18《操作問題》專題過關(guān)檢測卷帶解析

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1、18．《操作問題》專題過關(guān)檢測卷 A 卷（ 50 分） 、填空題（每題2 分，共 20分） 1．黑板上寫著8，9，10，11，12，13，14 七個數(shù)，每次任意擦去兩個數(shù)，再寫上這兩個 數(shù)的和減1。例如，擦掉9和 13，要寫上21。經(jīng)過幾次后，黑板上就會只剩下一個數(shù)， 這個數(shù)是 。 2. 口袋里裝有99張小紙片，上面分別寫著1?99。從袋中任意摸出若干張小紙片，然后 算出這些紙片上各數(shù)的和，再將這個和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中。經(jīng)過 若干次這樣的操作后，袋中還剩下一張紙片，這張紙片上的數(shù)是 。 3. 將1?10 十個數(shù)隨意排成一排。如果相鄰兩個數(shù)中，前面的大于后面的，就將它

2、們交 換位置。如此操作直到前面的數(shù)都小于后面的數(shù)為止。已知10在這列數(shù)中的第6 位， 那么最少要實行 次交換，最多要實行 次交換。 4. 一個自然數(shù)，把它的各位數(shù)字加起來得到一個新數(shù)，稱為一次變換，例如自然數(shù) 5636， 各位數(shù)字之和為5+6+3+6=20，對20 再作這樣的變換得2+0=2?？梢宰C明進行這種變換 的最后結(jié)果是將這個自然數(shù)變成一個一位數(shù)。對數(shù) 123456789101112?272829作連續(xù)變 換，最終得到的一位數(shù)是 。 5.5個自然數(shù)的和為100，對這5個自然數(shù)進行如下變換：找出一個最小數(shù)加上2，找出 一個最大數(shù)減2。連續(xù)進行這種變換，直至5 個數(shù)不發(fā)生變化為止，最

3、后的5個數(shù)可能 是 。 6. 在黑板上寫兩個不同的自然數(shù)，擦去較大數(shù)，換成這兩個數(shù)的差，我們稱之為一次變 換。比如（15， 40）， 40-15—25，擦去40，寫上25，兩個數(shù)變成（15， 25），對得到的 兩個數(shù)仍然可以繼續(xù)作這樣的變換，直到兩個數(shù)變得相同為止，比如對（15， 40）作這 樣的連續(xù)變換： （15,40） — （15,25）—（15,10） —（5,10） —（5,5）。 對（1024, 3l11二1）作這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個相同的數(shù)是 。 20個1 7. 在一塊長黑板上寫著450位數(shù)123456789123456789?（將123456789重復(fù)50次）。

4、刪 去這個數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字；再刪去所得的數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字； 再刪去?，并如此一直刪下去。最后刪去的數(shù)字是 。 8. 將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個數(shù)字串，依次完成以下五項工作叫做一次操作： ① 將左邊第一個數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊； ② 從左到右兩位一節(jié)組成若干個兩位數(shù)； ③ 劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)； ④ 所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個，其余劃去； ⑤ 所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個新的數(shù)字串。 經(jīng)過 1997 次操作，所得的數(shù)字串是 。 9. 一個三角形全涂上黑色，每次進行一次操作，即把全黑三角形分成四個全等的小三角 形，中間的小正三

5、角形涂上白色，經(jīng)過5次操作后，黑色部分是整個三角形的 。 10. 口袋里裝著分別有寫著1，2，3，?，135 的紅色卡片各一張，從口袋里任意摸出若干 張卡片，并算出這若干張卡片上各數(shù)的和除以17 的余數(shù)，再把這個余數(shù)寫在另一張黃 色的卡片上放回口袋內(nèi)。經(jīng)過若干次這樣的操作后，口袋內(nèi)還剩下兩張紅色卡片和一 張黃色卡片。已知這兩張紅色卡片上寫的數(shù)分別是19 和 97，那么這張黃色卡片上寫 的數(shù)是 。 、解答題（30 分） 1．把一塊邊長為10 厘米的正方形鐵片，做成一個正方體盒子，求這個盒子的表面積的最 大值。 2. 將3X3方格紙的每一個方格添上奇數(shù)或偶數(shù)，然后進行如下操作：將每個方

6、格里的數(shù) 換成與它有公共邊的幾個方格里的數(shù)的和。問：是否可以經(jīng)過一定次數(shù)的操作，使得 所有九個方格里的數(shù)都變成偶數(shù)？如果可以，需要幾次？ 3. 在左下圖中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字同時加1 或減 1 算作一次操作 經(jīng)過若干次操作后變?yōu)橛蚁聢D。問：下圖A格中的數(shù)字是幾？為什么？ 4. 在1997X 1997的方形棋盤上每格都裝有一盞燈和一個按鈕，按鈕每按一次，與它同一行、 同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即由亮變不亮，不亮變亮。如果原來每盞燈都是不 亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮？ 5. 在4X4的方格紙上標(biāo)有16個字母，將它平放在桌上

7、，然后按下列順序?qū)φ?次：①將 下半截蓋住上半截；②將上半截蓋住下半截；③將左半截蓋住右半截；④將右半截蓋住 左半截。這時從上到下的第6層上是什么字母？ A li E F J M N C 1） G // K L 77 P 6?圖中有6個完全相同的圓，其中A，B，C，D，E被固定在玻璃桌面上，第6個圓F緊鄰 著 A， B， C， D， E 這 5 個圓慢慢地沿順時針方向滾動，滾動過程中不發(fā)生任何滑動。當(dāng) 圓F再滾回到出發(fā)點P時，它自身繞圓心旋轉(zhuǎn)了多少圈？ B 卷（ 50 分） 、填空題（每題2 分，共 20分） 1．對于3

8、24和 612，把第一個數(shù)加上3，同時把第二個數(shù)減3，這算一次操作，操作 次后兩個數(shù)相等。 2. 對自然數(shù)n作如下操作：各位數(shù)字相加，得另一自然數(shù)。若新的自然數(shù)為一位數(shù)，那 么操作停止，若新的自然數(shù)不是一位數(shù)，那么對新的自然數(shù)繼續(xù)上面的操作，當(dāng)?shù)玫?一個一位數(shù)為止?，F(xiàn)對1， 2， 3，?， 1998如此操作，最后得到的一位數(shù)是7的數(shù)一 共有 個。 3. 在1， 2， 3， 4， 5，?， 59， 60 這 60 個數(shù)中，第一次從左向右劃去奇數(shù)位上的數(shù)；第 二次在剩下的數(shù)中，再從左向右劃去奇數(shù)位上的數(shù)；如此繼續(xù)下去，最后剩下一個數(shù) 時，這個數(shù)是 。 4. 把寫有1， 2， 3，?，

9、 25的 25 張卡片按順序疊齊，寫有1的卡片放在最上面，下面進 行這樣的操作：把第一張卡片放到最下面，把第二張卡片扔掉；再把第一張卡片放到 最下面，把第二張卡片扔掉；??按同樣的方法，反復(fù)進行多次操作，當(dāng)剩下最后一 張卡片時，卡片上寫的是 。 5. —副撲克共54張，最上面的一張是紅桃K。如果每次把最上面的4張牌，移到最下面 而不改變它們的順序及朝向，那么，至少經(jīng)過 次移動，紅桃K才會出現(xiàn)在最上面。 6. 寫出一個自然數(shù)A,把A的十位數(shù)字與百位數(shù)字相加，再乘以個位數(shù)字，把所得之積 的個位數(shù)字續(xù)寫在A的末尾，稱為一次操作。如果開始時A =1999,對1999進行一次 操作得到1999

10、2，再對19992進行一次操作得到199926，如此進行下去直到得出一個 1999位數(shù)為止，這個1999位數(shù)的各位數(shù)字之和是 。 7. 黑板上寫有1987個數(shù)： 1， 2， 3，?， 1986， 19870 任意擦去若干個數(shù)，并添上被擦 去的這些數(shù)的和被7 除的余數(shù)，稱為一個操作。如果經(jīng)過若干次這種操作，黑板上只 剩下了兩個數(shù)，一個是987，那么，另一個數(shù)是 。 8. 下圖中有 5 個圍棋子圍成一圈。現(xiàn)在將同色的兩子之間放人一個白子，在異色的兩子 之間放入一個黑子，然后將原來的 5 個拿掉，剩下新放入的 5 個子中最多能有 個黑子。 9. 在圓周上寫上數(shù) 1， 2， 4，

11、然后在每兩個相鄰的數(shù)之間寫上它們的和（于是共得到 6 個數(shù)： 1， 3， 2， 6， 4， 5），再重復(fù)這一過程5次，圓周上共出現(xiàn)192個數(shù)，則所有這 些數(shù)的和是 。 10. 在黑板上任意寫一個自然數(shù)，然后用與這個自然數(shù)互質(zhì)并且大于1的最小自然數(shù)替換這 個數(shù)，稱為一次操作，那么最多經(jīng)過 次操作，黑板上就會出現(xiàn)2。 、解答題（20 分） 1. 甲盒中放有1993個白球和1994個黑球，乙盒中放有足夠多個黑球。現(xiàn)在每次從甲盒 中任取兩球放在外面，但當(dāng)被取出的兩球同色時，需從乙盒中取出一個黑球放入甲盒； 當(dāng)被取出的兩球異色時，便將其中的白球再放回甲盒，這樣經(jīng)過3985次取、放之后， 甲盒

12、中剩下幾個球？各是什么顏色的球？ 2．如圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上，開始時，圓盤上每個數(shù)字所對應(yīng)的黑板處均 寫有 0，然后轉(zhuǎn)動圓盤，每次可以轉(zhuǎn)動90°的任意整數(shù)倍，圓盤上的四個數(shù)將分別正 對著黑板上寫數(shù)的位置。將圓盤上的數(shù)加到黑板上對應(yīng)位置的數(shù)上，問：經(jīng)過若干次 后，黑板上的四個數(shù)是否可能都是1999？ 3．有三堆石子，每次允許由每堆中拿掉相同數(shù)目的石子（每次這個數(shù)目不一定相同），或 由任一堆中取一半石子（如果這堆石子是偶數(shù)個）放入另外任一堆中，開始時三堆石 子數(shù)分別為 1989，989，89。如按上述方式進行操作，能否把這三堆石子都取光？如 行，請設(shè)計一種取石子的方

13、案；如不行，請說明理由。 4. 如圖，圓周上順次排列著1, 2, 3,?, 12這十二個數(shù)，我們規(guī)定：相鄰的四個數(shù)％, a，a，a順序顛倒為a，a，a，a，稱為一次“變換”（如:1，2，3，4變?yōu)?，3, 2 3 4 4 3 2 1 2， 1，又如： 11， 12， 1， 2變?yōu)?， 1， 12， 11）。能否經(jīng)過有限次“變換”，將十二個 數(shù)的順序變?yōu)?9， 1， 2， 3，?， 8， 10， 11， 12（如圖）?請說明理由。 三、生活題（10 分） 1. 小明買了6張電影票（見右圖），他想撕下相連的4張，共有幾種不同的方法？ 1 2 3 4 5 6 2.

14、倉庫里的東西太亂了，地上擺著一箱一箱的東西，分別是香蕉2千克、蘋果13千克、 葡萄5 千克、柿子9 千克、梨子18千克、橘子25千克、杏7 千克，保管員想把這些 箱子整理一下，也就是堆成幾摞，要使每個箱子的承重力不能超過每個箱子的自重， 至少要堆成幾摞？怎樣堆？ 18．《操作問題》專題過關(guān)檢測卷 A卷一、1.所剩之?dāng)?shù)等于原來的七個數(shù)之和減6,故這個數(shù)是（8+9+10+11+12+13+14） -6=71。 2. 每次操作都不改變袋中所有數(shù)之和除以100的余數(shù),所以最后一張紙片上的數(shù) 等于1?99的和除以100的余數(shù)，是50。 3?當(dāng)排列順序為1, 2, 3, 4, 5, 10, 6,

15、7, 8, 9時，交換次數(shù)最少，需交換4 次；當(dāng)排列順序為 9， 8， 7， 6， 5， 10， 4， 3， 2， 1 時，交換次數(shù)最多，需交換 40 次； 4. 一個整數(shù)倍9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9 除的余數(shù),如果這個整數(shù)不 是 9 的倍數(shù), 就可以根據(jù)這一點來確定題目要求的一位數(shù)。 （l+2+?+9）X3+lX10+2X10被9除余3,可見最終得到的一位數(shù)是3。 5. 20, 20, 20, 20, 20 或 19, 20, 20, 20, 21 或 19, 19, 20, 21, 21。 6. 變換中的兩個數(shù),它們的最大公約數(shù)始終未變,最后得到的兩個相同的數(shù)即為 它們的最大

16、公約數(shù)，因為1024=210而11…1沒有質(zhì)因子2,它們是互質(zhì)的。所 20個1 以最后得到的兩個相同的數(shù)是1。 7. 該數(shù)處于第26組“123456789”中的第4個位置上，即為4。 & 4k次操作均為1173。1996=4X499，所以第1996次操作得數(shù)字串1173，因 此第1997次操作得數(shù)字串1731。 33 9 ?每一次黑三角形個數(shù)為整個的 ,所以5次變換為 X 44 3 3 3 3 243 X——X——X——二—— 4 4 4 4 1024 10.口袋里卡片上的數(shù)字總和除以 17 的余數(shù)始終不變。黃色卡片上的數(shù)是 17-14=3。 、 1.這個正方體的表面積最

17、大是62.5平方厘米。 2. 經(jīng)過四次操作后，所有九個方格中的數(shù)全變?yōu)榕紨?shù)。 3. 每次操作都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的 顏色（如右圖），因為每次操作總是一個黑格與一個白格同時加1 或減 1，所以無論進行多少次操作，白格內(nèi)的數(shù)字之和減去黑格 內(nèi)的數(shù)字之和總是常數(shù)。由原題左圖知這個常數(shù)是8，再由原題 右圖可得（A+7）-8=8，由此解得A=9。 4. 將某一列中的每一格都按一次，則除這一列外，每格的燈都只改變一次狀態(tài)， 由不亮變亮。而這一列每格的燈都改變1997次狀態(tài)，由不亮變亮。如果少于1997 次，則造成少按某一格子，也就會造成這個格子所在的行（或列）的燈小覓。 5

18、. 從上到下依次是 HLPDAM? 6. 圓轉(zhuǎn)了二分之五圈。 B卷一、1.每操作一次，兩個數(shù)的差減少6,經(jīng)（612-324）寧6=48 （次）操作后兩個數(shù)相 等。 2.由于操作后所得到的數(shù)與原數(shù)被9除所得的余數(shù)相同，因此操作最后為7的數(shù) 一定是原數(shù)除以9余7的數(shù)，即7, 16, 25, ?, 1996, 一共有（1996-7）寧9+1= 222 （個） 3.第一次操作后，剩下2，4，6，?，60這30個偶數(shù)；第二次操作后， 剩下4，8，1 2，?，60這1 5個數(shù)（都是4的倍數(shù)）；第三次操作后，剩下8，1 6， 24，?，56這7 個數(shù)（都是8的倍數(shù)）；第四次操作后，剩下16，32，4

19、8這 3個 數(shù)；第五次操作后，剩下一個數(shù)，是32。 4．第一輪操作，保留1，3，5，?，25 共 13 張卡片；第二輪保留3，7，11，15， 19，23 這6 張卡片；第三輪保留3，11，19這 3張卡片；接著扔掉11，3；最后 剩下的一張卡片是 19。 5. 因為［54, 41=108,所以移動108張牌，又回到原來的狀況。又因為每次移動 4張牌，所以至少移動108寧4=27（次）。 6. 按照操作的規(guī)則, 尋找規(guī)律知, A=1999 時得到的 1999 位數(shù)為： 1999266864600?0。其各位數(shù)字和為 1+9+9+9+2+6+6+8+6+4+6=66。 7. 黑板上的數(shù)之

20、和除以7的余數(shù)始終不變。又987=7X 141是7的倍數(shù)，所以剩 下的另一個數(shù)也應(yīng)是7的倍數(shù)，又這個數(shù)是某些數(shù)的和除以7的余數(shù)，故這個數(shù) 只能是 0。 8.4個。提示：因為5個子不可能黑白相間，所以永遠(yuǎn)不會得到5個全是黑子。 9. 記第i次操作后，圓周上所有數(shù)的和為a ,依題意，得a =2a +a =3a。又原 i i+1 i i i 來三數(shù)的和為 a =1+2+4=7，所以 a =3a = 21， a =3a =63， a =3a =189,a4=3a =567, 0 1 0 2 1 3 2 3 a=3a=1701，a =3a =5103，即所有數(shù)的和為 5103。 5 4 6

21、 5 10. 如果寫的是奇數(shù)，只需1次操作；如果寫的是大于2的偶數(shù)，經(jīng)過1次操作變 為奇數(shù)，再操作1次變?yōu)?。 、1.由操作規(guī)則知，每次操作后，甲盒中球數(shù)減少一個，因此經(jīng)過3985次操作后， 甲盒中剩下 1993+1994-3985=2（個）球。每次操作白球數(shù)要么不變，要么減少 2 個。因此，每次操作后甲盒中白球數(shù)的奇偶性不變，即白球數(shù)為奇數(shù)。因此最后剩 下的 2 個球中，白球 1 個，故另一個必為黑球。 2. 每次加上的數(shù)之和是1+2+3+4=10，所以黑板上的四個數(shù)之和永遠(yuǎn)是10的整數(shù) 倍。因此，無論如何操作，黑板上的四個數(shù)不可能都是1999。 3. 要把三堆石子都取光是不可能的。按操作規(guī)則，每次拿出去的石子數(shù)總和是 3 的倍數(shù)，即不改變石子總數(shù)被3除的余數(shù)。1989+989+89= 3067被3除余1,而三 堆石子取光時總和被3除余0，所以，三堆石子都取光是辦不到的。 4. 如下圖所示，經(jīng)過兩次變換， 10， 11， 12三個數(shù)被順時針移動了兩個位置。仿 此，再經(jīng)過3次這樣的兩次變換， 10， 11， 12三個數(shù)又被順時針移動了六個位置， 變?yōu)橄聢D。同理，經(jīng)過有限次變換，能將十二個數(shù)的順序變?yōu)?， 1， 2， 3，?， 8， 10， 11,12。