江蘇省蘇州市2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題《開放性問題》

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1、 江蘇省蘇州市2017年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題《開放性問題》 2017年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題《開放性問題》 題型概述 【題型特征】一個數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)中，通常包括已知條件、解題依據(jù)、方法和結(jié)論。如果這些部分齊備，稱之為封閉性問題.若不完全齊備，稱之為開放性問題，數(shù)學(xué)開放題就是指那些條件不完整，結(jié)論不確定，解法不限制的數(shù)學(xué)問題，它的顯著特點(diǎn)是正確答案不唯一. 常見的開放性問題有:(1)條件開放型;(2)結(jié)論開放型;(3)策略開放型;(4)綜合開放型. 【解題策略】(1)條件開放型，指結(jié)論給定，條件未知或不全，需要探求結(jié)論成立的條件，且與結(jié)論成立相對應(yīng)的條件不

2、唯一的數(shù)學(xué)問題.這類開放題在中考試卷中多以填空題形式出現(xiàn). 解條件開放型問題的一般思路是:由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，挖掘條件，逆向追索，逐步探求，最終得出符合結(jié)論的條件.這是一種分析型思維方式. (2)結(jié)論開放型，指條件充分給定，結(jié)論未知或不全，需要探求，整合出符合給定條件下相應(yīng)結(jié)論的一類試題.這類開放題在中考試卷中，以解答題居多. 解結(jié)論開放型問題的一般思路是:充分利用已知條件或圖形特征，進(jìn)行猜想、歸納、類比，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論，然后經(jīng)過論證作出取舍.這是一種歸納類比型思維方式. (3)策略開放型，是指題

3、目的條件和結(jié)論都已知或部分已知，需要探求解題方法或設(shè)計(jì)解題方案的一類試題.這類開放題在中考試卷中，一般出現(xiàn)在閱讀題、作圖題和應(yīng)用題中. 解策略開放型問題的處理方法一般需要模仿、類比、實(shí)驗(yàn)、創(chuàng)新和綜合運(yùn)用所學(xué)知識，建立合理的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決.這是一種綜合性思維. (4)綜合開放型，是指條件、結(jié)論、解題方法中至少有兩項(xiàng)同時(shí)呈現(xiàn)開放形式的數(shù)學(xué)問題.這類問題往往僅提供一種問題情境，需要我們補(bǔ)充條件，設(shè)計(jì)結(jié)論，并尋求解法的一類問題. 解綜合開放型問題要求我們對所學(xué)知識特別熟悉并能靈活運(yùn)用. 考點(diǎn)解析 類型一 條件開放型 典例1 (2016·黑龍

4、江)如圖，在平行四邊形中，延長到點(diǎn)，使，連接請你添加一個條件 ，使四邊形是矩形. 【解析】這是一道條件開放型的問題，采用分類討論法解答.解這種開放問題的一般思路是:由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探求. 【全解】添加.理由如下: 四邊形是平行四邊形， ，且. . 又， . 四邊形為平行四邊形. 又, 四邊形是矩形. 故答案是. 1.(2015·廣東梅州)已知，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若以 為頂點(diǎn)的三角形與相似，則需要增加的一個條件是

5、 .(寫出一個即可) 【考情小結(jié)】解答條件開放題掌握概念、性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵. 類型二 結(jié)論開放型 典例2 (2015·浙江杭州)設(shè)函數(shù) (是常數(shù)). (1)當(dāng)取1和2時(shí)的函數(shù)和的圖象如圖所示，請你在同一直角坐標(biāo)系中畫出當(dāng)取0時(shí)函數(shù)的圖象; (2)根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的一條結(jié)論; (3)將函數(shù)的圖象向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的最小值. 【全解】(1)作圖如圖: (2)函數(shù)(是常數(shù))的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,0)和(－1,4). (3)， 將函數(shù)的圖象向左平移4個單位，

6、再向下平移2個單位，得到函數(shù)為. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為－2. 2.(2016·北京)右圖中四邊形均為矩形，根據(jù)圖形，寫出一個正確的等式: . 3.(2016·湖北荊州)請用割補(bǔ)法作圖，將一個銳角三角形經(jīng)過一次或兩次分割后，重新拼成一個與原三角形面積相等的平行四邊形(只要求用一種方法畫出圖形，把相等的線段作相同的標(biāo)記). 【考情小結(jié)】論開放題與常規(guī)題的相同點(diǎn)是:它們都給出了已知條件(題設(shè))，要求尋求結(jié)論;區(qū)別是前者的條件一般較弱，結(jié)論通常在兩個以上，解答時(shí)需要發(fā)散思維和分類討論等思想方法的參與，而后者答案一般只有一個，解題目標(biāo)大多比較明確.

7、 類型三 策略開放型 典例3 (2015·黑龍江哈爾濱)圖(1)，圖(2)是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn). (1)在圖(1)中畫出等腰直角三角形，使點(diǎn)在格點(diǎn)上，且; (2)在圖(2)中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出一個正方形，使正方形面積等于(1)中等腰直角三角形面積的4倍，并將正方形分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個全等的直角三角和一個正方形，且正方形面積沒有剩余(畫出一種即可). 【解析】(1)如圖(1)所示: (2)如圖(2)所示: 4.(2015·山東棗莊)如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每

8、個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，左上角陰影部分是一個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形(簡稱格點(diǎn)正方形).若再作一個格點(diǎn)正方形，并涂上陰影，使這兩個格點(diǎn)正方形無重疊面積，且組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個格點(diǎn)正方形的作法共有( ). A. 2種 B. 3種 C. 4種 D. 5種 【考情小結(jié)】解策略型開放題時(shí)，要對已有條件進(jìn)行發(fā)散聯(lián)想，努力提出滿足條件和要求的各種方案和設(shè)想，并認(rèn)真加以研究和驗(yàn)證，直至完全符合要求為止.解決這類問題時(shí)往往需要利用分類討論思想，作多方面設(shè)計(jì)與思考. 類型四 綜合開放型

9、典例4 (2016·黑龍江)已知，點(diǎn)是平行四邊形對角線所在直線上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)，分別過點(diǎn)向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn). (1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)如圖(1)，易證.(不需證明) (2)直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖(2)、圖(3)的位置，猜想線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你對圖(2)、圖(3)的猜想，并選擇一種情況給予證明. 【解析】(1)由即可得出結(jié)論. (2)圖(2)中的結(jié)論為: ，延長交于點(diǎn)，只要證明是等邊三角形，即可解決問題. 圖(3)中的結(jié)論為:,延長交的延長線于點(diǎn)，證明方法類似. 【全解】(1)

10、, . 在和中，， . . (2)圖(2)中的結(jié)論為:. 圖(3)中的結(jié)論為:. 選圖(2)中的結(jié)論證明如下: 延長交于點(diǎn)，如圖(4)所示. , . . 在和中，， . . 在Rt中， , . , . 是等邊三角形. . , . , . 5.(2014·湘南湘潭)為等邊三角形，邊長為. (1)求證: ∽; (2)若，設(shè)，四邊形面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)為何值時(shí)取最大值; (3)已知四點(diǎn)共圓，已知，求此圓直徑. 【考情小結(jié)】考試時(shí)，對于綜合開放題，若沒有其他要求，可選用簡單情型的進(jìn)行解答. 參考答案 1.或. 2.(答案不唯一) 3.答案不唯一， 如圖所示. 4. C 5. (1) , . 為等邊三角形， . ∽. (2)當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為. 與之間的函數(shù)關(guān)系為 (其中). 當(dāng)m=2時(shí)，S取到最大值，最大值為. (3)此圓直徑為. 13