學(xué)案34 直線及其方程

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1、第九章　解析幾何 學(xué)案34　直線及其方程 自主梳理 1．直線的傾斜角與斜率 (1)直線的傾斜角 ①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸________與直線l________方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為_(kāi)_______． ②傾斜角的范圍為_(kāi)_____________． (2)直線的斜率 ①定義：一條直線的傾斜角α的________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝________，傾斜角是90°的直線斜率不存在． ②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，

2、y2) (x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝______________________. 2．直線的方向向量 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的一個(gè)方向向量為，其坐標(biāo)為_(kāi)_______________，當(dāng)斜率k存在時(shí)，方向向量的坐標(biāo)可記為(1，k)． 3．直線的方程和方程的直線 已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)和坐標(biāo)平面上的直線l，如果直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一個(gè)解作為點(diǎn)的坐標(biāo)都在__________，就稱直線l是方程Ax＋By＋C＝0的直線，稱方程Ax＋By＋C＝0是直線

3、l的方程． 4．直線方程的五種基本形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 不含直線x＝x0 斜截式 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 不含直線x＝x1 (x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 一般式 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 5.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式． 自我檢測(cè) 1．(2011·銀川調(diào)研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C三點(diǎn)共線，則m的值為(　　) A.

4、 B．－ C．－2 D．2 2．直線l與兩條直線x－y－7＝0，y＝1分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為(1，－1)，則直線l的斜率為(　　) A．－ B. C. D．－ 3．下列四個(gè)命題中，假命題是(　　) A．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)的直線不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)來(lái)表示 C．與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程＋＝1表示 D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(0，b)的直線都可以表示為y＝kx＋b 4．(201

5、1·商丘期末)如果A·C<0，且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過(guò)(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知直線l的方向向量與向量a＝(1,2)垂直，且直線l過(guò)點(diǎn)A(1,1)，則直線l的方程為(　　) A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0 探究點(diǎn)一　傾斜角與斜率 例1　已知兩點(diǎn)A(－1，－5)、B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率． 變式遷移1　直線xsin α－y＋1＝0的傾斜角

6、的變化范圍是(　　) A. B．(0，π) C. D.∪ 探究點(diǎn)二　直線的方程 例2　(2011·武漢模擬)過(guò)點(diǎn)M(0,1)作直線，使它被兩直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程． 變式遷移2　求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍． 探究點(diǎn)三　數(shù)形結(jié)合思想 例3　已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)． 試求的最大值與最

7、小值． 變式遷移3　直線l過(guò)點(diǎn)M(－1,2)且與以點(diǎn)P(－2，－3)、Q(4,0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則l的斜率范圍是(　　) A．[－，5] B．[－，0)∪(0,5] C．(－∞，－]∪[5，＋∞) D．[－，)∪(，5] 1．(2011·臨沂月考)已知直線l經(jīng)過(guò)A(2,1)、B(1，m2) (m∈R)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A．(0，π) B.∪ C. D.∪ 2．(2011·宜昌調(diào)研)點(diǎn)A(a＋b，ab)在第一象限內(nèi)，則直線bx＋ay－ab＝0不經(jīng)過(guò)的象限是(　　)

8、A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(2011·包頭期末)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－1)，且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為(　　) A．2x＋y＝2 B．2x＋y＝4 C．2x＋y＝3 D．2x＋y＝3或x＋2y＝0 4．過(guò)兩點(diǎn)A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直線l的傾斜角為45°，則m＝________. 5已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)． (1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)； (2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，

9、△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程． 學(xué)案34　直線及其方程 自主梳理 1．(1)①正向　向上　0°?、?°≤α<180°　(2)①正切值　tan α?、凇?.(x2－x1，y2－y1)　3.Ax＋By＋C＝0 直線l上　4.y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b?。健。?(a≠0，b≠0)　Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為0)　5.　 自我檢測(cè) 1．A　2.D　3.D　4.C　5.D 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系，本題需要挖掘隱含條件，判斷角的范圍．關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型． 解　設(shè)直

10、線l的傾斜角為α，則直線AB的傾斜角為2α， 由題意可知：tan 2α＝＝，∴＝. 整理得3tan2α＋8tan α－3＝0. 解得tan α＝或tan α＝－3，∵tan 2α＝>0， ∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0， 故直線l的斜率為. 變式遷移1　D　[直線xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1. 當(dāng)0≤k≤1時(shí)，傾斜角的范圍是， 當(dāng)－1≤k<0時(shí)，傾斜角的范圍是.] 例2　解題導(dǎo)引　(1)對(duì)直線問(wèn)題，要特別注意斜率不存在的情況． (2)求直線方程常用方法——待定系數(shù)法． 待定系數(shù)法就

11、是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程，然后按照它們滿足的條件求出參數(shù)． 解　過(guò)點(diǎn)M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點(diǎn)分別是和(0,8)， 顯然不滿足中點(diǎn)是點(diǎn)M(0,1)的條件． 故可設(shè)所求直線方程為y＝kx＋1，與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組① ② 由①解得xA＝，由②解得xB＝. ∵點(diǎn)M平分線段AB，∴xA＋xB＝2xM， 即＋＝0，解得k＝－. 故所求直線方程為x＋4y－4＝0. 變式遷移2　解　(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a， 若a＝0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，則設(shè)l的方

12、程為＋＝1， ∵l過(guò)點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1， ∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0， 綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (2)由已知：設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α， 則所求直線的傾斜角為2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－. 又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. 例3　解題導(dǎo)引　解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，將求最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問(wèn)題，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，收到事半功倍的效果． 解　由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(－2，－3)與曲線段A

13、B上任一點(diǎn)(x，y)的直線的斜率k，由圖可知： kPA≤k≤kPB，由已知可得： A(1,1)，B(－1,5)， ∴≤k≤8， 故的最大值為8，最小值為. 變式遷移3　C 　[如圖，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線與線段PQ相交于點(diǎn)N. kMP＝5，kMQ＝－. 當(dāng)直線l從MP開(kāi)始繞M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到MN時(shí)，傾斜角在增大，斜率也在增大，這時(shí)，k≥5.當(dāng)直線l從MN開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到MQ時(shí)， ∵正切函數(shù)在(，π)上仍為增函數(shù)， ∴斜率從－∞開(kāi)始增加，增大到kMQ＝－， 故直線l的斜率范圍是(－∞，－]∪[5，＋∞)．] 課后練習(xí)區(qū) 1．B　　2.C　3.D 4．－2　 5．

14、(1)證明　直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令，解之得， ∴無(wú)論k取何值，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－2,1)．(4分) (2)解　由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有，解之得k>0；(7分) 當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.(9分) (3)解　由l的方程，得A， B(0,1＋2k)．依題意得　 解得k>0.(11分) ∵S＝·|OA|·|OB| ＝··|1＋2k| ＝·＝≥×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的條件是k>0且4k＝， 即k＝， ∴Smin＝4，此時(shí)l：x－2y＋4＝0.(14分)