概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3章.ppt

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1、第3章隨機(jī)變量,隨機(jī)變量的產(chǎn)生一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量二項(xiàng)分布與泊松分布連續(xù)型隨機(jī)變量正態(tài)分布一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,3.1隨機(jī)變量的產(chǎn)生,樣本空間太任意，難以把握，需要將其數(shù)量化。要求問題涉及的事件與變量相關(guān)，這樣可以將概率和函數(shù)建立聯(lián)系。,定義稱定義在樣本空間上的實(shí)函數(shù)=()，，是隨機(jī)變量，如對(duì)任意實(shí)數(shù)x，集合()

2、質(zhì),任一隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)，x(，)，具有下列性質(zhì)：,(1)單調(diào)不減性若x1

3、驗(yàn)：觀察某電話交換臺(tái)單位時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。樣本空間=0,1,2,，以表示接到的呼喚次數(shù)，那么，=()=，是離散型隨機(jī)變量。,設(shè)離散型隨機(jī)變量的全部取值為x1,x2,xn,,且P(=xi)=pi，i=1,2,則稱上式為的概率分布律。也可寫作：,離散型隨機(jī)變量的分布列,稱為的分布列,顯然,在試驗(yàn)1中，假設(shè)兩次射擊是相互獨(dú)立的，且是否命中目標(biāo)的概率各為0.5，則的分布列為,例,退化分布,如隨機(jī)變量只取常數(shù)C，則稱服從退化分布。顯然P(=C)=1,退化分布也稱為單點(diǎn)分布,3.4二項(xiàng)分布與泊松分布,二項(xiàng)概率公式,設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為p(0

4、布律為,隨機(jī)變量所服從的分布稱為二項(xiàng)分布。以B(n，p)表示。,若B(n，p)，則有下式成立：,1),2),3),定理1,兩點(diǎn)分布,特別，稱n=1的二項(xiàng)分布為兩點(diǎn)分布，其分布列為,定理2,設(shè)B(n,p)，令k0=Int(n+1)p則k=k0時(shí)，b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數(shù)，則b(k0;n,p)=b(k01;n,p),證明：,故,例1已知發(fā)射一枚地對(duì)空導(dǎo)彈可“擊中”來犯敵機(jī)的概率是0.96，問在同樣條件下需發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中敵機(jī)的概率大于0.999?,解設(shè)需要發(fā)射n枚導(dǎo)彈，則擊中敵機(jī)的導(dǎo)彈數(shù)是隨機(jī)變量B（n，0.96）由題意有P（1）=1-(1-0.96)

5、n0.999故nlg0.001/lg0.04=2.15取n=3，即需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈。,例2（漁佬問題）漁佬想知道自己承包的魚塘中魚的條數(shù)。漁佬先從塘中網(wǎng)起100條魚做上記號(hào)后放回塘里，過一段時(shí)間（使其均勻）再從中網(wǎng)起80條，發(fā)現(xiàn)其中有記號(hào)者為2條，求魚的總數(shù)N。,解設(shè)有記號(hào)的魚的條數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布B(80，100/N)。,由定理2，撈起的魚最有可能是Int((n+1)p)條，因此(80+1)100/N=2由此解得N=4050（條）,若離散型隨機(jī)變量的分布律為,其中0是常數(shù)，則稱服從泊松分布。記為P()，稱為參數(shù)。,泊松分布,因?yàn)?，故有P(=k)0。(k=0,1,2,),即泊松分布的分布律

6、，具備概率函數(shù)兩性質(zhì)。,在任給一段固定的時(shí)間間隔內(nèi)，來到公共設(shè)施（公共汽車站、商店、電話交換臺(tái)等）要求給予服務(wù)的顧客個(gè)數(shù)；炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個(gè)數(shù)；落在顯微鏡片上的某種細(xì)菌個(gè)數(shù),在實(shí)際問題中，有很多隨機(jī)變量都近似服從泊松分布。例如:,由定理知：泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布,設(shè)隨機(jī)變量n服從二項(xiàng)分布B(n,pn)(n=1,2,)，其中概率pn與有關(guān)，并且滿足,泊松定理,證明：,其中為一個(gè)定數(shù)。,對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)，有,故得,在應(yīng)用中，當(dāng)很大（n10），很小(0.1)，我們有下面的泊松近似公式,其中=np,解設(shè)為擊中目標(biāo)的彈數(shù)，則B(5000,0.001)，,例3設(shè)每次擊中目標(biāo)的概

7、率為0.001，且各次射擊是否中目標(biāo)可看作相互沒有影響，如果射擊5000次，試求：()擊中12彈的概率；()至少擊中12彈的概率。,下面用近似公式計(jì)算。其中=np=50000.001=5,（）至少擊中12彈的概率為：,（）擊中12彈的概率為：,例4設(shè)有同類設(shè)備臺(tái)，各臺(tái)工作相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理，試求（）一個(gè)人負(fù)責(zé)維修臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率；（）由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。,解：(1)設(shè)表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)。在同一時(shí)刻至少有臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，便不能及時(shí)處理。,若用泊松近似公式(=n

8、p=200.01=0.2)，則有,（2）設(shè)表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，則B(80,0.01)。當(dāng)同一時(shí)刻至少有臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，就不能及時(shí)維修。用泊松近似公式(=np=800.01=0.8)，得,計(jì)算結(jié)果表明，由三人共同負(fù)責(zé)維修臺(tái)，每人平均約維修臺(tái)，比一個(gè)單獨(dú)維修臺(tái)更好，既節(jié)約了人力又提高了工作效率。,例5某商店由過去的銷售記錄表明，某種商品每月的銷售件數(shù)可以用參數(shù)=7的泊松分布來描述，為了以0.999以上的把握保證不脫銷，問該商店在月底至少應(yīng)進(jìn)這種商品多少件？,解：設(shè)該商店每月銷售件，月底進(jìn)貨為a件，則當(dāng)a時(shí)，就不會(huì)脫銷。根據(jù)P(7)得,查表得a+1=17即a=16,這家商店至少要在月底進(jìn)

9、16件這種商品。,幾何分布,在“成功”概率是p的貝努利試驗(yàn)中，若以記首次出現(xiàn)“成功”的試驗(yàn)次數(shù)。則所服從的分布便是幾何分布。,顯然,例6一個(gè)人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把是能開此門的，現(xiàn)隨機(jī)地從中取出一把鑰匙來試開門，在試開時(shí)每一把鑰匙均以1/n的概率被取用，問此人直到第S次試開時(shí)方才成功的概率是多少？,解,A=試開門成功,幾何分布具有如下特征：如的分布律為g(k;p)，則對(duì)任意正整數(shù)s、t，有P(s+ts)=P(t)稱幾何分布具有“無記憶”性。,下面證明上式。,證明,超幾何分布,例7在一箱N件裝的產(chǎn)品中混進(jìn)了M件次品，今從中抽取n件(nM)，求從中查出次品的件數(shù)的概率分布.,解,負(fù)二

10、項(xiàng)分布,在“成功”概率是p的貝努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)第r次成功時(shí)所作的試驗(yàn)次數(shù)所服從的分布稱為負(fù)二項(xiàng)分布.,由于f(k;r,p)是負(fù)指數(shù)二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)，故所服從的分布稱為負(fù)二項(xiàng)分布。由此也可以證明,證明,例8兩個(gè)同類型的系統(tǒng)，開始時(shí)各有N個(gè)備件，一旦出現(xiàn)故障，就要更換一個(gè)備件。假定兩個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行條件相同，不同時(shí)發(fā)生故障。試求當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)需用備件而發(fā)現(xiàn)備件已用光時(shí)，另一系統(tǒng)尚有r個(gè)備件的概率Ur.(r=0,1,,N),解只考慮出故障的時(shí)刻,故障的出現(xiàn)看作是貝努利試驗(yàn)，有,要第一個(gè)系統(tǒng)缺備件而第二個(gè)系統(tǒng)剩r件，應(yīng)該是A出現(xiàn)N1次（前N次用去所有N個(gè)備件，最后一次故障發(fā)生時(shí)缺乏調(diào)換的備件）而A出現(xiàn)Nr次

11、，這事件的概率為：,對(duì)于第二個(gè)系統(tǒng)先缺備件的情況可同樣考慮，因此所求概率Ur為：,,連續(xù)型隨機(jī)變量,定義設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)，關(guān)系式,3.5連續(xù)型隨機(jī)變量,都成立，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為的密度函數(shù)。,可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。,密度函數(shù)的性質(zhì),定理密度函數(shù)f(x)具有下列性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）若f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，則有F(x)=f(x),證明（）由定義知f(x)0顯然。,（）由分布函數(shù)性質(zhì)知，,由廣義積分概念與定義知，,（）,對(duì)任意類型的隨機(jī)變量均成立,(),例：設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，c為任意常數(shù)，試證Pc

12、0,證明對(duì)任意的h，有,注：由Pc0，可知連續(xù)型隨機(jī)變量有,,,,（）求常數(shù)、；（）判斷是否是連續(xù)型隨機(jī)變量；（）求P1<1/2,例：設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,解：（）由分布函數(shù)性質(zhì)得,（）因?yàn)樗訤(x)不是連續(xù)函數(shù)，從而不是連續(xù)型隨機(jī)變量。,（）,均勻分布,設(shè)a、b為有限數(shù)，且a

13、明：,例：設(shè)N(1，4)，求P1<<2,解：,即x軸是f(x)的漸近線。,正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)有下列性質(zhì)：,（1）f(x)和F(x)處處大于零，且具有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；,（2）f(x)在區(qū)間(，)內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間(，+)內(nèi)單調(diào)減少，在x=處取得最大值,,,,,x=,,f(x),x,（3）f(x)的圖形關(guān)于直線x=對(duì)稱，即,（4）F(x)=1F(u+x),特別,特別,（5）,,,,,(x),,x=,,,,,,,固定時(shí)，的值越小，f(x)的圖形就愈尖、越狹。的值越大，f(x)的圖形就愈平、越寬。,證明：,證明：,例1：設(shè)N(0,1)，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)(x)的表計(jì)算：,（1）,解：

14、,（2）,設(shè)N(0,1)，求使Px=0.1的x。,例2,解：,x=1.645,例3設(shè)已知測量誤差N（0，102），現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行100次測量，求誤差絕對(duì)值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率。,解：,第一步:以A表示一次測量中“誤差絕對(duì)值超過19.6”的事件，則有,第二步:以表示100次獨(dú)立重復(fù)測量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則B（100，0.05），所求概率是P（3）=1P（<3）,第三步:由于n=100較大而p=0.05很小，故二項(xiàng)分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得,例4公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高服從=170cm、=6cm的正態(tài)

15、分布，即N（170，62），試確定車門的高度。,解：,設(shè)車門的高度為hcm，根據(jù)設(shè)計(jì)要求應(yīng)有,例5：從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位分鐘）服從正態(tài)分布N(50,100)，第二條沿環(huán)城公路走，路線較長，但意外堵塞較少，所需時(shí)間（單位分鐘）服從正態(tài)分布N(60,16)，（1）如有70分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？（2）如只有65分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？,解：,指數(shù)分布,若隨機(jī)變量具有分布密度為,則稱服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，容易求得它的分布函數(shù)為,例6設(shè)到某服務(wù)窗口辦事，需排隊(duì)等候。若等待的時(shí)間是指數(shù)分布隨機(jī)變量（單位:min）

16、，則其概率密度為,某人到此窗口辦事，在等待15分鐘后仍未能得到接待時(shí)，他就憤然離去，若此人在一個(gè)月內(nèi)共去該處10次。,試求:（1）有2次憤然離去的概率;（2）最多有2次憤然離去的概率;（3）至少有2次憤然離去的概率。,解首先可求出他在任一次排隊(duì)服務(wù)時(shí)，以憤然離去而告終的概率。,在10次排隊(duì)中憤然離去的次數(shù)B（10，p），即服從n=10，p=0.2231的二項(xiàng)分布，于是所求的概率分別為,3.7一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,如是隨機(jī)變量，在y=f(x)連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)時(shí)，則=f()也是隨機(jī)變量。,例1設(shè)的分布律為,解,將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得,0.2,0,將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得,0

17、.4,0.4,P,4,1,2,,,,,,,,,P,2-1,,0.25,3,0.2,1,0.2,0.2,0.15,1,3,5,,,,,,,,將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得,0.4,0.4,0.2,P,3,2,1,+1,,,,,,,,,例2設(shè)隨機(jī)變量具有連續(xù)的分布密度(y)，試求=a+b（其中a，b是常數(shù)，并且a0）的分布密度(y)。,解：,例3設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2)，求的分布密度(y)。,解：,證明：,例4,作業(yè)：,4、5、7、15、18、22、27,作業(yè)評(píng)講,1、解,2、解,12、解,以表示300臺(tái)分機(jī)中，向總機(jī)要外線的分機(jī)數(shù)。,14、解,15、解,16、解,18、解,19、解,23、解,25、解,27、解,28、解,29、解,30、解,