武漢理工電磁場(chǎng)第5章作業(yè)參考答案.pdf

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1、第五章習(xí)題解答 5.1 一個(gè)點(diǎn)電荷 Q 與無(wú)窮大導(dǎo)體平面相距為 d，如果把它移動(dòng)到無(wú) 窮遠(yuǎn)處，需要作多少功？ 解：用鏡像法計(jì)算。導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷的影響用鏡像電荷來(lái)代替， 鏡像電荷的大小為-Q，位于和原電荷對(duì)稱的位置。當(dāng)電荷 Q 離導(dǎo)體 板的距離為 x 時(shí)，電荷 Q受到的靜電力為 2 ) 2 ( 0 4 2 x Q F ? ? ? ? 靜電力為引力，要將其移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，必須加一個(gè)和靜電力相反的 外力 2 ) 2 ( 0 4 2 x Q f ? ? ? 在移動(dòng)過(guò)程中，外力 f 所作的功為 d Q d dx d x Q dx f 0 16 2 2 0 16 2 ? ? ? ? ? ? ?

2、? ? ? 當(dāng)用外力將電荷 Q 移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)， 同時(shí)也要將鏡像電荷移動(dòng) 到無(wú)窮遠(yuǎn)處，所以，在整個(gè)過(guò)程中，外力作的總功為 d q 0 8 / 2 ? ? 。 也可以用靜電能計(jì)算。在移動(dòng)以前，系統(tǒng)的靜電能等于兩個(gè)點(diǎn)電 荷之間的相互作用能： d Q d Q Q d Q Q q q W 0 8 2 ) 2 ( 0 4 ) ( 2 1 ) 2 ( 0 4 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 移動(dòng)點(diǎn)電荷 Q 到無(wú)窮遠(yuǎn)處以后，系統(tǒng)的靜電能為零。因此，在這 個(gè)過(guò)程中， 外力作功等于系統(tǒng)靜電能的增量， 即外力作功為 d q 0 8 / 2

3、? ? 。 5．2 一個(gè)點(diǎn)電荷放在直角導(dǎo)體內(nèi)部（如圖 5-1） ，求出所有鏡像電荷 的位置和大小。 解：需要加三個(gè)鏡像電荷代替 導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷。在（-a，d） 處，鏡像電荷為-q，在（錯(cuò)誤！鏈接無(wú)效。）處， 鏡像電荷為 q，在（a，-d）處，鏡 像電荷為-q。 圖 5-1 5．3 證明：一個(gè)點(diǎn)電荷 q 和一個(gè)帶有電 荷 Q、半徑為 R的導(dǎo)體球之間的作用力為 ] 2 ) 2 2 ( 2 [ 0 4 R D DRq D D q R Q q F ? ? ? ? ? ? 其中 D 是 q 到球心的距離（D＞R） 。 證明：使用鏡像法分析。由于導(dǎo)體球不接地，本身又帶電 Q，必須

4、在 導(dǎo)體球內(nèi)加上兩個(gè)鏡像電荷來(lái)等效導(dǎo)體球?qū)η蛲獾挠绊憽?在距離球心 b=R 2 /D 處，鏡像電荷為 q＇= -Rq/D；在球心處，鏡像電荷為 D Rq Q q Q q / 2 ? ? ? ? ? 。點(diǎn)電荷 q 受導(dǎo)體球的作用力就等于球內(nèi)兩個(gè)鏡 像電荷對(duì) q 的作用力，即 ] 2 ) 2 ( 2 [ 0 4 ] 2 ) ( 2 2 [ 0 4 D R D D q R D D q R Q q b D q D q q F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d q -q q q x y a ] 2 ) 2 2 ( 2 [ 0 4 R D DRq D D q R Q q ?

5、 ? ? ? ? ? 5．4 兩個(gè)點(diǎn)電荷+Q 和-Q 位于一個(gè)半徑為 a 的接地導(dǎo)體球的直徑的 延長(zhǎng)線上，分別距離球心 D 和-D。 （1）證明：鏡像電荷構(gòu)成一電偶極子，位于球心，偶極矩為 2a 3 Q/D 2 。 （2）令 Q 和 D 分別趨于無(wú)窮，同時(shí)保持 Q/D 2 不變，計(jì)算球外的電 場(chǎng)。 解： （1）使用導(dǎo)體球面的鏡像法疊加原理分析。在球內(nèi)應(yīng)該加上兩個(gè) 鏡像電荷：一個(gè)是 Q 在球面上的鏡像電荷，q 1 = -aQ/D，距離球心 b=a 2 /D；第二個(gè)是-Q 在球面上的鏡像電荷，q 2 = aQ/D，距離球心 b 1 =-a 2 /D。當(dāng)距離較大時(shí)，鏡像電荷間的距離很小，等效為一個(gè)電

6、偶 極子，電偶極矩為 2 3 2 ) 1 ( 1 D Q a b b q p ? ? ? （2）球外任意點(diǎn)的電場(chǎng)等于四個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加。設(shè)+Q 和 -Q位于坐標(biāo) z軸上， 當(dāng) Q 和 D分別趨于無(wú)窮， 同時(shí)保持 Q/D 2 不變時(shí)， 由+Q和-Q在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)相當(dāng)于均勻平板電容器的電場(chǎng)，是一個(gè) 均勻場(chǎng)。均勻場(chǎng)的大小為 2 0 4 / 2 D Q ? ? ，方向在-e z 。由鏡像電荷產(chǎn)生的 電場(chǎng)可以由電偶極子的公式計(jì)算： ） ? ? ? ? ? sin cos 2 ( 3 0 4 e r e r P E ? ? ） ? ? ? ? ? sin cos 2 ( 2 3 0 4 3

7、2 e r e D r Q a ? ? ? 5． 5 接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上有一個(gè)半徑為 a的半球形突起， 在點(diǎn) （0， 0，d）處有一個(gè)點(diǎn)電荷 q（如圖 5-5） ，求導(dǎo)體上方的電位。 解：計(jì)算導(dǎo)體上方的電位時(shí)，要保持 導(dǎo)體平板部分和半球部分的電位都為 零。先找平面導(dǎo)體的鏡像電荷 q 1 = -q， 位于（0，0，-d）處。再找球面鏡像 電荷 q 2 = -aq/d，位于（0，0，b）處， b= a 2 /d。當(dāng)疊加這兩個(gè)鏡像電荷和原電 荷共同產(chǎn)生的電位時(shí)，在導(dǎo)體平面上和 圖 5-5 球面上都不為零， 應(yīng)當(dāng)在球內(nèi)再加上一個(gè)鏡像電荷 q 3 =aq/d， 位于 （0， 0，-b）處。這時(shí)，

8、三個(gè)鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位在導(dǎo)體平 面和球面上都為零。而且三個(gè)鏡像電荷在要計(jì)算的區(qū)域以外。 導(dǎo)體上方的電位為四個(gè)點(diǎn)電荷的疊加，即 ） （ 3 3 2 2 1 1 0 4 1 r q r q r q R q ? ? ? ? ? ? ? 其中 2 1 ] 2 ) ( 2 2 [ d z y x R ? ? ? ? 2 1 ] 2 ) ( 2 2 [ 1 d z y x r ? ? ? ? 2 1 ] 2 ) ( 2 2 [ 2 b z y x r ? ? ? ? d q b q 2 q 3 -b -d q 1 a z 2 1 ] 2 ) ( 2 2 [ 3 b z y x r

9、? ? ? ? 5．6 求截面為矩形的無(wú)限長(zhǎng)區(qū)域（0

10、正弦和雙曲余弦函數(shù)，使用 邊界條件 0 , 0 ? ） （ y ? ，得出僅僅選取雙曲正弦函數(shù)，即 x b n sh n X ? ? 將基本解進(jìn)行線性組合，得 b x n n b x n sh n C ? ? ? ? ? ? ? 1 sin 待定常數(shù)由 x=a處的邊界條件確定，即 b x n n b x n sh n C y a ? ? ? ? ? ? ? 1 sin ) , ( 使用正弦函數(shù)的正交歸一性質(zhì)，有 dy b y n b y a b a n sh n C b ? ? ? ? ? 0 sin ) , ( 2 0 2 ] cos sin 2 ) [( 0 si

11、n 0 2 0 b b y n y n b b y n n b b U dy b y n b y U b ? ? ? ? ? ? ? ? ] 2 cos 2 2 2 sin 2 ) [( 0 ? ? ? ? n n b n n b b U ? ? 2 ] cos sin 2 ) [( 0 2 cos 0 sin ) 2 1 ( 0 b b b y n y n b b y n n b b U b b b y n n b U dy b y n b y b b U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n b n b b U n n b b U

12、 n n n b U cos 0 2 sin 2 ) ( 0 ) 2 cos cos 0 ? ? ? ? ? （ 2 cos 2 0 ? ? n b n b b U ? 化簡(jiǎn)以后得 dy b y n b y a b a n sh n C b ? ? ? ? ? 0 sin ) , ( 2 = 2 sin 2 2 0 2 ? ? n n b U 求出系數(shù)，代入電位表達(dá)式，得 b x n sh b y n b a n n n U n ? ? ? ? ? ? sin sin 2 sin 2 2 0 4 1 ? ? ? ? 5． 7 一個(gè)截面如圖 5-7所示的長(zhǎng)槽，向 y 方向無(wú)限延伸，兩則的

13、電位 是零，槽內(nèi) y→∞，φ→0，底部的電位為 0 0 , U x ? ） （ ? 求槽內(nèi)的電位。 解：由于在 x=0 和 x=a兩個(gè)邊界的 電位為零，故在 x 方向選取周期解， 且僅僅取正弦函數(shù)，即 x y φ=0 φ=0 φ=U 0 a ) ( sin a n n k x n k n X ? ? ? 圖 5-7 在 y 方向，區(qū)域包含無(wú)窮遠(yuǎn)處，故選取指數(shù)函數(shù)，在 y→∞時(shí)， 電位趨于零，所以選取由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為 y n k e n Y ? ? 由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為 a y n e a x n n n ? ? ? ? ? ? ? ? s

14、in 1 C 待定系數(shù)由 y=0 的邊界條件確定。在電位表示式中，令 y=0，得 a x n n n U ? sin 1 C 0 ? ? ? ? ) cos 1 ( 0 0 sin 0 2 ? ? ? n n aU dx a x n a U a n C ? ? ? ? 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， ? n U n C 0 4 ? ，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 0 0 ? C 。最后，電位的解 為 a y n e a x n n U n ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 0 4 5 , 3 , 1 5．7 若上題的底部的電位為 0 0 , U x ? ） （ ? a x ? 3 sin 重新求槽內(nèi)

15、的電位。 解：同上題，在 x 方向選取正弦函數(shù)，即 ) ( sin a n n k x n k n X ? ? ? ，在 y方向選取 y n k e n Y ? ? 。 由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為 a y n e a x n n n ? ? ? ? ? ? ? ? sin 1 C 將 y=0 的電位代入，得 0 U a x ? 3 sin a x n n n ? sin 1 C ? ? ? ? 應(yīng)用正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性，可以得到 n=3 時(shí)， 0 3 C C ? ，其余系數(shù) 0 0 ? C ，所以 a y e a x ? ? ? 3 3 sin 0 U ? ? 5．9 一個(gè)矩形導(dǎo)

16、體槽由兩部分構(gòu)成，如圖 5-9 所示，兩個(gè)導(dǎo)體板的 電位分別是 U 0 和零，求槽內(nèi)的電位。 解：將原問(wèn)題的電位看成是兩個(gè)電 位的疊加。一個(gè)電位與平行板電容 器的電位相同（上板電位為 U 0 ，下 板電位為零） ，另一個(gè)電位為 U，即 U y a ? ? 0 U ? 圖 5-9 其中，U 滿足拉普拉斯方程，其邊界條件為 y = 0 , U = 0 y= a , U = 0 x=0 時(shí), a y x φ=U 0 φ=U 0 2 a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 , 0 2 , 0 0 0 , 0 U a y a y U a

17、y a a y U U a y U y） （ ? x→∞時(shí)，電位U 應(yīng)該趨于零。U的形式解為 a x n e a y n n n U ? ? ? ? ? ? ? sin 1 C 待定系數(shù)用 x=0的條件確定。 ? ） （ y , 0 U a y n n n U ? sin 1 C ? ? ? ? dy a y n a y U n C a ? ? ? 0 sin ) , 0 ( 2 0 2 ] cos sin 2 ) [( 0 sin 0 2 0 a a y n y n a a y n n a a U dy a y n a y U a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

18、 ] 2 cos 2 2 2 sin 2 ) ( [ 0 ? ? ? ? n n a n n a a U ? ? ? 2 ] cos sin 2 ) [( 0 2 cos 0 sin ) 2 1 ( 0 a a a y n y n a a y n n a a U a a a y n n a U dy a y n a y a a U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n a n a a U n n a a U n n n a U cos 0 2 sin 2 ) ( 0 ) 2 cos cos 0 ? ? ? ? ? （ 2 co

19、s 2 0 ? ? n a n a a U ? 化簡(jiǎn)以后，得到 dy a y n a y U n C a ? ? ? 0 sin ) , 0 ( 2 = 2 cos 0 ? ? n n a U 只有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)不為零。將系數(shù)求出，代入電位的表達(dá)式，得 a x n e a y n n n U n y a U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 2 cos 0 2 , 4 , 2 0 ? 5．10 將一個(gè)半徑為 a 的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體管平分成兩半，兩部分之間互 相絕緣，上半(0<Ф<π）接電壓 U 0 ，下半（π<Ф1 的各項(xiàng)，得 0 2 0 , 0 2 ? ? ? ? n a n

20、D n A n a n D n A ? ? 由此解出 0 ? ? n D n A 。最終得到圓柱內(nèi)、外的電位分別是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos 2 0 0 0 cos 0 2 , cos 0 0 2 0 1 r a E r E r E ? ? ? ? ? ? ? ? 電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e E r e E E sin 0 0 0 2 cos 0 0 0 2 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e r a E r e r a E E ) 2 2 0 0 1 ( sin 0 ) 2 2

21、0 0 1 ( cos 0 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 5．14 在均勻電場(chǎng)中，設(shè)置一個(gè)半徑為 a的介質(zhì)球，若電場(chǎng)的方向沿 z軸，求介質(zhì)球內(nèi)、外的電位、電場(chǎng)（介質(zhì)球的介電常數(shù)為ε，球外 為空氣） 。 解：設(shè)球內(nèi)、外電位解的形式分別為 ) (cos ) 1 ( 0 1 ? ? n n P n r n B n r n A n ? ? ? ? ? ? ? ) (cos ) 1 ( 0 2 ? ? n n P n r n D n r n C n ? ? ? ? ? ? ? 選取球心處為電位的參考點(diǎn)，則球內(nèi)電位的系數(shù)中 0 0 ? A ， 0 ? n B . 在 r→∞處，電位 ?

22、 ? cos 0 2 r E ? ? ，則球外電位系數(shù) n C 中，僅僅 1 C 不為零， 0 1 E C ? ? ，其余為零。因此，球內(nèi)、外解的形式可分別簡(jiǎn)化為 ) (cos ( 0 1 ? ? n n P n r n A n ? ? ? ? ) (cos 1 0 cos 0 2 ? ? ? n n P n r n D n r E ? ? ? ? ? ? ? ? 再用介質(zhì)球面（r=a）的邊界條件 1 ? = 2 ? 及 r r ? ? ? ? ? 2 0 1 ? ? ? ? ，得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

23、? ? ? ) (cos P 2 ) 1 ( 0 1 cos 0 0 ) (cos P 1 1 ) (cos 1 1 cos 0 ) (cos P 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n a n D n n E n n n a n nA n n n P n a n D n a E n n n a n A n 比較上式的系數(shù)，可以知道，除了 n=1 以外，系數(shù) n A 、 n D 均為零， 且 3 1 0 2 0 0 1 , 2 1 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? a D E A a D a E a A ? ? ? 由此，解出系數(shù) 3 0 0 2 0 1 , 0 0 2

24、0 3 1 a E D E A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最后得到電位、電場(chǎng)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos 2 3 0 2 0 0 cos 0 2 , cos 0 2 0 3 0 1 r a E r E r E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e E r e E E sin 0 0 2 0 3 cos 0 0 2 0 3 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e r a E r e r a E E ) 3 3 0 2 0 1 ( sin 0 ) 3 3 0 2 0 2 1 ( cos 0 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?