------14分
20．（本小題滿(mǎn)分13分 ）
定義：對(duì)于任意，滿(mǎn)足條件且（是與無(wú)關(guān)的常數(shù)）的無(wú)窮數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列．
（Ⅰ）若()，證明：數(shù)列是數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，且數(shù)列是數(shù)列，求常數(shù)的取值范
18、疇；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列(，)，問(wèn)數(shù)列與否是數(shù)列？請(qǐng)闡明理由．
解：（Ⅰ） 由，得
因此數(shù)列滿(mǎn)足.
又，當(dāng)n=4或5時(shí)，獲得最大值20，即≤20.
綜上，數(shù)列是數(shù)列.------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）由于，
因此當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增（6分）
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減；故數(shù)列的最大項(xiàng)是，
因此，的取值范疇是 --------------------------------------9分
（Ⅲ）①當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)
由得，
即當(dāng)時(shí)符合條件.
若，則,此時(shí)
于是
又對(duì)于有，因此當(dāng)時(shí)數(shù)列是數(shù)列；
②當(dāng)時(shí)，
取則：
由，因此時(shí)數(shù)列不是數(shù)列
③當(dāng)時(shí)，
取則
由，因此時(shí)數(shù)列不是數(shù)列.
綜上：當(dāng)時(shí)數(shù)列是數(shù)列；當(dāng)時(shí)數(shù)列不是數(shù)列
-----------------------------------------------------------------------------13分
北京市懷柔區(qū)高三畢業(yè)班二模數(shù)學(xué)(理)試題及答案
