（江蘇專版）2019年高考數(shù)學 母題題源系列 專題09 空間幾何體的體積與表面積（含解析）

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1、專題09空間幾何體的體積與表面積 【母題來源一】【2019年高考江蘇卷】如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E?BCD的體積是 ▲ . 【答案】10 【解析】因為長方體的體積為120，所以， 因為為的中點，所以， 由長方體的性質(zhì)知底面， 所以是三棱錐的底面上的高， 所以三棱錐的體積. 【名師點睛】本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積. 【母題來源二】【2018年高考江蘇卷】如圖所示，正方體的棱長

2、為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________． 【答案】 【解析】由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于，所以該多面體的體積為. 【名師點睛】解決本類題目的關(guān)鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決． 【母題來源三】【2017年高考江蘇卷】如圖，在圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是. 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為．

3、 【名師點睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解． 【命題意圖】 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式，主要考查空間想象能力以及運算求解能力. 【命題規(guī)律】 立體幾何問題既是高考的必考點，也是考查的難點，其在高考中的命題形式較為穩(wěn)定，主要以柱體、椎體、球、組合體為載體考查常見幾何體的體積或表面積公式，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象和數(shù)學運算.提高空間想象能力，熟記柱體、椎體和球體的體積公式是求解此類問題的關(guān)

4、鍵. 【方法總結(jié)】 （一）求柱體、錐體、臺體體積的一般方法有： （1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解． （2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補法等方法進行求解． ①等體積法：一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積. ②割補法：運用割補法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題，關(guān)鍵是能根據(jù)幾

5、何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進行切割或者補成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個規(guī)則的幾何體的體積之和;如果是由一個規(guī)則的幾何體挖去幾個規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個幾何體的體積．因此，從一定意義上說，用割補法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法． （3）求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用． （二）球的表面積和體積的求解策略： （1）確定一個球的條件是球心和球的半徑

6、，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.熟記球的表面積公式為，體積公式為. （2）與球有關(guān)的實際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系. （3）有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿足關(guān)系式：. （4）常見結(jié)論： ①若正方體的棱長為，則正方體的內(nèi)切球半徑是；正方體的外接球半徑是；與正方體所有棱相切的球的半徑是． ②若長方體的長、寬、高分別為，，，則長方體的外接球半徑是． ③若正四面體的棱長為，

7、則正四面體的內(nèi)切球半徑是；正四面體的外接球半徑是；與正四面體所有棱相切的球的半徑是． ④球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑． ⑤球與圓臺的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高． 1．【江蘇省蘇州市2019屆高三下學期階段測試數(shù)學試題】四棱錐P－ABCD中，⊥底面，底面是矩形，，，，點E為棱CD上一點，則三棱錐E－PAB的體積為______. 【答案】 【解析】∵底面ABCD是矩形，E在CD上， ∴S△ABE3． ∵PA⊥底面ABCD， ∴VE?PAB＝VP?ABE． 故答案為：． 【名師點睛】本題考查了棱錐的體積計算，線面位置關(guān)系

8、，熟記等體積轉(zhuǎn)化，準確計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．由PA⊥平面ABCD可得VE?PAB＝VP?ABE，求解即可. 2．【江蘇省揚州中學2019屆高三4月考試數(shù)學試題】若將一個圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開，其展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_______. 【答案】 【解析】因為展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形， 所以圓錐的母線，圓錐的底面的周長為，因此圓錐底面的半徑， 根據(jù)勾股定理，可知圓錐的高， 所以圓錐的體積為. 【名師點睛】本題考查了求圓錐的體積問題，解題的關(guān)鍵是熟知圓錐側(cè)面展開圖與圓錐之間的關(guān)系.求解時，通過展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，可以求出圓錐的母線、

9、圓錐的底面周長及半徑，這樣可以求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式求出圓錐的體積. 3．【江蘇省徐州市2018-2019學年高三考前模擬檢測數(shù)學試題】已知一個圓柱的軸截面為正方形，其側(cè)面積為，與該圓柱等底等高的圓錐的側(cè)面積為，則的值為_______. 【答案】 【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，則高為，圓錐母線長為， 所以，， 所以，故填. 【名師點睛】本題考查圓柱、圓錐側(cè)面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.求解時，設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，則高為，圓錐母線的長為，分別計算圓柱和圓錐的側(cè)面積可得它們的比值. 4．【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬（三模）數(shù)學試題】用半徑為4的半圓形鐵皮卷成一個圓錐

10、的側(cè)面，則此圓錐的體積為_______. 【答案】 【解析】如圖，半圓的弧長為：，，即圓錐的底面半徑為：， ∴圓錐的高為：， 圓錐的體積為：， 本題正確結(jié)果為. 【名師點睛】本題考查圓錐側(cè)面積、體積的相關(guān)問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.求解時，由半圓弧長可求得圓錐的底面半徑，從而得到圓錐的高，代入圓錐體積公式求得結(jié)果. 5．【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學試題】某長方體的長、寬、高分別為，，，則該長方體的體積與其外接球的體積之比為________. 【答案】 【解析】因為長方體的長、寬、高分別為，，， 所以長方體的體積為， 其外接球直徑為，故， 所以其外接球體積為

11、， 因此，該長方體的體積與其外接球的體積之比為. 故答案為. 【名師點睛】本題主要考查長方體的體積及其外接球的體積，熟記體積公式即可，屬于?？碱}型.求解時，根據(jù)題中條件，先求出長方體的體積，再由長方體的體對角線等于其外接球的直徑，求出外接球半徑，得到外接球體積，即可求出體積之比. 6．【江蘇省蘇州市2019屆高三5月高考信息卷數(shù)學試題】圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是 ________cm. 【答案】4 【解析】設(shè)球半徑為r，則由可得，解得． 【思路點睛】本題考查幾何體的

12、體積，考查學生空間想象能力，解答時，首先設(shè)出球的半徑，然后再利用三個球的體積和水的體積之和等于柱體的體積，求解即可． 7．【江蘇省南京金陵中學、海安高級中學、南京外國語學校2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學試題】如圖，該幾何體由底面半徑相同的圓柱與圓錐兩部分組成，且圓柱的高與底面半徑相等．若圓柱與圓錐的側(cè)面積相等，則圓錐與圓柱的高之比為________． 【答案】 【解析】設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為R，則圓柱的高＝R，圓錐的母線長為L， 因為圓柱與圓錐的側(cè)面積相等， 所以，解得：L＝2R，所以圓錐的高為＝R， 所以圓錐與圓柱的高之比為. 故答案為：. 【名師點睛】本題考查了圓柱

13、與圓錐側(cè)面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.求解時，設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為R，圓錐的母線長為L，由圓柱與圓錐側(cè)面積相等得L＝2R，進而得圓錐的高為R，即可求出結(jié)果. 8．【江蘇省南通市2019屆高三下學期4月階段測試數(shù)學試題】已知一個正四棱錐的側(cè)棱長為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該棱錐的體積為_______. 【答案】 【解析】由題意可知：，， ，， ， . 本題正確結(jié)果為. 【名師點睛】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是利用側(cè)棱與底面的夾角，求得幾何體的高和底面邊長，屬于基礎(chǔ)題.求解時，根據(jù)側(cè)棱長和側(cè)棱與底面夾角求得高和底面邊長，利用體積公式求得結(jié)果. 9．【江蘇省七市(南通、

14、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學試題】已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為_______cm3． 【答案】 【解析】依據(jù)題意，作出如下直角梯形： 將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體體積等于一個圓柱的體積和一個圓錐的體積之和. 其中圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的半徑為，高為. 由此可知：. 故答案為：. 【名師點睛】本題主要考查了空間思維能力，還考查了錐體體積公式及圓柱體積公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題

15、.求解時，由題可得：將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體體積等于一個圓柱的體積和一個圓錐的體積之和，由錐體體積公式及圓柱體積公式計算得解. 10．【江蘇省七市2019屆(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三第二次調(diào)研考試數(shù)學試題】設(shè)P，A，B，C為球O表面上的四個點，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA= 2 m，PB= 3 m，PC= 4 m，則球O的表面積為_______m2． 【答案】 【解析】∵P，A，B，C是球O表面上的四個點，PA，PB，PC兩兩垂直， 則球的直徑等于以PA，PB，PC長為棱長的長方體的體對角線長. ∵PA= 2 m，PB= 3 m，

16、PC= 4 m， ∴2R＝， 則球O的表面積S＝4πR2＝29π， 故答案為. 【名師點睛】本題考查的知識點是球的表面積，及球的內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造長方體，計算出球O的半徑，是解答本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題. 11．【江蘇省如皋中學2018-2019學年高三第一學期期中數(shù)學模擬試題】如圖，三棱錐中，是的中點，在上，且，若三棱錐的體積是2，則四棱錐的體積為_______． 【答案】10 【解析】設(shè)的面積為， ∵，∴的面積為． 設(shè)點到平面的距離為，則點到平面的距離為， 則有， ∴， ∴四棱錐的體積為．故答案為：. 【名師點睛】本題主要考查錐體體積的求法和轉(zhuǎn)化思想

17、方法的運用，同時也考查計算能力，屬于中檔題．解答本題的關(guān)鍵是由題意得到三棱錐與三棱錐的體積比，進而得到三棱錐的體積，利用兩個三棱錐的體積之差可得四棱錐的體積． 12．【江蘇省南通市基地學校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學試題】已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分別為BD1，B1C1上的點．若，則三棱錐M-PBC的體積為_______． 【答案】1 【解析】由題意可知原圖如下： ， 又，即， 到面的距離等于到面的距離，即， . 本題正確結(jié)果為. 【名師點睛】本題考查三棱錐體積的求解，關(guān)鍵在于能夠通過體積橋的方式將原三棱錐進行體積變換，找到易求解的底面積和高.三棱錐體積與

18、三棱錐的體積一樣，為上動點，可知面積為側(cè)面面積的一半；到面的距離等于到面的距離的，由此可根據(jù)三棱錐體積公式求得體積. 13．【江蘇省徐州市2019屆高三上學期期中質(zhì)量抽測數(shù)學試題】如圖，已知正方體的棱長為1，點為棱上任意一點，則四棱錐的體積為_______． 【答案】 【解析】連接AC交BD于O點，則有平面， 所以AO的長等于點P到平面的距離，即高； 又矩形的面積為； 所以四棱錐的體積為V＝＝. 【名師點睛】本題關(guān)鍵是先根據(jù)已知條件證明出平面，進而求出AO就是點P到平面的距離，這是本題解答的關(guān)鍵點，此類問題基本解題方法就是先求出高，然后再根據(jù)體積公式求出體積. 14．【鹽城

19、市2019屆高三年級第一學期期中模擬考試數(shù)學試題】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為上一點，且．設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則__________. 【答案】 【解析】由題意得=VP?ABC=， =VP?ACE= VP?ACD – VE?ACD = VP?ABC – VE?ACD =? =VP?ABC=， 即. 【名師點睛】本題主要考查三棱錐的體積計算公式，首先需要注意椎體的體積公式V=S底h，另外三棱錐是唯一一個在計算體積時可以換底的，另外遇到不好求的體積可用割補法進行. 15．【江蘇省如皋市2019屆高三教學質(zhì)量調(diào)研（三）數(shù)學試題】如圖所示的幾何體是一個五面體，四邊形為矩形，，，且，，與都是正三角形，則此五面體的體積為_______． 【答案】 【解析】如圖，將五面體補全為直三棱柱，因為，，且，，與都是正三角形，所以，，， 所以，取中點，則， 所以， 故五面體的體積為：. 【名師點睛】不規(guī)則幾何體體積的求法，關(guān)鍵是將幾何體看作是多個規(guī)則幾何體如柱、錐、臺、球的組合體，利用割補法求解，注意運算的準確性.求解時，將五面體補全為直三棱柱，根據(jù)五面體的幾何特征，求三棱柱底面積，再用割補法求五面體體積. 13