奧賽輔導 相對論基礎

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1、 相對論基礎 一、知識點擊 1．力學相對性原理和伽利略變換 如圖12一1，S系靜止，系相對S系平動，對應 軸互相平行，時，兩坐標系原點重合，t時 刻在兩參考系中觀察同一事物。我們有 若系相對S系做勻速直線運動，系也是慣性參考系， ，則有 又在兩系中有 因為 力學現(xiàn)象對一切慣性系來說，都要遵從同樣的規(guī)律．這是力學相對性原理，研究力學規(guī)律時，一切慣性系都是等價的，我們不能在一慣性系中做力學實驗來判定這個慣性系是靜止還是做勻速直線運動． 若S'系僅沿著S系x軸作勻速直線運動，其速度為u，則我們有

2、 或 這就是伽利略變換．它描繪了同一事物在兩個不同參考系觀察時的時空關(guān)系．實際物體的低速運動都滿足伽利略變換． 2．愛因斯坦假設 洛倫茲變換 ⑴愛因斯坦假設：力學現(xiàn)象滿足伽利略變換，但電磁現(xiàn)象、特別是光現(xiàn)象呢？當時人們把機械波必須在媒質(zhì)中才能傳播的思想引進光現(xiàn)象中，認為光只在以太中才能傳播，光相對以太速度為，并且沿各個方向相同。伽利略變換已經(jīng)不能解釋，為此愛因斯坦提出了兩條基本原理： 相對性原理：物理學定律在所有慣性系中都是相同的。 光速不變原理：

3、在所有慣性系中，自由空間中的光速具有相同的量值C。 以這兩個原理為依據(jù)，可得到的坐標變換關(guān)系——洛倫茲變換 或 式中 相應的速度變換關(guān)系為 或 3．長度收縮 時間膨脹 一剛性直尺沿軸放置并隨系運動，系中測得尺長，S系觀察者觀察到尺在運動，必須同時記下尺的兩端的坐標 和，測得，利用洛倫茲變換可得，相對物體為靜止的慣

4、性系中測得物體長度是最長的，稱為物體的固有長度。運動的物體在運動的方向上收縮。 現(xiàn)分別在S 和系中觀察兩個事件的時間間隔 和 的關(guān)系。 在系中，兩事件發(fā)生在同一地點，其時間間隔 ，S系觀察兩事件發(fā)生在不同地點，時間間隔，由洛倫茲變換可得 。同一地點發(fā)生兩事件的時間間隔最小，稱為固有時間，即運動的鐘變慢了，從其他電像有相對運動的慣性系測量的兩事件時間間隔都延長了． 4．相對論力學 相對論中，動量形式上仍可寫為，但質(zhì)量已不是一個恒量，而是隨物體運動速度不同而發(fā)生變化。，為物體靜止時的質(zhì)量，于是：。這樣得到的動量守恒定律是滿足洛倫茲變換的．很明顯，當時，它回原為經(jīng)典力學中的形式． 相對

5、論中運動物體的總能量表示為，物體靜止時的能量稱為物體的靜能。那么物體的動能就為總能與靜能之差：。當物體質(zhì)量發(fā)生變化時，物體能量也要發(fā)生變化，那就有。 相對論中動量和能量之間的一個重要關(guān)系式，對應相對論中的質(zhì)量和動量，相對論動力學的基本方程可寫成，應注意的是，這時m也是的函數(shù)． 二、方法演練 類型一、利用愛因斯坦原理推導洛倫茲變換的問題。 例1．試推導洛倫茲坐標變換。 分析和解：如圖12—2，對參考系S和 S'， 在t=t'=0時，O'和O重合。 考慮到同一事 件在S和S'系中觀察，其結(jié)果必須一一對應， 這就要求變換關(guān)系呈線性。否則，在一慣性系 中某時空出現(xiàn)的一事

6、件，在另一慣性系中，這 一事件將在幾個不同時空出現(xiàn)，違反S、S'系 的等價性及時空的均勻性。設想（x，t)與（x'，t' ）之間的變換形式為 ① k是與x'，t'無關(guān)而與有關(guān)的恒量，其值應根據(jù)愛因斯坦的狹義相對論的兩個基本原則來確定。 根據(jù)狹義相對論的相對性原理，慣性系S'和S的物理方程應有同樣的形式，所以，逆變換應為 ② 括號中前面的負號只表示S系相對S'系的速度沿x軸的負方向。 設想S和S'系坐標原點重合時，從原點發(fā)出一個沿x軸方向傳播的光脈沖，按光速不變原理，對S和S'系的觀察者來說，光速都是c，光脈沖波前所在點的空間坐標，對

7、S系為， 對S'系為 將上述兩式分別代人式①和式②得 上列兩式相乘得 由此得 由此①、②兩式即可寫成； 從這兩個式子中消去x'或x，便可得到時間的變換式。若消去x'得 由此求得t'為 同樣，消去x后求得t為 類型二、不同參考系中的相對論時空計算的問題。 例2．在h0=6000m高層大氣中產(chǎn)生一μ子，μ子以0. 998c的速率向地面飛來，靜止的μ子的平均壽命為，問在μ子衰變以前，能否到達地球表面？ 分析和解：地面上的觀測者按經(jīng)典理論計算，μ子走過的距離為 ，因此，按μ子的平均壽命，它似乎不可能到達地面。實際上μ子的速率與光速c可以比擬，必須考慮相對論

8、效應。μ子相對地面運動，在地面上的觀測者看來，它的平均壽命為 地面上的觀測者所計算的μ子可飛行的距離為 。因此，按μ子平均壽命，它能夠到達地面。 類型三、在不同參考系中的相對論時空計算的洛倫茲變換問題。 例3．在地面上有一跑道長100 m，運動員從起點跑到終點，用時10 s，現(xiàn)從以速度0. 8c向前飛行的飛船中觀測： （1）跑道有多長？ （2）運動員跑過的距離和所用的時間為多少？ 分析和解：以地面參考系為S系，飛船參考系為S'系。 （1）跑道固定在S系中，原長。由于S'系相對S系高速運動，因而在S'系中觀測，跑道長度為 （2）， 將，和代入以上兩式，

9、計算得 計算結(jié)果中的負號表示在S'系中觀測，運動員是沿x'負方向后退。 例4．封閉的車廂中有一點光源S，在距光源處有一半徑為r的圓孔，其圓心為O1，光源一直在發(fā)光，并通過圓孔射出。車廂以高速沿固定在水平地面上的x軸正方向勻速運動，如圖12一3所示。某一時刻，點光源S恰位于x軸的原點O的正上方，取此時刻作為車廂參考系與地面參考系的時間零點。在地面參考系中坐標為xA處放一半徑為R(R＞r)的不透光的圓形擋板，板面與圓孔所在的平面都與x軸垂直。板的圓心O2、S、O1都等高，起始時刻經(jīng)圓孔射出的光束會有部分從檔板周圍射到擋板后面的大屏幕（圖中未畫出）上。由于車廂在運動，將會出現(xiàn)擋板將光束完

10、全遮住，即沒有光射到屏上的情況。不考慮光的衍射，試求： （1）車廂參考系中（所測出的）剛出現(xiàn)這種情況的時刻。 （2）地面參考系中（所測出的）剛出現(xiàn)這種情況的時刻。 分析和解：（1）相對于車廂參考系，地面連同擋板以速度趨向光源S運動。由S發(fā)出的光經(jīng)小孔射出后成錐形光束，隨著離開光源距離的增大，其橫截面積逐漸擴大。若距S的距離為L處光束的橫截面正好是半徑為R的圓面，如圖12一4所示。 則有 可得 ① 設想車廂足夠長，并設想在車廂前端距S為L處 放置一個半徑為R的環(huán)，相對車廂靜止，則光束 恰好從環(huán)內(nèi)射出，當擋板運動到與此環(huán)相

11、遇時， 擋板就會將光束完全遮住。此時，在車廂參考系 中擋板離光源S的距離就是L。在車廂參考系中，初始時根據(jù)相對論，擋板離光源的距離為 ② 故出現(xiàn)擋板完全遮住光束的時刻為 ③ 由①、③式得 （2）相對于地面參考系，光源與車廂以速度向擋板運動。光源與孔之間的距離縮短為 而孔半徑r不變，所以錐形光束的頂角變大，環(huán)到S的距離即擋板完全遮光時距離應為 初始時，擋板離S的距離為xA，出現(xiàn)擋板完全遮住光束的時刻為 類型四、用反證法論證相對論中的能量計算的問題。 例5．試從相對論能量和動量的角度分析論證： （1）一個光子與真空中處

12、于靜止狀態(tài)的自由電子碰撞時，光子的能量不可能完全被電子吸收。 （2）光子射到金屬表面時，其能量有可能完全被吸收并使電子逸出金屬表面，產(chǎn)生光電效應。 分析和解：（1）設電子處于靜止狀態(tài)時的質(zhì)量為m0，光子的頻率為，假定電子能完全吸收光子的能量，吸收光子后，電子以速度運動，則這一過程應遵循動量守恒定律，有 ① 碰撞后系統(tǒng)的總能量為 ② 由①、②式消去，得 ③ 碰撞前電子與光子的總能量為 ④ 由③、④式有 ⑤ 這表明，所假設的過程不符合能量守恒定律，因此這一過程實際上不可能發(fā)生。

13、 （2）束縛在金屬中的電子和射入金屬的光子二者構(gòu)成的系統(tǒng)在發(fā)生光電效應的過程中動量不守恒，只需考慮能量轉(zhuǎn)換問題。設電子擺脫金屬的束縛而逸出，需要對它做功至少為W（逸出功），逸出金屬表面后電子的速度為，入射光子的能量為，電子的靜止質(zhì)量為m0，若能產(chǎn)生光電效應，則有 ⑥ 逸出電子的速度一般都比光速小很多，故有 ⑦ 忽略高階小量，只?、呤街械那皟身?，代入⑥式，可得到 ⑧ 可見，只要⑧式就能成立，光電效應就能產(chǎn)生。 類型五、有關(guān)相對論中的能量和動量計算的問題。 例6．一原子核基態(tài)的靜質(zhì)量為M，激發(fā)態(tài)比基態(tài)的能量高ΔE，已知ΔE<<

14、Mc2，以致 項可以略去。 （1）試求下列兩種情況下光子的頻率：（a）該核處在基態(tài)且靜止時吸收一個光子；（b）該核處在激發(fā)態(tài)且靜止時輻射一個光子。 （2）試論證：處在激發(fā)態(tài)的靜止核所輻射光的光子，不能被處在基態(tài)的同類靜止核吸收。 分析和解：（1）（a）設光子被吸前的動量為，為一單位矢量，光子被吸收后原子核的動量為，則由動量守恒定律得， 即 由能量守恒定律 兩邊平方 代入，可得 于是得到所求光子頻率為 （b）設發(fā)射的光子動量為，發(fā)射后原子核的動量，則由動量守恒定律得，即 由能量守恒定律 由以上兩式得 于是求得所求光子頻率為 （2）由上面的結(jié)果可見。

15、處在激發(fā)態(tài)的靜止核所輻射出的光子能量為，而處在基態(tài)的同類靜止核所吸收的光子的能量為，因，故不能被吸收。 三、小試身手 1．在2004年6月10日聯(lián)合國大會第58次會議上，鼓掌通過一項決議。決議摘錄如下： 聯(lián)合國大會， 承認物理學為了解自然提供了重要基礎， 注意到物理學及其應用是當今眾多技術(shù)進步的基石， 確信物理教育提供了建設人類發(fā)展所必需的科學基礎設施的工具， 意識到2005年是愛因斯坦科學發(fā)現(xiàn)一百周年，這些發(fā)現(xiàn)為現(xiàn)代物理學奠定了基礎， I．??； II．??； III．宣告2005年為_________________年。 2．愛因斯坦在現(xiàn)代物理學領(lǐng)域作出了很多重要貢獻

16、，試舉出其中兩項： _________________________________；___________________________________。 2．超音速飛機的駕駛員相對地球以的速度飛行。試問，他要飛行多久，才能使他的表比地球上的鐘慢1 s? 3．在一以恒定速度 沿平直軌道行駛的車廂中央有一旅客，已知他到車廂兩端A和B的距離都是L0，今旅客點燃一火柴，光脈沖以速度c向各個方向傳播，并到達車廂兩端A和B，試從車廂和地面兩個參考系分別計算光脈沖到達A和B的時刻。 4．一根長為的棒，靜置在坐標系的、平面內(nèi)，

17、與軸成角（圖13一5），相對實驗室參考系，棒以速度沿軸向右運動，求在此參考系中棒的長度和取向。 5．在S系中觀察到在同一地點發(fā)生的兩個事件，第二事件發(fā)生在第一事件之后2s。在S'系中觀察到第二事件在第一事件后3s發(fā)生。求在S'系中這兩個事件的空間距離。 6．一只裝有無線電發(fā)射和接收裝置的飛船，正以的速度飛離地球。當宇航員發(fā)射一無線電信號后，信號經(jīng)地球反射，60 s后宇航員才收到返回信號。 （1）在地球反射信號的時刻，從飛船上測得的地球離飛船多遠？ （2）當飛船接收到反射信號時，地球上測得的飛船離地球多遠？

18、 7．兩個靜止質(zhì)量都為的粒子以大小相等、方向相反的速度，互相接近并發(fā)生完全非彈性碰撞，求碰撞后粒子的質(zhì)量。 8．（1）一根長為、橫截面積為S的勻質(zhì)圓柱體。在地面上靜止時測得其密度為。當圓柱體沿軸線方向以速度相對于地面做勻速運動時，相對地面上的觀測者再計算其密度等于多少？（c為光速） （2）有一個電子，已知它的德布羅意波（物質(zhì)波）是波長為、向的正方向傳播的平面波。它的動量等于多少？它的坐標如何？ 9．子在相對自身靜止的慣性參考系中的平均壽命。宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應產(chǎn)生一批子，以。的

19、速度（c為真空中的光速）向下運動并衰變。根據(jù)放射性衰變定律，相對給定慣性參考系，若t=0時刻的粒子數(shù)為N（0），t時刻剩余的粒子數(shù)為N（t），則有，式中為相對該慣性系粒子的平均壽命。若能到達地面的子數(shù)為原來的5 %，試估算子產(chǎn)生處相對于地面的高度h。不考慮重力和地磁場對子運動的影響。 10．在相對于實驗室靜止的平面直角坐標系S中，有一個光子，沿x軸正方向射向一個靜止于坐標原點O的電子。在軸方向探測到一個散射光子。已知電子的靜止質(zhì)量為，光速為c，入射光子的能量與散射光子的能量之差等于電子靜止能量的。 （1）試求電子運動速度的大小、電子運動的方向與x軸的夾角為θ；電子

20、運動到離原點距離為L0（作為已知量）的A點所經(jīng)歷的時間為Δt。 （2）在電子以（1）中的速度開始運動時，一觀察者S'相對于坐標系S也以速度沿S中電子運動的方向運動（即S'相對于電子靜止）。試求S'測出的OA的長度。 11．在北京正負電子對撞機中，電子可以被加速到動能為。 （1）這種電子的速率和光速相差多少m/s? （2）這樣的一個電子動量多大？ （3）這種電子在周長為240 m的儲存環(huán)內(nèi)繞行時，它受的向心力多大？需要多大的偏轉(zhuǎn)磁場？ 12．一個質(zhì)子的靜質(zhì)量為，一個中子的

21、靜質(zhì)量為，一個質(zhì)子和一個中子結(jié)合成的氘核的靜質(zhì)量。求結(jié)合過程中放出的能量是多少MeV？這能量稱為氘核的結(jié)合能。它是氘核靜能量的百分之幾？ 一個電子和一個質(zhì)子結(jié)合成一個氫原子，結(jié)合能是13. 58 eV，這一結(jié)合能量是氫原子靜能量的百分之幾？已知氫原子的靜質(zhì)量為。 13．20世紀60年代發(fā)現(xiàn)的類星體的特點之一是它發(fā)出極強烈的輻射。這一輻射的能源機制不可能用熱核反應來說明。一種可能的巨大能源機制是黑洞或中子星吞食或吸積遠處物質(zhì)時所釋放的引力能。 （1）1 kg物質(zhì)從遠處落到地球表面上時釋放的引力能是多少？釋能效率（即所釋放能量與落到地球表面的物質(zhì)的靜能的比）又是

22、多大？ （2）1 kg物質(zhì)從遠處落到一顆中子星表面時釋放的引力能是多少？（設中子星的質(zhì)量等于一個太陽的質(zhì)量而半徑為10 km）釋能效率又是多大？ 14．一電子具有0.51×106 eV的靜止能量，若使之加速，直至具有4.59 ×106 eV 的動能。問該電子的總能量是多少？運動中電子的慣性質(zhì)量是靜止質(zhì)量mo的多少倍？這時，該電子的速率是多大？ 參考解答 1．國際物理年。相對論；光的量子性 2．5×1011s 3．對于車廂，，對于地面，， 4． 5． 6．（1）飛船上測量，地球離飛船距離；（2）地球上測量，飛船離地球距離 7． 20090106 8．（1）；（2），坐標值不能確定。 9． 10．（1），，，（2） 11．（1），（2），（3）， 12．， 13．（1），；（2），此釋能效率是太陽熱核反應釋能效率（0.69%）的約20倍。 14．，10倍，