人教版八下數(shù)學(xué) 期末高效復(fù)習(xí) 專題3 平行四邊形

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 期末高效復(fù)習(xí) 專題3 平行四邊形 1. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，∠C 和 ∠D 的平分線交于 M，DM 的延長(zhǎng)線交 BC 于 E，試猜想： (1) CM 與 DE 的位置關(guān)系？ (2) M 在 DE 的什么位置上？并證明你的猜想． 2. 在平行四邊形 ABCD 中，BC=2AB，E 為 BC 中點(diǎn)，則 ∠AED= °． 3. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AB=10，AD=6，AC⊥BC，則 BD= ． 4. 如圖的平行四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC，BD 交于點(diǎn) O，EF 過(guò)點(diǎn) O，并與

2、AD，BC 分別交于點(diǎn) E，F(xiàn)，已知 AE=3，BF=5． (1) 求 BC 的長(zhǎng)； (2) 如果兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和是 20，求 △AOD 的周長(zhǎng)． 5. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 BC 邊的中點(diǎn)，連接 AE 并延長(zhǎng)與 DC 的延長(zhǎng)線交于 F． (1) 求證：CF=CD． (2) 若 AF 平分 ∠BAD，連接 DE，試判斷 DE 與 AF 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 6. 如圖，已知 BD 垂直平分 AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC． (1) 證明：四邊形 ABDF 是平行四邊形； (2) 若 AF=DF=5，AD=6，求

3、AC 的長(zhǎng)． 7. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) O 是邊 BC 的中點(diǎn)，連接 AO 并延長(zhǎng)，交 DC 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，連接 AC，BE． (1) 求證：四邊形 ABEC 是平行四邊形； (2) 當(dāng) ∠D=50°，∠AOC=100° 時(shí)，判斷四邊形 ABEC 的形狀，并說(shuō)明理由． 8. 如圖，點(diǎn) A，F(xiàn)，C，D 在同一直線上，點(diǎn) B 和點(diǎn) E 分別在直線 AD 的兩側(cè)，且 AB=DE，∠A=∠D，AF=DC． (1) 請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)全等的三角形； (2) 求證：四邊形 BCEF 是平行四邊形． 9. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AB=6?

4、cm，AD=10?cm，點(diǎn) P 在 AD 邊上以每秒 1?cm 的速度從點(diǎn) A 向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 在 BC 邊上以每秒 4?cm 的速度從點(diǎn) C 出發(fā)，在 CB 間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) D 時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q 也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t?s，當(dāng) t 為何值時(shí)，以 P，D，Q，B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？ 10. 如圖，在 △ABC 中，點(diǎn) D 是邊 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在 △ABC 內(nèi)，AE 平分 ∠BAC，CE⊥AE，點(diǎn) F 在邊 AB 上，EF∥BC． (1) 求證：四邊形 BDEF 是平行四邊形； (2) 線段 BF，AB，A

5、C 的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論． 11. 如圖，在 △ABC 中，點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別是邊 AB，BC，CA 的中點(diǎn)，AH 是邊 BC 上的高． (1) 求證：四邊形 ADEF 是平行四邊形； (2) 若 ∠AHF=20°，∠AHD=50°，求 ∠DEF 的度數(shù)． 12. 請(qǐng)回答下列問(wèn)題： (1) 如圖①，在四邊形 ABCD 中，AB=CD，E，F(xiàn) 分別是 AD，BC 的中點(diǎn)，連接 FE 并延長(zhǎng)，分別與 BA，CD 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M，N．求證：∠BME=∠CNE； (2) 如圖②，在 △ABC，F(xiàn) 是 BC 邊的中點(diǎn)，D 是 AC 邊上一

6、點(diǎn)，E 是 AD 的中點(diǎn)，直線 FE 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，若 AB=DC=2，∠FEC=45°，求 FE 的長(zhǎng)度， 13. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，已知 AC=4?cm，若 △ACD 的周長(zhǎng)為 13?cm，則平行四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)為 ?? A． 26?cm B． 24?cm C． 20?cm D． 18?cm 14. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分線交 BC 于點(diǎn) E，交 DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，BG⊥AE 于 G，BG=42，則梯形 AECD 的周長(zhǎng)為 ?? A． 22 B． 23

7、 C． 24 D． 25 15. 如圖，點(diǎn) P 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接 PA，PB，PC，PD，得到 △PAB，△PBC，△PCD，△PDA，設(shè)它們的面積分別是 S1，S2，S3，S4，給出如下結(jié)論：① S1+S3=S2+S4；②如果 S4>S2，則 S3>S1；③若 S3=2S1，則 S4=2S2；④若 S1-S2=S3-S4，則 P 點(diǎn)一定在對(duì)角線 BD 上．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ?? A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) 16. 已知，如圖，在平行四邊形 ABCD 中，延長(zhǎng) DA 到點(diǎn) E，延長(zhǎng) BC 到點(diǎn) F，使得 AE=

8、CF，連接 EF，分別交 AB，CD 于點(diǎn) M，N，連接 DM，BN． (1) 求證：△AEM≌△CFN； (2) 求證：四邊形 BMDN 是平行四邊形． 17. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，E 是 AD 的中點(diǎn)，連接 CE 并延長(zhǎng)，與 BA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F．請(qǐng)你找出圖中與 AF 相等的一條線段，并加以證明．（不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母） 結(jié)論：AF= ． 18. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，∠ABC 的平分線交 AD 于點(diǎn) E，延長(zhǎng) BE 交 CD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F． (1) 若 ∠F=20°，求 ∠A 的度數(shù)； (

9、2) 若 AB=5，BC=8，CE⊥AD，求平行四邊形 ABCD 的面積． 19. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AE⊥BD 于點(diǎn) E，CF⊥BD 于點(diǎn) F，連接 AF，CE． (1) 求證：四邊形 AECF 是平行四邊形； (2) 若 AB=6，AD=221，∠ABD=30°，求四邊形 AECF 的面積． 20. BD，CE 分別是 △ABC 的外角平分線，過(guò) A 作 AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是 F，G，易證 FG=12AB+BC+AC． (1) 若 BD，CE 分別是 △ABC 的內(nèi)角平分線，F(xiàn)G 與 △ABC 三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫(huà)出圖形并說(shuō)

10、明理由； (2) 若 BD，CE 分別是 △ABC 的內(nèi)角和外角平分線，F(xiàn)G 與 △ABC 三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由． 21. 定義：等腰三角形 ABC，如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的兩倍，則稱三角形 ABC 是等腰倍邊三角形． (1) 如圖①，等腰倍邊三角形 ABC，AB=AC，BC=2，則 AB= ； (2) 如圖②，平行四邊形 ABCD 中，AB=8，對(duì)角線交于點(diǎn) O，若分成的四個(gè)以 O 為頂點(diǎn)的三角形中存在等腰倍邊三角形，求 AC+BD 的值． 答案 1. 【答案】 (1) CM⊥DE，理由： ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BC

11、D=180°， ∵DE，CM 分別平分 ∠ADC，∠BCD， ∴∠MDC=12∠ADC，∠DCM=12∠DCB， ∴∠MDC+∠MCD=90°， ∴CM⊥DE． (2) M 在 DE 的中點(diǎn)處． 證明： ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CEM， ∵∠ADE=∠CDE， ∴∠CDE=∠CED， ∴CD=CE， ∵CM⊥DE， ∴EM=MD． 2. 【答案】 90 3. 【答案】 413 4. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AD∥BC，AO=CO， ∴∠EAO=∠FCO， 在

12、△AOE 和 △COF 中， ∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF=3， ∴BC=BF+CF=5+3=8． (2) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AO=CO，BO=DO，AD=BC=8， ∵AC+BD=20， ∴AO+DO=10， ∴△AOD 的周長(zhǎng) =AO+DO+AD=18． 5. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∵ 點(diǎn) F 為 DC 的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)， ∴AB∥DF， ∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA， ∵

13、E 為 BC 中點(diǎn)， ∴BE=CE， 則在 △BAE 和 △CFE 中， ∠BAE=∠CFE,∠EBA=∠ECF,BE=CE, ∴△BAE≌△CFEAAS， ∴AB=CF， ∴CF=CD． (2) DE⊥AF． 理由： ∵AF 平分 ∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵∠BAF=∠F， ∵∠DAF=∠F， ∴DA=DF， 又由（1）知 △BAE≌△CFE， ∴AE=EF， ∴DE⊥AF． 6. 【答案】 (1) ∵BD 垂直平分 AC， ∴AB=BC，AD=DC， ∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，

14、 ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， ∴∠BAD=∠BCD． ∵∠BCD=∠ADF， ∴∠BAD=∠ADF， ∴AB∥FD， ∵BD⊥AC，AF⊥AC， ∴AF∥BD， ∴ 四邊形 ABDF 是平行四邊形． (2) ∵ 四邊形 ABDF 是平行四邊形，AF=DF=5， ∴ 四邊形 ABDF 為菱形， ∴AB=BD=5． 設(shè) BE=x，則 DE=5-x，由題設(shè)得 AC⊥BD， ∴AB2-BE2=AD2-DE2，即 52-x2=62-5-x2，解得 x=75， ∴AE=AB2-BE2=245， ∴AC=2AE=485． 7.

15、 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO=∠CEO，∠ABO=∠ECO， ∵ 點(diǎn) O 是邊 BC 的中點(diǎn)， ∴BO=CO， ∴△ABO≌△ECOAAS， ∴AO=EO， ∴ 四邊形 ABEC 是平行四邊形． (2) 四邊形 ABEC 是矩形， 理由： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴∠ABC=∠D=50°， ∵∠AOC=∠ABC+∠BAO=100°， ∴∠ABC=∠BAO=50°， ∴AO=BO， ∴AE=BC， ∴ 平行四邊形 ABEC 是矩形． 8. 【答案】

16、(1) △ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF． (2) ∵ △ABF≌△DEC， ∴ BF=EC， 又 ∵ △ABC≌△DEF， ∴ BC=EF， ∴ 四邊形 BCEF 是平行四邊形． 9. 【答案】 ∵ 四邊形 ABCD 為平行四邊形， ∴PD∥BQ． 若要以 P，D，Q，B 四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，則 PD=BQ． 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t． 當(dāng) 0≤t≤52 時(shí)，AP=t，PD=10-t，CQ=4t，BQ=10-4t， ∴10-t=10-4t， 3t=0， t=0； 當(dāng) 52

17、0， ∴10-t=4t-10． 解得：t=4； 當(dāng) 5

18、∠GAE=∠CAE，AE=AE，∠AEG=∠AEC， ∴△AGE≌△ACEASA． ∴GE=EC． ∵BD=CD， ∴DE 為 △CGB 的中位線， ∴DE∥AB． ∵EF∥BC， ∴ 四邊形 BDEF 是平行四邊形． (2) BF=12AB-AC． 理由如下： ∵ 四邊形 BDEF 是平行四邊形， ∴BF=DE． ∵D 、 E 分別是 BC 、 GC 的中點(diǎn)， ∴BF=DE=12BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG=AC， ∴BF=12AB-AG=12AB-AC． 11. 【答案】 (1) ∵ 點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分

19、別是 AB，BC，CA 的中點(diǎn)， ∴DE，EF 都是 △ABC 的中位線， ∴EF∥AB，DE∥AC， ∴ 四邊形 ADEF 是平行四邊形． (2) ∵ 四邊形 ADEF 是平行四邊形， ∴∠DEF=∠BAC， ∵D，F(xiàn) 分別是 AB，CA 的中點(diǎn)，AH 是邊 BC 上的高， ∴DH=AD，F(xiàn)H=AF， ∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA， ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF， ∴∠DHF=∠BAC， ∴∠DHF=∠DEF． ∵∠AHF=20°，∠AHD=50°， ∴∠DEF=∠DHF=∠AHF+∠AHD

20、=20°+50°=70°． 12. 【答案】 (1) 答圖略，連接 BD，取 BD 的中點(diǎn) H，連接 EH，F(xiàn)H， ∵E，H 分別是 AD，BD 的中點(diǎn)， ∴EH∥AB，EH=12AB， ∴∠BME=∠HEF， ∵F，H 分別是 BC，BD 的中點(diǎn)， ∴FH∥CD，F(xiàn)H=12CD， ∴∠CNE=∠HFE， ∵AB=CD， ∴HE=FH， ∴∠HEF=∠HFE， ∴∠BME=∠CNE． (2) 答圖略，連接 BD，取 BD 的中點(diǎn) H，連接 EH，F(xiàn)H， ∵E，F(xiàn) 分別是 AD，BC 的中點(diǎn)， ∴EH=12AB，F(xiàn)H=12CD，

21、FH∥AC， ∴∠HFE=∠FEC=45°， ∵AB=CD=2， ∴HF=HE=1， ∴∠HEF=∠HFE=45°， ∴∠EHF=180°-∠HFE-∠HEF=90°， ∴EF=HE2+HF2=12+12=2． 13. 【答案】D 【解析】因?yàn)?AC=4?cm，若 △ADC 的周長(zhǎng)為 13?cm， 所以 AD+DC=13-4=9（cm）． 又因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形， 所以 AB=CD，AD=BC， 所以平行四邊形的周長(zhǎng)為 2AB+BC=18?cm． 14. 【答案】A 【解析】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴BC=A

22、D=9，CD=AB=6，AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE 平分 ∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴BE=AB=6， ∴EC=BC-BE=3， ∵BG⊥AE， ∴AG=EG=AB2-BG2=62-422=2， ∴AE=AG+EG=4， ∴ 梯形 AECD 的周長(zhǎng)為：AD+CD+CE+AE=9+6+3+4=22． 15. 【答案】B 16. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴∠DAB=∠BCD， ∴∠EAM=∠FCN． ∵AD∥BC， ∴∠E=∠F． ∵A

23、E=CF， ∴△AEM≌△CFN． (2) 由（1）得 AM=CN， ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AB∥CD 且 AB=CD， ∴BM∥DN 且 BM=DN， ∴ 四邊形 BMDN 是平行四邊形． 17. 【答案】 AB 或 CD； 與 AF 相等的有 AB 或 CD． ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠FAE=∠D， ∵E 是 AD 的中點(diǎn)， ∴AE=DE， 在 △AEF 和 △DEC 中，∠FAE=∠D,AE=DE,∠AEF=∠DEC, ∴△AEF≌△DECASA， ∴AF=C

24、D， ∴AF=CD=AB． 18. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB=∠CBF，∠ABE=∠F=20°， ∵∠ABC 的平分線交 AD 于點(diǎn) E， ∴∠ABE=∠CBF， ∴∠AEB=∠ABE=20°， ∴AE=AB，∠A=180°-20°-20°÷2=140°． (2) ∵AE=AB=5，AD=BC=8， ∴DE=AD-AE=3， ∵CE⊥AD，CD=AB=5， ∴CE=CD2-DE2=52-32=4， ∴ 平行四邊形 ABCD 的面積為 AD?CE=8×4=32．

25、 19. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°， 在 △AEB 和 △CFD 中， ∠ABE=∠CDF,∠AEB=∠CFD,AB=CD, ∴△AEB≌△CFDAAS， ∴AE=CF， ∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形． (2) 在 Rt△ABE 中， ∵AB=6，∠ABE=30°， ∴AE=12AB=3，BE=3AE=33， 在 Rt△ADE 中，DE=AD2-AE2=53， ∵△AEB≌

26、△CFD， ∴BE=DF=33， ∴EF=23， ∴S平行四邊形AECF=2?S△AEF=2×12×3×23=63． 20. 【答案】 (1) 答圖略，延長(zhǎng) AF，AG，與直線 B 相交于 M，N， ∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF， ∴∠BAF=∠BMF， ∴MB=AB， ∴AF=MF， 同理：CN=AC，AG=NG， ∴FG=12MN=12BM+CN-BC=12AB+AC-BC， ∴ 線段 FG 與 △ABC 三邊的數(shù)量關(guān)系是 FG=12AB+AC-BC； (2) 答圖略，延長(zhǎng) AF，AG，與直線 BC 相交于 M，N， 同樣由（1）

27、中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG， ∴FG=12MN=12CN+BC-BM=12AC+BC-AB， ∴ 線段 FG 與 △ABC 三邊的數(shù)量關(guān)系是 FG=12AC+BC-AB． 21. 【答案】 (1) 4 (2) ①當(dāng) △AOB（或 △COD）為等腰倍邊三角形時(shí)， 若 AB 為底，則 AO=BO=16，AC+BD=64； 若 AB 為腰，則 AO 與 BO 其中一條是 8，另一條是 4，AC+BD=24； ②當(dāng) △AOD 或 △COB）為等腰倍邊三角形時(shí)， 若 AD 為底，則 AO=DO，四邊形 ABCD 為矩形， 答圖略，作 OE

28、⊥AB 于點(diǎn) E，則 OE=12AD， 設(shè) AD=a，則 OD=OA=2a，OE=12a，BE=AE=12AB=4， 根據(jù)勾股定理，得 42+a22=2a2，解得 a=81515． ∴AC+BD=8a=641515； 若 AD 為腰，答圖略，設(shè) AO=2DO=2a，則 BD=2a， ∴AD=BD=AO=OC=BC=2a， 作 DE⊥AB，CF⊥AB 于點(diǎn) E，F(xiàn)， ∴AE=BE=4，△ADE≌△BCFHL， ∴AE=BF=4， 根據(jù)勾股定理，得 AC2-AF2=BC2-BF2=CF2， ∴4a2-122=2a2-42，解得 a=463， ∴AC+BD=6a=86． 綜上，AC+BD 的值為 64 或 24 或 641515 或 86．