《2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何：建系困難問題 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何：建系困難問題 理（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、大題精做7 立體幾何：建系困難問題
[2019·長(zhǎng)沙統(tǒng)測(cè)]已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：
（1）證明：平面平面；
（2）若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求二面角的余弦值．
圖一 圖二
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．
由題意，得，，．
∵在中，，為的中點(diǎn)，∴，
∵在中，，，，，∴．
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）由（1）知，，，平面，
∴是直線與平面所成的角，且，
∴當(dāng)最短時(shí)，即是的中點(diǎn)時(shí)，最大．
由平面，，∴，，
2、于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，．
設(shè)平面的法向量為，
則由得：．令，得，，即．
設(shè)平面的法向量為，
由得：，令，得，，即．
．由圖可知，二面角的余弦值為．
1．[2019·安慶期末]矩形中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，沿將折起至，如圖所示，點(diǎn)在面的射影落在上．
（1）求證：面面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
2．[2019·南陽期末]如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)將沿折到的位置，連結(jié)，，如圖2．
（1）若點(diǎn)在線段上，且
3、，證明：；
（2）記平面與平面的交線為．若二面角為，求與平面所成角的正弦值．
3．[2019·蘇州調(diào)研]如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)面平面，，與平面所成角的正弦值為．
（1）求側(cè)棱的長(zhǎng)；
（2）設(shè)為中點(diǎn)，若，求二面角的余弦值．
1．【答案】（1）詳見解析；（2）．
【解析】（1）在四棱錐中，，，從而有，
又∵
4、面，而面，∴，而、面，且，
由線面垂直定理可證面，又面，由面面垂直判斷定定理即證面面．
（2）由條件知面，過點(diǎn)做的平行線，
又由（1）知面，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：
，，，，，
面的一個(gè)法向量為，
設(shè)面的法向量為，則有，
從而可得面的一個(gè)法向量為，，
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，與互補(bǔ)，則，
故平面與平面所成二面角的余弦值為．
2．【答案】（1）詳見解析；（2）．
【解析】證明：（1）先在圖1中連結(jié)，在中，由，，
得，在中，由，，
得，∴，則，
∴，從而有，，即在圖2中有，，
∴平面，則；
解：（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)公
5、理3得到直線即為，
再根據(jù)二面角定義得到．在平面內(nèi)過點(diǎn)作底面垂線，
以為原點(diǎn)，分別為，，及所作垂線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得．
∴與平面所成角的正弦值為．
3．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面，∴，，
又∵是正方形，∴，
以為原點(diǎn)，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則，，，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，
取，則，從而，
設(shè)與平面所成角為，∵，
∴，解得或，
∴或．
（2）由（1）知，，∴，，
由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，，
∴取，則，，即，
設(shè)二面角的平面角為，∴，
根據(jù)圖形得為銳角，∴二面角的余弦值為．
8
2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何：建系困難問題 理
