2020版高中數學 第三章 導數及其應用 3.3.3 導數的實際應用課件 新人教B版選修1 -1.ppt

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1、3.3.3導數的實際應用,第三章 導數及其應用,,,學習目標,XUEXIMUBIAO,1.了解導數在解決實際問題中的作用. 2.掌握利用導數解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.,,NEIRONGSUOYIN,內容索引,自主學習,題型探究,達標檢測,1,自主學習,PART ONE,知識點生活中的優(yōu)化問題 1.生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為 . 2.利用導數解決優(yōu)化問題的實質是求函數最值. 3.解決優(yōu)化問題的基本思路：,,上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的 過程.,優(yōu)化問題,數學建模,1.生活中常見到的收益最高、用料最省等問題就是數學中的最大、最小

2、值問題.() 2.解決應用問題的關鍵是建立數學模型.(),,思考辨析 判斷正誤,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,,,2,題型探究,PART TWO,,題型一幾何中的最值問題,例1請你設計一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AEFBx cm.,,(1)若廣告商要求包裝盒側面積S最大，則x應取何值？,當且僅當x30 x，即x15時，等號成立， 所以若廣告商要求包裝盒側面積

3、S最大，則x15.,(2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.,令V0，得0

4、兩欄之間的中縫空白的寬度為2 cm，設試卷的長和寬分別為x cm，y cm. (1)寫出y關于x的函數解析式，并求該函數的定義域；,,解由題意知試卷的長和寬分別為x cm，y cm，,(2)如何確定該試卷長與寬的尺寸(單位：cm)，才能使試卷的面積最?。?令S0，得x40(負數舍去)， 函數在(10,40)上單調遞減，在(40，)上單調遞增， 當x40時，S取得最小值， 故當試卷的長為40 cm，寬為32 cm時，可使試卷的面積最小.,,題型二實際生活中的最值問題,命題角度1利潤最大問題 例2某工廠共有10臺機器，生產一種儀器元件，由于受生產能力和技術水平等因素的限制，會產生一定數量的次品.根

5、據經驗知道，每臺機器產生的次品數P(萬件)與每臺機器的日產量x(萬件)(4x12)之間滿足關系：P0.1x23.2ln x3.已知每生產1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元.(利潤盈利虧損) (1)試將該工廠每天生產這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數；,解由題意得，所獲得的利潤為y102(xP)P20 x3x296ln x90(4x12).,,多維探究,(2)當每臺機器的日產量x(萬件)為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？,當4x6時，y0，函數在4,6上為增函數； 當6x12時，y0，函數在6,12上為減函數， 所以當x6時，函數取得極大值，且為最大

6、值， 最大利潤為y20636296ln 69096ln 678(萬元).,反思感悟解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數關系，常見的基本等量關系有： (1)利潤收入成本. (2)利潤每件產品的利潤銷售件數.,跟蹤訓練2某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng) 10(x6)2，其中3< x<6，a為常數.已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克. (1)求a的值；,所以a2.,(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,解由(1)可知，該

7、商品每日的銷售量,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤,210(x3)(x6)2,3

8、平均建設費用與球場數有關，當該中心建球場x塊時，每平方米的平均建設費用(單位：元)可近似地用f(x)800 來刻畫.為了使該球場每平方米的綜合費用最省(綜合費用是建設費用與購地費用之和)，該網球中心應建幾個球場？,令g(x)0，得x8，當1x<8時，g(x)<0，g(x)為減函數；,當80，g(x)為增函數， 所以當x8時，函數取得極小值，且為最小值. 故當建成8個球場時，每平方米的綜合費用最省.,反思感悟費用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數表達式，準確求導，結合實際作答.,跟蹤訓練3為了在夏季降溫和冬季供暖時

9、減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6 萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x) (0 x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8 萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式；,且C(0)8，故k40，,設建造費用為C1(x)，則C1(x)6x.,(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值.,當0 x0，f(x)為增函數.,故當隔熱層修建厚度為5 cm時，總費用f(x)達到最小，最小值為70 萬

10、元.,,核心素養(yǎng)之數學建模,HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO,損耗最少問題,典例已知A，B兩地相距200千米，一艘船從A地逆水而行到B地，水速為 8 千米/時，船在靜水中的速度為v 千米/時(8

11、；,當v(16，v0時，y0，y為增函數. 故當v16時，y取得極小值，也是最小值，此時全程燃料費最省. 若v0<16，當v(8，v0時，y<0，y在(8，v0上為減函數. 故當vv0時，y取得最小值，此時全程燃料費最省. 綜上可得，若v016，則當v16 千米/時時，全程燃料費最省； 若v0<16，則當vv0時，全程燃料費最省.,素養(yǎng)評析(1)解決實際應用問題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，把“問題情景”譯為數學語言，要先找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化、形式化、抽象成數學問題，再化歸為常規(guī)問題，最后選擇合適的數學方法求解. (2)確定函數模型，將實際問題轉化成數學問題的要求較

12、高，有利于數學建模素養(yǎng)的提升.,3,達標檢測,PART THREE,,1,2,3,4,解析原油溫度的瞬時變化率為f(x)x22x(x1)21(0 x5)， 所以當x1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值1.,5,,,1,2,3,4,,2.用長為18 m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，則該長方體的最大體積為 A.2 m3 B.3 m3 C.4 m3 D.5 m3,5,,,1,2,3,4,從而V(x)18x18x218x(1x)， 令V(x)0，解得x1或x0(舍去).,故在x1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值， 從而最大體積VV(1)91261

13、33(m3).,5,,3.某產品的銷售收入y1(萬元)是產品x(千臺)的函數，y117x2(x0)；生產總成本y2(萬元)也是x(千臺)的函數，y22x3x2(x0)，為使利潤最大，則應生產 A.9 千臺 B.8 千臺 C.6 千臺 D.3 千臺,,1,2,3,4,解析利潤yy1y217x2(2x3x2)18x22x3(x0)， 求導得y36x6x2，令y0，得x6或x0(舍去). 所以當生產6 千臺時，利潤最大.,5,,1,2,3,4,4.容積為256的方底無蓋水箱，它的高為 時最省材料.,4,解析設水箱高為h，底面邊長為a，則a2h256，,當08時，S0，,5,,1,2,3,4,5.某

14、商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低額x(單位：元，0 x21)的平方成正比.已知當商品單價降低2元時，每星期多賣出24件. (1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數；,解設商品降價x元，則每星期多賣的商品數為kx2. 若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有 f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知條件，得24k22，于是k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,5,,(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？,解由(1)得f(x)18x

15、2252x432 18(x2)(x12). 當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,故當x12時，f(x)取得極大值. 因為f(0)9 072，f(12)11 664. 所以當定價為301218(元)時，才能使一個星期的商品銷售利潤最大.,1,2,3,4,5,,課堂小結,KETANGXIAOJIE,1.利用導數解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系式y(tǒng)f(x). (2)求函數的導函數f(x)，解方程f(x)0. (3)比較函數在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值. 2.正確理解題意，建立數學模型，利用導數求解是解答應用問題的主要思路.另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數解析式，給出函數定義域；(2)與實際問題相聯系；(3)必要時注意分類討論思想的應用.,