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1、例題講解
例1集合A-{xIx=—,mA乙丨mI<3,nAN,*3},試用列舉法將A表示岀來m
解:Vne{0,1,2},me{—2,—1,1,2}II1
人二42「1,一一衛(wèi)嚴丄2丨
\22]
例2設(shè)全集〃=R,又集合A={xI-51},求
⑴⑵AUB;
AQB;
(3)(SAA)A(SAB);(4)(SAA)U(SAB);
C5)SuCAAB);(6)AR(九Q答案:(1)ACB={xl-55}
(5)
2、du(APlB)={x丨xV-5,或05}
⑹AH(3[/B)={xlO
一
B=|xlaT由5)得]嚴
.*?oc=—1,P=3
小結(jié):①要注意OWN;區(qū)分符號N與N*的區(qū)別.
②集合的運算常借助數(shù)軸,數(shù)形結(jié)合來研究集合間的相互關(guān)系與運算
例4?某中學高一年級開設(shè)了兩門選修課:電子制作和藝術(shù)欣賞,要求每個同學至少選一門?已知選電子制作的
3、有218人,選藝術(shù)欣賞的有156人,還有27人同時選了這兩門課?問:這個年級一共有學生多少人?
分析:利用文氏圖,可以直觀地看到,全年級的學生可分為三類,一類是只選電子制作的;第二類是只選藝術(shù)欣賞的;第三類是兩門課都選的?這三類不重
不漏,將各類人數(shù)相加即得年組總數(shù)(218-27)+27+(156-27)
=218+156-27=347(人)
例5?某班共有學生50人,其中有28人參加了計算機小組,有23人參加了生物小組,還有5人這兩個小組都沒有參加?
問:(1)兩個小組都參加的學生有幾人?
(2)只參加了一個小組的學生有幾人?
(3)至少參加了一個小組的學生有幾人?
分析:設(shè)
4、全班學生組成集合為I,參加計算機小組的學生組成集合A,參加例6?用適當方法表示下列集合,并指岀它們是有限集還是無限集
工物小組的學生紐成集合E(如圖)
(AA
□
至少參加一個的所有自然數(shù)組成的集合5(人),即AUB中元素個數(shù)為45.
(2)由24與30的所有公約數(shù)組成的集合
而(A與方程素個數(shù)和為的解集3=51(人),說明有51—45=6(人)兩個小組都參加了4)小于10所有質(zhì)數(shù)組成的集合
(5)方程(x—1)2(x—2)=0的解集?
活解題
選題意圖:本題主要用來強化集合的表示方法及集合的分類,培養(yǎng)學生靈的能力.
解:(1){xWN丨x>10},無限
5、集
(2){1,2,3,6},有限集
(3){2,-2),有限集
(5){1,2},有限集
說明:五個小題中只有(1)用描述法較好,其余的用列舉法較好,但應(yīng)注意,(5)不能寫成{1,1,2},要注意元素的互異性.
例7?設(shè)U—R,又集合>1=—5
6、(CuB)={x|xVO或x$5}
Cu(XCl=(CuA)U(CuB)={x|xVO或x$5=
Au(CuB)={x|xv5或
說明:在求(OuZ)n(CuB)和(0“/)U(CuB)時,可運用摩根律,即(CuA)n(CuB)=Cv(AUB)?(CuA)U(CuB\=(AHB),由于已
求岀/Q方和/UE,故(CuZ)A(CuE)和(CuA)U(CuB)可直接得岀?摩根律可用文氏圖驗證,證明一般用證集合相等的方法?
例8?已知:集合/={eR|x2+ax+1=0},B={1,2},且/B,求實數(shù)日的取值范圍?選題意圖:本例旨在訓練子集概念在方程中的應(yīng)用,培養(yǎng)學生全面考慮問題的能力?
7、
解:???方={1,2},/B,
.??/可能是Z={1},A={2},A=0
當A={1}時,ap-24+2a+1=0
當/={2}時,有寸9方程組無解a2-4=0
當4=0時,-2vav2
綜上,實數(shù)a的取值范圍是一2WaV2?
說明:空集是任何非空集合的真子集,Al?B,/可能是空集,這是容易忽略的?
例9.A是包含于方程/—px+15=0的解集,B是包含于方程^一5x+q=0的解集,又AVJB={2,3,5},AHB={3},求p、q的值及集合A,B?選題意圖:本例主要強化交集、并集概念在方程的解集中的應(yīng)用?
解:設(shè)Xi,X2為方程x2—px+15=0的兩根;X3,
8、X4為方程X2—5x+v7=0X.=p
X.=p
fx,+=5的兩根.則有4V
X;?X2=15[X3.尢4=g
TAUB={2,3,5}且"鳥={3}
???上述兩方程組有一個公共根3.
設(shè)XI=X3=3,貝IJX2=5,*4=2
??.p=3+5=8,q=2X3=6...方程X?—px+15=0的解集為{3,5},方程X?—5x+g=0的解集為{2,3}化{3,5},By{2,3}
A—{3,5},B—{2,3}
說明:求集合人〃需首先確定方程的解集,而3是兩方程的公共根是解題的關(guān)鍵.
交集并集引申與提高
1. 交集、并集運算定律UnQnc=/n($nO交換律,結(jié)
9、合律
UuQUC=au(2U0交換律,結(jié)合律UnQuc=Uu0n(eu0分配律
UuQnc=Un0u(En0分配律
以上定律可利用文氏圖直觀得以驗證.
2. 關(guān)于交集、并集中元素個數(shù)的計算.
用刀U)表示集合/中元素的個數(shù),則有:
(1) nG4UB=n(A)+n(功一n(/CIB
(2) nG4UEU0F(/)+〃(B+刀(0—刀UnQ—刀Q4n0—刀(gn0+“G4n50
這兩個等式可以用文氏圖直觀驗證,用圓圈代表集合,則這個集合中元素的個數(shù)可以用圓圈所覆蓋的面積來表示.公式(1)中77C4UB直觀上就是集合/、B兩個圓所覆蓋的面積的大小.當兩個集合交集為空集時,顯然有:
n(JW)=77(A)+n(B.
當兩個集合/、B交集非空時(如圖)r0;
I
顯然有兩圓圈所覆蓋面積小于兩圓圈所覆蓋面積的和,所少的部分即為兩圓圈重疊部分的面積,所以有刀(A)+n(?—n(A“.
公式⑵中刀C4U方U0可以看作三個圓圈所覆蓋的面積,
由圖中可以看到,用三個圓圈的面積和分別減去每兩個圓圈重疊部分面積時,圖中陰影部分(即三個圓圈重疊部分)的面積被減了三次,所以應(yīng)補回這塊面積?則有:
n(JU2?U6)=n(A)+n(ACR)—n(JD6)—n(2?n6)+77(JP12?
n。