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1、§5.3 Lindeloff空間
本節(jié)重點:
掌握Lindeloff空間的定義；
掌握Lindeloff空間與第一(二)可數(shù)性公理空間、可分空間的關(guān)系；
掌握Lindeloff空間的遺傳性、關(guān)于連續(xù)映射的是否可保持性．
我們先引進(jìn)一些術(shù)語．
定義5.3.1 設(shè)A*是一個集族，B是一個集合．如果則稱集族A*是集合B的一個覆蓋，并且當(dāng)A*是可數(shù)族或有限族時，分別稱集族A*是集合B的一個可數(shù)覆蓋或有限覆蓋．
設(shè)集族A是集合B的一個覆蓋．如果集族A的一個子族也是集合B的覆蓋，則稱集族是覆蓋A（關(guān)于集合B）的一個子覆蓋．
設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g．如果由X中開（
2、閉）子集構(gòu)成的集族A是X的子集B的一個覆蓋，則稱集族A是集合B的一個開（閉）覆蓋．
在數(shù)學(xué)分析中讀者所熟知的Heine－Borel定理告訴我們：實數(shù)空間R的子集A是一個有界閉集當(dāng)且僅當(dāng)A的每一個開覆蓋都有有限子覆蓋．因而具有“每一個開覆蓋都有有限子覆蓋”的拓?fù)淇臻g自有其重要性．對于這類拓?fù)淇臻g我們將要在第七章中稱之為“緊致空間”并且用整章的篇幅加以討論．但是另一方面，正如所知，連實數(shù)空間本身都不能包容在這類拓?fù)淇臻g之中．這使我們有必要放松一點限制．
定義5.3.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g．如果X的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個Lindeloff空間．
包含著
3、不可數(shù)多個點的離散空間不是一個Lindeloff空間．這是因為這個拓?fù)淇臻g中的所有單點子集構(gòu)成它的一個開覆蓋，這個開覆蓋沒有任何可數(shù)子覆蓋．
定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都是Lindeloff空間．
證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理，B是它的一個可數(shù)基．
設(shè)A是X的一個開覆蓋(注意,證這類問題的開頭)．對于每一個A∈A，由于A是一個開集，所以存在，使得AB令由于是B的一個子族，所以是一個可數(shù)族．并且
這就是說，也是X的一個覆蓋．如果B∈，則存在A∈A使得B∈，因此BA．于是對于每一個B∈；我們可以選定某一個記，它是
4、A的一個子族，并且
所以是A的一個子覆蓋．此外由于是可數(shù)的，所以也是可數(shù)的．于是開覆蓋A有一個可數(shù)子覆蓋．這證明X是一個Lindefoff空間．
推論5.3.2 滿足第二可數(shù)性公理的空間的每一個子空間都是Lindeloff空間．
特別，n維歐氏空間的每一個子空間都是Lindeloff空間．
例5.3.1，定理5.3.1和推論5.3.2的逆命題都不成立．
考慮包含著不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間X．例5.1.1中已經(jīng)指出它不滿足第一可數(shù)性公理，所以它也不滿足第二可數(shù)性公理．
以下證明它是一個Lindeloff空間．設(shè)A是它的一個開覆蓋．任意在A中取定一個非
5、空集合A．對于每一個x∈在A中選取一個是一個可數(shù)集，所以A的子族也是可數(shù)的，易見它也覆蓋X．因此，包含著不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間是定理5.3.1的逆命題不成立的例子．
也不難證明X的每一個子空間都是Lindefoff空間．（請讀者自補證明）因此，包含著不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間也是推論5.3.2的逆命題不成立的例子．
定理5.3.3 每一個Lindeloff的度量空間都滿足第二可數(shù)性公理．
證明 設(shè)（X，d）是一個Lindeloff的度量空間．
對于每一個k∈，集族={B（x，1/k）|x∈X}是X的一個開覆蓋．由于X是一個Lindeloff空間，所以有一個可數(shù)子覆蓋，設(shè)
6、為,從而開集族是一個可數(shù)族．以下證明它是X的一個基．
x∈X和x的任何一個鄰域U，令k為任何一個大于2/ε的正數(shù)．由于 是X的一個覆蓋，
根據(jù)定理2.6.2可見B是X的一個基．因此X滿足第二可數(shù)性公理．
例5.3.2 Lindeloff 空間的子空間可以不是Lindeloff空間的例子．
設(shè)X是一個不可數(shù)集，z∈X．令=X-{z}，
T 是一個可數(shù)集}
容易驗證T是X的一個拓?fù)洌ㄕ堊x者自己驗證．）
拓?fù)淇臻g（X，T)是一個Lindeloff空間．因為如果A是X的一個開覆蓋，則存在A∈A使得z∈A．于是是一個可數(shù)集．對于每一個x∈，選取
7、∈A使得x∈．易見是A的一個可數(shù)子覆蓋．
另外，容易驗證T ．這也就是說作為X的子空間是一個包含著不可數(shù)多個點的離散空間．所以不是一個Lindeloff空間．
此外，兩個Lindeloff空間的積空間也可以不是Lindeloff空間．有關(guān)的例子可見習(xí)題第4題．
盡管Lindeloff性質(zhì)不可遺傳，但它對于閉子空間卻是可遺傳的．我們證明：
定理5.3.4 Lindeloff空間的每一個閉子空間都是Lindeloff空間．
證明 設(shè)Y是Lindeloff空間X的一個閉子空間，A是子空間Y的一個開覆蓋．則對于每一個A∈A存在X中的一個開集使得∩Y=A．于是{|A∈A}∪
8、{}是X的一個開覆蓋，它有一個可數(shù)子覆蓋，設(shè)為（即使可以找到一個子覆蓋不包含，但添上一個元素也無何不可．）這時易見，{,…},其中
，便是A的一個（關(guān)于子空間Y的）可數(shù)子覆蓋．
定理5.3.5 設(shè)拓?fù)淇臻gX的任何一個子空間都是Lindeloff空間．如果AX是一個不可數(shù)集，則A中必定包含A的某一個凝聚點，即 ．
特別，如果X是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，則X的每一個不可數(shù)子集A中都包含著A的某一個凝聚點．
證明 設(shè)AX是一個不可數(shù)集．如果A中沒有A的凝聚點，則對于每一個a∈A，存在a在X中的一個鄰域，這說明單點集{a}是子空間A中的一個開集．從而子空間A便是一個包含著不可數(shù)多個點的離散空間，它必然不是一個Linde1off空間，這與定理的條件矛盾．
我們將本章中討論過的各類拓?fù)淇臻g之間的關(guān)系列為圖表
作業(yè):
P149 1．
本章總結(jié)：
（1），Lindeloff空間是重點．
?。?）掌握，Lindeloff，可分是否是連續(xù)映射所保持的、有限可積的、可遺傳的性質(zhì)．
?。?）掌握這些空間之間的關(guān)系（上述關(guān)系圖）．
?。?）掌握空間中序列的性質(zhì)及定理5.1.8的內(nèi)容與作用．
《點集拓?fù)鋵W(xué)》第5章 §5.3 Lindeloff空間
