秋備課】北師大版 九年級上冊數(shù)學(xué) (1 5)全冊教案集

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1、b第一章特殊平行四邊形 菱形的性質(zhì)與判定 第1 【教學(xué)目標(biāo)】 1.掌握菱形的概念、性質(zhì)。 2.掌握菱形的性質(zhì)定理“菱形的四條邊相等”。 3.掌握菱形的性質(zhì)定理“菱形的對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角”。 4.探索菱形的對稱性。 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):菱形的性質(zhì). 難點(diǎn):菱形的軸對稱需要用折疊和推理相結(jié)合的方法,是本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn). 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 觀察以下由火柴棒擺成的圖形,議一議: (2) 與圖一相比,圖二與圖三有什么共同的特點(diǎn)? 目的是讓學(xué)生經(jīng)歷菱形的概念,性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程, 并讓學(xué)生注意以下幾點(diǎn): (1)要使學(xué)生明確圖二

2、、圖三都為平行四邊形; (2)引導(dǎo)學(xué)生找出圖二、圖三與圖一在邊方面的差異. 二、探究新知 再用多媒體教科書中有關(guān)菱形的美麗圖案,讓學(xué) 生感受菱形具有工整,勻稱,美觀等許多優(yōu)點(diǎn). 菱形也是特殊的平行四邊形,所以它除具有一般 平行四邊形的性質(zhì)外還具有一些特殊的性質(zhì). 定理1:菱形的四條邊都相等. 這個定理要求學(xué)生自已完成證明,可以根據(jù)菱形 的定義推出,課堂上只需讓學(xué)生說說理由就可以了,不 必寫證明過程. 定理2:菱形的對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角. 課時 例:已知:在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O. 求證:AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,

3、BD 平分∠ABC和∠ADC. 分析:由菱形的定義得ΔABD是什么三角形? BO與OD有什么關(guān)系?根據(jù)什么? 由此可得AC與BD有何關(guān)系?與∠BAD有何關(guān)系?根據(jù) 什么? 證明:∵四邊形ABCD是菱形, ∴AB=AD(菱形的定義), BO=OD(平行四邊形的對角線互相平分) ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD(等腰三角形三線合 一的性質(zhì)). 同理,AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC, ∴對角線AC和BD分別平分一組對角. 由定理2可以得出菱形是軸對稱圖形,它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸.另外,還可以從折疊來說時指出以上兩,比如:菱形是中心對稱圖形,

4、對稱中心為兩條對角線的交點(diǎn). 三、范例點(diǎn)擊 例:在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O, ∠BAC=30°,BD=6,求菱形的邊長和對角線AC的長. 分析:本題是菱形的性質(zhì)定理2的應(yīng)用,由∠BAC= 30°,得出ΔABD為等邊三角形,就抓住了問題解決的關(guān)鍵. 解:∵四邊形ABCD是菱形 ∴AB=AD(菱形的定義), AC平分∠BAD(菱形的每條對角線平分一組對角) 又∵∠BAC= 30°, ∴∠BAD=60°, ∴ΔABD為等邊三角形, ∴AB=BD=6. 又∵OB=OD=3 (平行四邊形的對角線互相平分), AC⊥BD (菱形的對角線互相垂直). 由

5、勾股定理得AO2+BO2=AB2, ∴AO=3√3AC=2AO=6√3. 第2 【教學(xué)目標(biāo)】 1.經(jīng)歷菱形的判定定理的發(fā)現(xiàn)過程. 2. 掌握菱形的判定定理“四邊相等的四邊形是菱形”. 3. 掌握菱形的判定定理“對角線互相垂直的平行 四邊形是菱形”. 4.通過運(yùn)用菱形知識解決具體問題,提高分析能力和觀察能力 ,并根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的從屬關(guān)系,向?qū)W生滲透幾何思想. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):菱形的判定定理. 難點(diǎn):菱形判定方法的綜合應(yīng)用.課本“做一做”既 需要一定的空間想象力,又要有較強(qiáng)的邏輯思維能力. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 教師提問:菱形的定義和性質(zhì). 定

6、義:一組鄰邊對應(yīng)相等的平行四邊形叫做菱形. 性質(zhì):除具備一般平行四邊形的性質(zhì)外,還具備四條邊相等,對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角判定一個四邊形是不是菱形可根據(jù)什么來判定? 定義,此外還有兩種判定方法,今天我們就要學(xué)習(xí)菱形的判定.(板書課題) 二、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課 學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的長方形紙片,按P6“做一做”中 的圖的方法對折兩次 ,并沿第3個圖中的斜線剪開,展開剪下的部分,猜想這個圖形是哪一種四邊形?一定是菱形嗎?為什么?剪出的圖形四條邊都相等,根據(jù)這個條件首先證它是平行四邊形,再證一組鄰邊相等,依定義即知為菱形. 四、鞏固練習(xí) 教材P4隨堂練習(xí) 五

7、、課堂小結(jié): 本節(jié)課應(yīng)掌握:一個定義(菱形的定義),二條定理(菱形的性質(zhì)定理),二個結(jié)論(菱形是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形). 六、布置作業(yè) 教材P4~5習(xí)題1. 1 課時 結(jié)論:菱形判定定理1:四邊都相等的四邊形是菱 形.(板書) 三、探究新知 例1:已知:如圖,在ABCD中,BD⊥AC,O為垂足.求證:四邊形ABCD是菱形. 分析:在已知是平行四邊形的情況下,要證明是菱 形,只要證明一組鄰邊相等. 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AO=CO(平行四邊形的對角線互相平分). ∵BD⊥AC, ∴AD=CD, ∴四邊形ABCD是

8、菱形(菱形的定義). 結(jié)論:菱形判定定理2:對角線互相垂直的平行四 邊形是菱形. 猜想:對角線互相垂直平分的四邊形是不是菱形? 啟發(fā):通過四個直角三角形的全等得到四條邊 相等 結(jié)論:對角線互相垂直平分的四邊形是菱形. 例2:如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線與AD,BC分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),求證:四邊形AFCE是菱形. 啟發(fā):已知對角線互相垂直,還需什么條件就能說 明四邊形是菱形? 證明: ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AE//FC(矩形的定義), ∴∠1=∠2. 又∵∠AOE=∠COF,AO=CO, ∴ΔAOE≌ΔCOF, ∴EO=FO,

9、∴四邊形AFCE是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形). 又∵EF⊥AC, ∴四邊形AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形). 四、鞏固練習(xí) 1.教材P7、P9隨堂練習(xí). 2.思考題:如圖,ΔABC中,∠A=90°,∠B的平分線交AC于D,AH、DF都垂直于BC,H、F為垂足,求證:四邊形AEFD為菱形. 五、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握: 1. 菱形常用的判定方法歸納為(學(xué)生討論歸納后, 由教師板書): (1) 一組鄰邊相等的平行四邊形. (2) 四條邊相等的四邊形. (3) 對角線互相垂直的平行四邊形. (4)對角線互相垂直平分的四邊

10、形. 2. 想一想:說明平行四邊形、矩形、菱形之間的區(qū) 別與聯(lián)系. 1. 教材P7習(xí)題1.2 2.教材P9?10習(xí)題1. 3 1.2矩形的性質(zhì)與判定 第1課時 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 了解矩形的有關(guān)概念,理解并掌握矩形的有關(guān) 性質(zhì). 2. 經(jīng)過探索矩形的概念和性質(zhì)的過程,發(fā)展學(xué)生 合情推理意識;掌握幾何思維方法. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):掌握矩形的性質(zhì),并學(xué)會應(yīng)用. 難點(diǎn):理解矩 過程,遷移到矩形概念與性質(zhì)上來,明確矩形是特殊的 平行四邊形. 【教學(xué)過程】 一、聯(lián)系生活,形象感知 【顯示投影片】 教師活動:將收集來的有關(guān)長方形圖片播放出來

11、, 讓學(xué)生進(jìn)行感性認(rèn)識,然后定義出矩形的概念. 矩形定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.(也就是小學(xué)學(xué)習(xí)過的長方形) 教師活動:介紹完矩形概念后,為了加深理解,也為了繼續(xù)研究矩形的性質(zhì),拿出教具,同學(xué)生一起探究下面問題: 問題1:改變平行四邊形活動框架,將框架夾角α 變?yōu)?0°,平行四邊形成為一個矩形,這說明平行四邊形與矩形具有怎樣的從屬關(guān)系?(教師提問) 學(xué)生活動:觀察教師的教具,研究其變化情況,可 以發(fā)現(xiàn):矩形是平行四邊形的特例,屬于平行四邊形, 因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì). 問題2:既然它具有平行四邊形的所有性質(zhì),那么矩形是否具有它獨(dú)特的性質(zhì)呢?(教師提問) 學(xué)生活

12、動:由平行四邊形對邊平行以及剛才α變?yōu)?0°,可以得到α的補(bǔ)角也是90°從而得到:矩形的四個角都是直角. 評析:實(shí)際上,在小學(xué)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過長方形四個角 都是90°,這里學(xué)生不難理解. 教師活動:用橡皮筋做出兩條對角線,讓學(xué)生觀察 這兩條對角線的關(guān)系,并要求學(xué)生證明(口述). 學(xué)生活動:觀察發(fā)現(xiàn):矩形的兩條對角線相等.口 述證明過程是:充分利用(SAS)三角形全等來證明. 口述:∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠DCB= 90°,AB=DC. 又∵BC為公共邊, ∴ΔABC≌ΔDCB(SAS), ∴AC=BD. 教師提問:AO=AC, BO=BD呢?BO是RtΔA

13、BC的什么線?由此你可以得到什么結(jié)論? 學(xué)生活動:觀察、思考后發(fā)現(xiàn)AO=1/2AC,BO=1/2BD,BO是RtΔABC的中線.由此歸納直角三角形的一個性質(zhì):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 直角三角形中,30°角所對的邊等于斜邊的一半 (師生回憶). 【設(shè)計意圖】采用觀察、操作、交流、演繹的手法來解決重點(diǎn),突破難點(diǎn). 二、范例點(diǎn)擊 例1:如圖,在矩形ABCD中,兩條對角線相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=2. 5,這個矩形對角線的長. (投影顯示) 分析:利用矩形對角線相等且平分得到OA=OB,由于∠AOB=60°,因此,可以發(fā)現(xiàn)ΔAOB為等邊三角形,這樣可求出

14、OA=AB=2. 5,∴AC=BD= 2OA=5. 【活動方略】 教師活動:板書例1,分析例1的思路,教會學(xué)生解 題分析法,然后板書解題過程(課本P13). 學(xué)生活動:參與教師講例,總結(jié)幾何分析思路. 【問題探究】(投影顯示) 如圖,ΔABC中,∠A=2∠B,CD是ΔABC的高,E是AB的中點(diǎn),求證::DE=1/2AC. 分析:本題可從E是ab的中點(diǎn)切入,考慮應(yīng)用三角形中位線定理.應(yīng)用三角形中位線必需找到另一個中點(diǎn).分析可知:可以取BC中點(diǎn)F,也可以取AC的中點(diǎn)G為嘗試. 教師活動:操作投影儀,引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生的分析思路,教會學(xué)生如何書寫輔助線. 學(xué)生活動:分四人

15、小組,合作探索,想出幾種不同的證法. 證法一:取BC的中點(diǎn)F,連接EF、DF,如圖(1). 【設(shè)計意圖】補(bǔ)充這道演練題是訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)用能力,提高一題多解的意識,形成幾何思路. 三、隨堂練習(xí) 教材P13隨堂練習(xí) 四、應(yīng)用拓展 已知:如圖,從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對角線BD的垂線與∠BAD的平分線相交于點(diǎn)E,求證:AC=CE. ∠FAB .現(xiàn)在只要證明∠BAF=∠DAC即可,而實(shí)際上, ∠BAF=∠BDA=∠DAC,問題迎刃而解. 五、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握: 1.矩形定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形,因此矩 形是平行四邊形的特例,具有平行四

16、邊形所有性質(zhì)。 2.矩形性質(zhì)歸納: (1)邊的性質(zhì):對邊平行且相等. (2)角的性質(zhì):四個角都是直角. (3)對角線性質(zhì):對角線互相平分且相等. (4)對稱性:矩形是軸對稱圖形. 六、 布置作業(yè) 教材P13習(xí)題1.4第1、2題 第2 【教學(xué)目標(biāo)】 1.通過探索與交流,逐漸得出矩形的判定定理,并 會運(yùn)用定理解決相關(guān)問題. 2.通過開放式命題,嘗試從不同角度尋求解決問 題的方法. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):探索矩形判定定理的過程及應(yīng)用. 難點(diǎn):矩形判定定理的應(yīng)用. 【教學(xué)過程】 一、 創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課 通過上節(jié)課對矩形的學(xué)習(xí),誰能回答

17、以下問題: 1.判定四邊形是矩形的方法是什么?(用定義) (1)是不是平行四邊形,(2)再看它有無直角. 2.矩形是特殊的平行四邊形,它具有哪些性質(zhì)? (通過對矩形定義及性質(zhì)的回顧,引出判定矩形除了定義 課時 外,還有哪些方法,導(dǎo)入新課.) 二、探究新知 活動一:矩形的判定定理一的探索 1.先請同學(xué)只用手中量角器量一下圖形(甲)(乙) 中的四邊形的角(有幾個直角). 2.然后通過同桌同學(xué)交流用幾個直角才能構(gòu)成矩 形,并說明理由. (此問題的解決以動手實(shí)踐,合作交流的形式進(jìn) 行,學(xué)生在探究過程中根據(jù)已有的知識積累——矩形的定義,

18、得出矩形的判定定理一.教師以合作者的身份深入學(xué)生中,了解學(xué)生的探究進(jìn)程并適當(dāng)給予點(diǎn)撥.) 最后教師進(jìn)行適當(dāng)板書進(jìn)行推證、講解.在此過程 中,全體同學(xué)可互相補(bǔ)充、互相評價,培養(yǎng)學(xué)生的語言 表達(dá)能力、推理能力. 活動二:教師提問:矩形的對角線相等,反過來對 角線相等的四邊形是什么圖形?在學(xué)生回答是或不是的情況下,讓學(xué)生依下列步驟進(jìn)行探索. 1.畫任意兩條長度相等的相交線段,并把它們的四個頂點(diǎn)順次連接,看是不是矩形? 2. 畫兩條長度相等并且一條平分另一條的線段, 并把它們的四個頂點(diǎn)順次連接,看是不是矩形? 3. 畫兩條長度相等并且互相平分的線段,并把它 們的四個頂點(diǎn)順次連接,看是不是矩

19、形? 4.然后通過同桌同學(xué)交流用怎樣的兩條長度相等 的線段才能構(gòu)成矩形,并說明理由. 最后通過教師演示動畫,師生進(jìn)行適當(dāng)交流、歸 納、講解,得出矩形的判定定理二. (此問題的解決仍以分組合作交流的形式進(jìn)行,通 過此種互動過程,讓全體學(xué)生參與其中,獲得不同程度的收獲,體驗(yàn)成功的喜悅.) 活動三:矩形的判定定理二的證明. 已知:在平行四邊形ABCD中,AC=BD, 求證:平行四邊形ABCD是矩形. 對于判定定理二的證明教師從以下幾個方面進(jìn)行與學(xué)生交流. (1)條件與結(jié)論各是什么?(引出條件與結(jié)論的關(guān)系) (2)使一個平行四邊形是矩形,已學(xué)過什么方法? (引出矩形的定

20、義證明) (3)要證明一個角是直角,根據(jù)平行四邊形相鄰兩 個角互補(bǔ),只需證明什么?(引出證明兩個三角形全等) (4)如何選擇要證明兩個三角形全等,它們的條件是否滿足? 最后由學(xué)生說出整個證明的過程,教師進(jìn)行適當(dāng) 的點(diǎn)評與板書. 當(dāng)判定定理一、定理二得出后,讓學(xué)生總結(jié)矩形的三種判定方法(定義,定理一與定理二),并對題設(shè)進(jìn)行比較、區(qū)分,使學(xué)生進(jìn)一步明確定理應(yīng)用的條件. 三、范例點(diǎn)擊 例:如圖所示,在□ABCD中,E、F為BC上兩點(diǎn),且BE=CF,AF=DE.求證: (1)ΔABF≌ΔDCE; (2)四邊形ABCD是矩形. 分析:(1)由四邊形ABCD是平行四邊形,得AB=CD

21、,再結(jié)合已知條件,利用“SSS”可證得ΔABF≌ΔDCE; (2)只需再證∠B或∠C等于90°即可. 證明:(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+ EF,∴BF=CE. ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=DC. 在ΔABF和ΔDCE中, ∵AB=DC,BF=CE,AF=DE, ∴ΔABF≌ΔDCE, (2) ∵ΔABF≌ΔDCE,∴∠B=∠C. ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB//CD,∴∠B+∠C=180°, ∴∠B = 90°,∴平行四邊形ABCD是矩形. 四、拓展應(yīng)用 為了幫助學(xué)生鞏固定理,應(yīng)用如

22、下: 應(yīng)用一:工人師傅要檢驗(yàn)兩組對邊相等的四邊形是否成矩形,你有沒有方法幫助工人師傅解決這個問題?(這一題是由引入判定定理二改編而成的,主要考查學(xué)生利用矩形的判定定理解決實(shí)際問題的能力.) 應(yīng)用二:例題講解 一張四邊形紙板ABCD形狀如圖,它的對角線互相從這張紙板中剪出一個矩形,并且使它的四個頂點(diǎn)分別落在四邊形ABCD的四條邊上,可以怎樣剪? 對于這個問題的解決教師引導(dǎo)學(xué)生回顧過去證明依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形的經(jīng)驗(yàn),使學(xué)生聯(lián)想到連接四邊形ABCD的兩條對角線,然后運(yùn)用中位線定理,這樣就解決了這個問題. 五、鞏固練習(xí) 練習(xí)一: 1.內(nèi)角都相等的四

23、邊形是矩形. ( ) 2.對角線相等的四邊形是矩形. ( ) 3.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形.() 4.一組鄰角相等的平行四邊形是矩形. ( ) 5.對角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形. ( ) 練習(xí)二:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線,AE=CG=BF=DH.求證:四邊形EFGH是矩形. (練習(xí)一,二是課內(nèi)練習(xí),主要為加強(qiáng)學(xué)生對所學(xué)定理的理解和掌握,使學(xué)生能將給出的條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)用定理所需的條件,辨析判定定理的題設(shè),以便更好地應(yīng)用定理.這兩個問題的解決分別應(yīng)用所學(xué)定理,使學(xué)生能夠?qū)W以致用.這兩道題的解決方法是先采用獨(dú)立完成形式,有困難的學(xué)生可以求助老師

24、或同學(xué),學(xué)生互助完成,派學(xué)生代表板書講解.) 六、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握: 矩形常用的判定方法歸納為(學(xué)生討論歸納后,由教師板書): (1)有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形. (2)對角線相等的平行四邊形是矩形. (3)有三個角是直角的四邊形是矩形. 七、布置作業(yè) 教材P16習(xí)題1.5第1、2題 正方形的性質(zhì)與判定 第1課時 【教學(xué)目標(biāo)】 了解正方形的有關(guān)概念,理解并掌握正方形的性 質(zhì)定理. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):探索正方形的性質(zhì)定理. 難點(diǎn):掌握正方形的性質(zhì)的應(yīng)用方法,把握正方形既是矩形又是菱形這一特性來學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容. 【教

25、學(xué)過程】 一、探究導(dǎo)入 【顯示投影片】 顯示內(nèi)容:展示生活中有關(guān)正方形的圖片,幻燈片 (多幅). 【活動方略】 教師活動:操作投影儀,邊展示圖片,邊提出下面的問題: 1.同學(xué)們觀察顯示的圖片后,有什么聯(lián)想?正方形四條邊有什么關(guān)系?四個角呢? 2. 正方形是矩形嗎?是菱形嗎?為什么? 3. 正方形具有哪些性質(zhì)呢? 學(xué)生活動:1.正方形四條邊都相等(小學(xué)已學(xué)過);正方形四個角都是直角(小學(xué)學(xué)過). 實(shí)驗(yàn)活動:教師拿出矩 形按左圖折疊.然后展開, 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn):只要矩形一組鄰邊相等,這樣的矩形就是正方形;同樣,教師拿出活動菱形框架,運(yùn)動中讓學(xué)生 發(fā)現(xiàn):只要菱形有一個內(nèi)角為90°

26、,這樣的特殊菱形也是 正方形. 教師活動:組織學(xué)生聯(lián)想正方形還具有哪些性質(zhì),板書畫出一個正方形,如下圖: 學(xué)生活動:觀察、聯(lián)想到它是矩形,所以具有矩形的所有性質(zhì);它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性質(zhì),歸納如下: 正方形定義:有一組鄰邊相等,并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形. 正方形性質(zhì): (1)邊的性質(zhì):對邊平行,四條邊都相等. (2)角的性質(zhì):四個角都是直角. (3)對角線的性質(zhì):兩條對角線互相垂直平分且相 等,每條對角線平分一組對角. (4)對稱性:是軸對稱圖形,有四條對稱軸. 【設(shè)計意圖】采用合作交流、發(fā)現(xiàn)、歸納的方式來解決重點(diǎn)問題,突

27、破難點(diǎn). 二、探究新知 【課堂演練】(投影顯示) 演練題1:如圖,已知四邊形ABCD是正方形,對角線AC與BD相交于0,MN//AB,且分別與OA、 OB相交于M、N. 求證:(1)BM=CN; (2)BM⊥CN. 分析:本題是證明BM=CN,根據(jù)正方形性質(zhì),可以證明BM、CN所在ΔBOM與ΔCON是否全等.(2) 在(1)的基礎(chǔ)上完成,欲證BM⊥CN.只需證∠5 + ∠CMG= 90°就可以了. 【活動方略】 教師活動:操作投影儀.組織學(xué)生演練,巡視,關(guān)注 “學(xué)困生”;等待大部分學(xué)生練習(xí)做完之后,再請兩位學(xué) 生上臺演示,交流. 學(xué)生活動:課堂演練,相互討論,解決演練

28、題的問題. 證明:(1) ∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠COB=∠BOM=90°,OC=OB. ∵M(jìn)N//AB,∴∠1=∠2,∠ABO= ∠3, 又∵∠1=∠ABO= 45°,∴∠ 2=∠3, ∴OM=ON, ∴ΔCON≌ΔBOM,∴BM=CN. (2)由(1)知ΔBOM≌ΔCON, ∴∠4= ∠5,∵∠4+∠BMO=90°,∴∠5+∠BMC=90°,∴∠CGM=90°,∴BM⊥CN. 演練題2:如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E在AD邊上,且AE=AD,F(xiàn)為AB的中點(diǎn),求證:ΔCEF是直角三角形. 分析:本題要證∠EFC=90°,從已知條件分析可以得到只要利用勾股定理

29、逆定理,就可以解決問題.這 里應(yīng)用到正方形性質(zhì). 【活動方略】 教師活動:用投影儀顯示演練題2,組織學(xué)生應(yīng)用正方形和勾股定理逆定理分析,并請同學(xué)上講臺分析思路,板演. 學(xué)生活動:先獨(dú)立分析,找到證明思路是利用勾股定理的逆定理解決問題. 證明:設(shè)AB = 4a,在正方形ABCD中,DC=BC=4a, AF=FB = 2a,AE=a,DE=3a. ∵∠B=∠A=∠D=90°,由勾股定理得: EF2 +CF2= (AE2 +AF2) + (CB2 +BF2)=(a2 + 4a2) + (16a2+4a2)=25a2, CE2=CD2+DE2= (4a)2 + (3a)2=25a2,

30、 ∴EF2 +CF2=CE2. 由勾股定理的逆定理可知ΔCEF是直角三角形. 【設(shè)計意圖】補(bǔ)充兩道關(guān)于正方形性質(zhì)應(yīng)用的演練 題,提高學(xué)生的應(yīng)用能力. 三、范例點(diǎn)擊 例:已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,矩形 PECF的頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線BD上,E在BC上,F(xiàn)在 CD上,連接 AC、AP、PC、EF,若EC=4,CF=3,求 PA的長. 分析:本題運(yùn)用矩形對角線相等的性質(zhì)可得EF=PC,運(yùn)用正方形的性質(zhì)可得AP=PC,進(jìn)而可得AP=EF.因此,只要求出EF的值即可. 解:∵四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.在 RtΔEFC中, EC=4,CF=3, ∴EF

31、=EC2+CF2'=42+32=5; ∴PC=5. ∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC且BD平分AC,即BD是AC的垂直平分線.∵點(diǎn)P在BD上,∴PA=PC=5. 【方法歸納】與矩形對角線有關(guān)的計算問題,主要運(yùn)用矩形的對角線相等和正方形的對角線的性質(zhì),借助第三條線段作“媒介”求線段的長. 四、 鞏固練習(xí) 教材P21隨堂練習(xí) 五、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握: 1. 正方形的概念: 有一組鄰邊相等,并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形. 2. 正方形的性質(zhì) (1) 正方形的四個角都是直角,四條邊相等. (2) 正方形的對角線相等且互相垂直平分. (3) 正方形既是軸對

32、稱圖形,也是中心對稱圖形. 六、 布置作業(yè) 教材P22習(xí)題1.7第1、2、3題 第2課時 【教學(xué)目標(biāo)】 1.知道正方形的判定方法,會運(yùn)用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計算. 2.經(jīng)歷探究正方形判定條件的過程,發(fā)展學(xué)生初步的綜合推理能力,主動探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣,逐步掌握說理的基本方法. 3.理解特殊的平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生辯證看問題的觀點(diǎn). 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):掌握正方形的判定條件. 難點(diǎn):合理恰當(dāng)?shù)乩锰厥馄叫兴倪呅蔚呐卸ㄟM(jìn)行有關(guān)的論證和計算. 【教學(xué)過程】 ―、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課 我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形,

33、那么思考一下,它們之間有怎樣的包含關(guān)系?請?zhí)钊胂聢D中. 通過填寫讓學(xué)生形象地看到正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,還是特殊的平行四邊形;而正方形、矩形、菱形都是平行四邊形;矩形、菱形都是特殊的平行四邊形. 1.怎樣判斷一個四邊形是平行四邊形? 2.怎樣判斷一個四邊形是矩形? 3.怎樣判斷一個四邊形是菱形? 4.怎樣判斷一個平行四邊形是矩形、菱形? 議一議:你有什么方法判定一個四邊形是正方形? 二、探究新知 1.探索正方形的判定條件: 學(xué)生活動:四人一組進(jìn)行討論研究,老師巡回其間,進(jìn)行引導(dǎo)、質(zhì)疑、解惑,通過分析與討論,師生共同總結(jié)出判 定一個四邊形是正方形的基本方

34、法. (1)直接用正方形的定義判定,即先判定一個四邊形是平行四邊形,若這個平行四邊形有一個角是直角,并且有一組鄰邊相等,那么就可以判定這個平行四邊形是正方形; (2)先判定一個四邊形是矩形,再判定這個矩形是 菱形,那么這個四邊形是正方形; (3)先判定四邊形是菱形,再判定這個菱形是矩 形,那么這個四邊形是正方形. 基礎(chǔ).這三個方法還可寫成:有一個角是直角,且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形;有一組鄰邊相等的矩形是正方形;有一個角是直角的菱形是正方形. 上述三種判定條件是判定四邊形是正方形的一般方法,可當(dāng)作判定定理用,但由于判定平行四邊形、矩 形、菱形的方法各異,所給出的條件各不相同,所

35、以判定一個四邊形是不是正方形的具體條件也相應(yīng)可作變化,在應(yīng)用時要仔細(xì)辨別后才可以作出判斷. 2.正方形判定條件的應(yīng)用 例1:判斷下列命題是真命題還是假命題?并說明理由. (1)四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形; ⑵四個角相等且對角線互相垂直的四邊形是正方形; (3)對角線互相垂直平分的四邊形是正方形; (4)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形; (5)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形. 師生共析: (1) 是真命題,因?yàn)樗臈l邊相等的四邊形是菱形, 又四個角相等,根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理知每個角為90°,所以由有一個角是直角的菱形是正方形可以判定此命題是真命題.

36、 ⑵真命題,由四個角相等可知每個角都是直角,是矩形,由對角線互相垂直可判定這個矩形是菱形,所以根據(jù)是既是矩形又是菱形的四邊形是正方形,可判定其為真. (3)假命題,對角線平分的四邊形是平行四邊形, 對角線垂直的四邊形是菱形,所以它不一定是正方形. 如下圖①,滿足AO=CO,BO=DO且AC⊥BD但四邊形ABCD不是正方形. (4)假命題,它可能是任意四邊形.如上圖②,AC⊥BD且AC=BD,但四邊形ABCD不是正方形. (5)真命題. 方法一:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形, 對角線相等的平行四邊形是矩形,對角線垂直的平行四邊形是菱形,所以是矩形又是菱形的四邊形是

37、正方形.可判定其為真. 方法三:由對角線互相垂直平分可知是菱形,由對角線平分且相等可知是矩形,而既是菱形又是矩形的四邊形就是正方形. 總結(jié):通過辨析,掌握判定正方形的各種方法和思路,從題中所給各種不同條件出發(fā),尋找命題成立的判定依據(jù),以便靈活應(yīng)用. 例2:如圖,E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,且∠AFE= 45°,試說明EF=BE+DF. 師生共析:要證EF=BE+DF,如果能將DF移到EB延長線或?qū)E移到FD延長線上,然后就能證明兩線段長度相等。此時可依靠全等三角形來解決. 像這種在EB上補(bǔ)上DF或在FD上補(bǔ)上BE的方法叫做補(bǔ)短法. 解:將ΔADF旋轉(zhuǎn)到ΔA

38、BC,則ΔADF≌?ΔABG ∴AF=AG,∠ADF=∠ABG,DF=BG, ∵∠EAF= 45°且四邊形是正方形, ∴∠ADF+∠BAE=45°, ∴∠GAB+∠BAE=45°, 即∠GAE=45°, ∴ΔAEF≌ΔAEG(SAS),∴EF=EG=EB+BG=EB+DF. 討論:你能從一張彩色紙中剪出一個正方形嗎? 說出你的做法. 你怎么檢驗(yàn)它是一個正方形呢?小組討論一下. 三、范例點(diǎn)擊 例3:如圖,在□ABCD中,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,E是BD延長線上的點(diǎn),且ΔACE是等邊三角形. (1) 求證:四邊形ABCD是菱形; (2) 若∠AED = 2∠E

39、AD,求證:四邊形ABCD是正方形. 分析:⑴由已知可得BE垂直平分AC,進(jìn)而可得AB=BC,再用菱形定義可判定.(2)由菱形性質(zhì)可得∠DAC =∠BAC,由已知得∠AED=30°,∠EAO=60°,∠DAE= 15°,∠DAO=45°,從而得出∠BAD=90°,問題得解. 證明:(1) ∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴OA=OC. 又∵ΔACE是等邊三角形, ∴EO⊥AC,即 BD⊥AC, ∴AB=BC,∴平行四邊形ABCD是菱形. (2) ∵ΔACE為等邊三角形, ∴∠AEO= ∠OEC=30〇 , ∠EAC= 60〇. ∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°, ∴∠

40、DAO= 45°.又∵四邊形ABCD是菱形, ∴∠DAO=∠BAO=45°,∴∠DAB = 90°,∴菱形 ABCD為正方形. 四、 鞏固練習(xí) 教材P24隨堂練習(xí) 通過練習(xí)進(jìn)一步鞏固正方形的判定方法的應(yīng)用. 五、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握: 正方形常用的判定方法歸納為(學(xué)生討論歸納后, 由教師板書) (1) 對角線相等的菱形是正方形. (2) 對角線垂直的矩形是正方形. (3) 有一個角是直角的菱形是正方形. (4) 有一組鄰邊相等的矩形是正方形. 六、 布置作業(yè) 教材P25習(xí)題第1、3題. 第二章一元二次方程 2.1 認(rèn)識一元二次方程 第1課時 【

41、教學(xué)目標(biāo)】 了解一元二次方程的概念;一般式ax2+bx+c=O(a≠0)及其派生的概念;應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目. 1. 通過設(shè)置問題,建立數(shù)學(xué)模型,模仿一元一次方 程概念給一元二次方程下定義. 2.—元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念. 3.解決一些概念性的題目. 4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),并用數(shù)學(xué)解決生活中的問 題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題. 難點(diǎn):通過提出問題,建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模 型,再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入

42、學(xué)生活動:列方程. 問題1:古算趣題:“執(zhí)竿進(jìn)屋” 笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋,無奈門框攔住竹,橫多四尺豎多 二,沒法急得放聲哭。 有個鄰居聰明者,教他斜竿對兩角,笨人依言試一 試,不多不少剛抵足。 借問竿長多少數(shù),誰人算出我佩服。 如果假設(shè)門的高為x尺,那么,這個門的寬為 尺,長為 尺, 根據(jù)題意,得 . 整理、化簡,得: . 問題2:如圖,如果=,那么點(diǎn)C叫做線段 AB的黃金分割點(diǎn). 如果假設(shè)AB=1,AC=x,那么BC=,根據(jù)題意,得: . 整理得: . 問題3:有一面積為54 m2的長方形,將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m,恰好變成一個正方形,那么這個

43、正方形的邊長是多少? 如果假設(shè)剪后的正方形邊長為x,那么原來長方形長是,寬是,根據(jù)題意,得: . 整理,得: . 老師點(diǎn)評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模 型,并整理. 二、 探究新知 學(xué)生活動:請口答下面問題. (1) 上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)? (2)按照整式中的多項式的規(guī)定,它們最高次數(shù)是 幾次? (3)有等號嗎?還是與多項式一樣只有式子? 老師點(diǎn)評:(1)都只含一個未知數(shù)x;(2)它們的最 高次數(shù)都是2次的;(3)都有等號,是方程. 因此,像這樣的方程兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二

44、次方程. 一般地,任何一個關(guān)于x的一元二次方程,經(jīng)過整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=O(a≠0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式. 一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=O(a≠0)后,其中ax2是二次項,a是二次項系數(shù);bx是 一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項. 三、 范例點(diǎn)擊 例1:將方程3x(x—1)= 5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項. 分析:一元二次方程的一般形式是 ax2 +bx+c = O (a≠0).因此,方程3x(x—1)=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理,包括去括號、移項等. 解:一般形

45、式為3x2— 8x— 1O=O,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-8,常數(shù)項為-1O. 注意:二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、 常數(shù)項都包括前面的符號. 例2:(學(xué)生活動:請二至三位同學(xué)上臺演練)將方程(x+1)2 + (x — 2) (x+ 2) =1化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項、二次項系數(shù);一次項、 一次項系數(shù);常數(shù)項. 分析:通過完全平方公式和平方差公式把(x+1)2 + (x一2)(x+2)=1 化成ax2+bx+c=O(a≠0)的形式. 解:一般形式為x2+x- 2=0.二次項為x2,二次項系數(shù)為1;一次項為x,一次項系數(shù)為1;常數(shù)項為-2. 四、鞏固

46、練習(xí) 1. 教材P32隨堂練習(xí) 2. 補(bǔ)充練習(xí):判斷下列方程是否為一元二次方程? (1) 3x+2=5y一3; ⑵x2=4; (3) 3x2-5x =0; (4) x2- 4=( x+2)2; (5) ax2+bx+c=0; 五、 應(yīng)用拓展 例3 :求證:關(guān)于x的方程(m2 —8m+17)x2 +2mx+1=0,不論m取何值,該方程都是一元二次方程. 分析:要證明不論m取何值,該方程都是一元二 次方程,只要證明m2—8m+17≠0即可. 證明:m2—8m+17=(m一4)2+1 ∵(m—4)2≥0 ∴(m一4)2+1>0,即(m—4)2+ 1≠0 ∴不論m取

47、何值,該方程都是一元二次方程. 六、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握: 1. 一元二次方程的概念. 2. —元二次方程的一般形式ax2+bx + c=0 (a≠0)和二次項、二次項系數(shù),一次項、一次項系數(shù),常數(shù)項的概念及其運(yùn)用. 七、 布置作業(yè) 1. 教材P32?33習(xí)題 2. 補(bǔ)充:若x2 — 2xm-1+3=0是關(guān)于x的一元二 次方程,求m的值. 第2課時 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 了解一元二次方程根的概念,會判定一個數(shù)是 否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題. 2.提出問題,根據(jù)問題列出方程,化為一元二次方 程的一般形式,列式求解;由解給出根的概念;

48、識點(diǎn)解決一些具體問題 . 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):判定一個數(shù)是否是方程的根. 難點(diǎn):由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問題的根. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動:青同學(xué)獨(dú)立完成下列問題. 問題1:前面有關(guān)“執(zhí)竿進(jìn)屋”的問題中,我們列得 方程 x2—8x+20=0. 列表: : x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …. x2-8x+20 …. 問題2:前面有關(guān)長方形的面積的問題中,我們列得方程 x2+7x—44=0,即 x2+7x=44 . x

49、 1 2 3 4 5 6 … x2+ 7x … 老師點(diǎn)評(略) 二、探究新知 提問:(1)問題1中一元二次方程的解是多少?問題2中一元二次方程的解是多少? (2) 如果拋開實(shí)際問題,問題2中還有其它解嗎? 老師點(diǎn)評:(1)問題1中x=2與x=10是x2— 8x+20=0 的解,問題2中,x=4 是 x2 + 7x-44=0的解.(2)如果拋開實(shí)際問題,問題2中還有x=-11的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 回過頭來看:x2— 8x+20=0有兩個根,一個是2, 另一個是10,都滿足題意;但是,問題2中的x=-11

50、的根不滿足題意.因此,由實(shí)際問題列出方程并解得的根,并不一定是實(shí)際問題的根,還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問題的解. 三、 范例點(diǎn)擊 例1:下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12 =0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 分析:要判定一個數(shù)是否是方程的根,只要把其代 入等式,使等式兩邊相等即可. 解:將上面的這些數(shù)代入后,只有-2和-3滿足方程的等式,所以x=-2 或x=-3是一元二次方程 2x2 + 10x+12=0 的兩根. 例2:若x=1是關(guān)于x的一元二次方程ax2 +bX+c=0(a≠0)的一個根,求代數(shù)式 2007(a + b + c) 的值. 分析:如果

51、一個數(shù)是方程的根,那么把該數(shù)代入方 程,一定能使左右兩邊相等,這種解決問題的思維方法 經(jīng)常用到,同學(xué)們要深刻理解. 解:把x=1代入方程中得a+b+c=0,2007(a + b + c)=0. 例3 :你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎? (1) x2— 64 =0; (2) 3x2—6=0; (3) x2—3x=0. 分析:要求出方程的根,就是要求出滿足等式的數(shù),可用直接觀察結(jié)合平方根的意義. 解:(1)x1=8,x2 = —8; (2)x1=—,x2=; (3)x1=0,X2=3. 四、 鞏固練習(xí) 1.教材P34隨堂練習(xí) 2.關(guān)于x的一元二次方程(a一1) x2

52、+x + a20-1=0的一個根為0,則求a的值. 五、 應(yīng)用拓展 例3:要剪一塊面積為150 cm2的長方形鐵片,使它的長比寬多5 cm,這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪? 設(shè)長為xcm,則寬為(x —5)cm 列方程 x (x—5)=150,即 x2—5x一150=0 請根據(jù)所列的方程回答以下問題: (1) x可能小于5嗎?可能等于10嗎?說說你的 理由. (2) 完成下表: x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2—5x —150 (3)你知道鐵片的長x是多少嗎? 分析:x2— 5x— 150=0與上面兩

53、道例題明顯不同,不能用平方根的意義和整式中的分解因式的方法去求根,但是我們可以用一種新的方法——“夾逼”方法求出該方程的根. 解:(1)x不可能小于5.理由:如果x<5,則寬 (x—5)<0,不合題意. x不可能等于10.理由:如果x=10,則面積x2 — 5x—150=—100,也不可能. (2) x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2一5x—150 — 100 —84 —66 —46 —24 0 26 54 … (3)鐵片長x=15 cm 六、 課堂小結(jié)(學(xué)生歸納,老師點(diǎn)評) 本節(jié)課應(yīng)掌握: 1.一

54、元二次方程根的概念. 2.要會判斷一個數(shù)是否是一元二次方程的根. 3.要會用一些方法求一元二次方程的根(“夾逼” 方法;平方根的意義) 七、 布置作業(yè) 教材P34習(xí)題 2.2 2. 2 用配方法求解一元二次方程 第1課時 【教學(xué)目標(biāo)】 1.理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,并能應(yīng)用它解決一些具體問題. 2.提出問題,列出缺一次項的一元二次方程ax2 + c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個方程,然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):運(yùn)用開平方法解形如(x + m)2=n(n≥0)的方程;領(lǐng)會降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)

55、學(xué)思想. 難點(diǎn):通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x + m)2=n(n≥0)的方程. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動:請同學(xué)們完成下列各題 問題1:填空 (1)x2—8x + =(x — )2; (2)9x2 + 12x+ = (3x+ )2 ; (3)x2+Px + = (x + )2. 根據(jù)完全平方公式可得: (1)16 4; (2)4 2;(3)(p/2)2 p/2. 問題2:目前我們都學(xué)過哪些方程?二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元? 一元二次方程和一元一次方程有什么不同?二次如何轉(zhuǎn)化成一次?怎樣降次?以前學(xué)過哪些降次的方法? 二、

56、 探究新知 上面我們已經(jīng)講了 x2=9,根據(jù)平方根的意義,直接開平方得x=士3,如果x換元為2t+ 1,即(2t + 1)2=9,能否也用直接開平方的方法求解呢? (學(xué)生分組討論) 老師點(diǎn)評:回答是肯定的,把2t+1變?yōu)樯厦娴膞, 那么2t+1=士3, 即 2t+1=3,2t+1=—3, 方程的兩根為t1=1,t2=-2. 三、 范例點(diǎn)擊 例1:解方程: (1) ( 2x—1)2=5; (2) x2 + 6x+9=2; (3) x2-2x+4=-1. 分析:很清楚,x2+4x + 4是一個完全平方公式, 那么原方程就轉(zhuǎn)化為( x+2)2=1. 解:(1)由題意得:2x—

57、1=士, X=(1 士)/2 . x1=(1+)/2 ,x2= (1 -)/2 (2)由已知,得( x+3)2=2, 直接開平方,得x+3=士, 即x+3=,x+3=-. 所以,方程的兩根x1=—3+, x2=—3-. (3)方程可化為(x—1)2=—4, ∴?此方程無實(shí)數(shù)根. 例2:市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10 m2提高到14.4 m,求每年人均住房面積增長率. 分析:設(shè)每年人均住房面積增長率為x. —年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應(yīng)該是 10(1+x) + 10 (1 +x)x=10 (1 +x) 2

58、 解:設(shè)每年人均住房面積增長率為x, 則 10(1+x)2=14. 4, (1+x)2=1. 44, 直接開平方,得1+x=士 1.2, 即1+x=1.2,1+x=-1.2. 所以方程的兩根是x1=0.2=20%,x2=-2.2. 因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的,因此 x2=-應(yīng)舍去. 所以每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%. (學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問:解一元二次方程,它們 的共同特點(diǎn)是什么? 共同特點(diǎn)這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”. 四、鞏固練習(xí) 1. 教材P37隨堂練習(xí). 2. 補(bǔ)充題:如圖,在ΔABC中,∠B=90°,點(diǎn)P從 點(diǎn)B開始,沿AB邊向點(diǎn)B以1 cm

59、/s的速度移動,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始,沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動,如果AB=6cm,BC=12 cm, P、Q都從B點(diǎn)同時出 發(fā),幾秒后ΔPBQ的面積等于8 cm2? 老師點(diǎn)評: 設(shè)x秒后ΔPBQ的面積等于8 cm2 則PB=x,BQ=2x 依題意,得:12x? 2x=8x2=8 根據(jù)平方根的意義,得x=士2 即 x1=2,x2=-2. 可以驗(yàn)證,2和-2都是方程12x? 2x=8的 兩根,但是移動時間不能是負(fù)值. 所以2秒后ΔPBQ的面積等于8 cm2. 五、應(yīng)用拓展 例3:某公司一月份營業(yè)額為1萬元,第一季度總營業(yè)額為3. 31萬元,求該公司二、三月份營

60、業(yè)額平均增長率是多少? 分析:設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為 X,那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是(1+x),三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的,應(yīng)是(1+X)2. 解:設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為X. 那么 1 + (1+x) + (1+x)2=3. 31. 把(1+X)當(dāng)成一個數(shù),配方得: (1+x+12)2=2. 56,即(x+32)2=2. 56,x+32=士, 即x+32=1. 6,x+32=-1. 6, 方程的根為X1=10%,X2= —3.1. 因?yàn)樵鲩L率為正數(shù),所以該公司二、三月份營業(yè)額 平均增長率為10%. 六、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握:由

61、應(yīng)用直接開平方法解形如X2=p (P≥0),那么X=士轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如 (mx+n)2=p(P≥0),那么 mx + n=士P<0則方程無解. 七、 布置作業(yè) 教材P37?38習(xí)題2. 3 第2課時 di 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程,并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題. 2. 通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn):講清“直接降次有困難”,如x2+6x — 16=0 的一元二次方程的解題步驟. 難點(diǎn):

62、不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動)請同學(xué)們解下列方程 (1) 3x2—1=5 ; (2) 4(x—1)2 —9=0; (3) 4x2 + 16x+16=9; ⑷ 4X2 + 16x=-7. 老師點(diǎn)評:上面的方程都能化成x2=P或(mx + n)2=p(p>≥0)的形式,那么可得 x=士或 mx +n=士(p≥0). 如:4x2 + 16x+ 16= ( 2x+ 4 )2,你能把 4x2+ 16x=—7 化成 (2x+4)2=9 嗎? 二、探究新知 列出下面問題的方程并回答: 問題:要使一塊矩

63、形場地的長比寬多6m,并且面積為16 m2,場地的長和寬各是多少? (1) 列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題 的方程有什么不同呢? (2) 能否直接用上面三個方程的解法呢? 答:(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講 的三道題不 同之處是:前三個左邊是含有x的完全平方式而后兩個不具有. (2)不能. 既然不能直接降次解方程,那么,我們就應(yīng)該設(shè)法 把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程,下面,我們就來講如何轉(zhuǎn)化: x2+6x—16=0 移項→?x2+ 6x=16 兩邊加(6/2)2使左邊配成x2+2bx+b2的形式→x2 +6x+32=16 + 9 左邊寫成平方形式→(x+

64、3)2=25降次→x+3=士5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程→x1=2,x2=-8 可以驗(yàn)證:x1=2,x2=— 8都是方程的根,但場地 的寬不能是負(fù)值,所以場地的寬為2m,長為8m. 像上面的解題方法,通過配成完全平方形式來解 一元二次方程的方法,叫配方法. 可以看出,配方法是為了降次,把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解. 三、范例點(diǎn)擊 例1:用配方法解下列關(guān)于x的方程: (1)x2—8x+1=0; (2)x2-2x—12=0. 分析:設(shè)X秒后ΔPCQ的面積為RtΔABC面積的一半, 第3 顯然方程的左邊不是一個完全平方式,因此,要

65、按 前面的方法化為完全平方式. 解:(l)X1=4+,X2=4-; (2)x1 = l+(/2),x2 = l-(/2) 四、 鞏固練習(xí) 教材P39隨堂練習(xí) 五、 應(yīng)用拓展 例 2:如圖,在 RtΔACB中,∠C=90°,AC=8 m, CB=6m,點(diǎn)P、Q同時由A,B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動,它們的速度都是lm/s,幾秒后ΔPCQ的面積為RtΔACB面積的一半. 【教學(xué)目標(biāo)】 l.了解配方法的概念,掌握運(yùn)用配方法解一元二 次方程的步驟. 2. 通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法,給出配方法的 概念,然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重

66、點(diǎn):講清配方法的解題步驟. 難點(diǎn):把常數(shù)項移到方程右邊后,兩邊加上的常數(shù) 是一次項系數(shù)一半的平方. 【教學(xué)過程】 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動)解下列方程: (l) x2—4x+7=0 ; (2)2x2—8x+1=0. 老師點(diǎn)評:我們上一節(jié)課,已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊 不含有x的完全平方形式,不可以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題,那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題. 解:略.(2)與(1)有何關(guān)聯(lián)? 二、探究新知 討論:配方法解一元二次方程的一般步驟: (1) 現(xiàn)將已知方程化為一般形式;(2)化二次項系 ΔPCQ. 解:設(shè)x秒后ΔPCQ的面積為RtΔACB面積的一半 根據(jù)題意,得:12(8—x) (6—x)=12X12X8X6. 整理,得:x2 — 14x+24=0. (x—7)2=25即 x1=12,x2=2. x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合題意,舍去. 所以2秒后ΔPCQ的面積為RtΔACB面積的一半. 六、 課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握:左邊不含有x的完全平方形式的 一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式,右邊是非負(fù)數(shù),可

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