河南省范縣白衣閣鄉(xiāng)二中八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 數(shù)學(xué)活動(dòng)(三)導(dǎo)學(xué)案 新人教版

《河南省范縣白衣閣鄉(xiāng)二中八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 數(shù)學(xué)活動(dòng)(三)導(dǎo)學(xué)案 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河南省范縣白衣閣鄉(xiāng)二中八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 數(shù)學(xué)活動(dòng)(三)導(dǎo)學(xué)案 新人教版（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 數(shù)學(xué)活動(dòng)（三） 【導(dǎo)學(xué)目標(biāo)】 1.展示與研究勾股定理的證明方法. 2.設(shè)計(jì)一個(gè)測量風(fēng)箏高度的方案. 【導(dǎo)學(xué)重點(diǎn)】 進(jìn)行兩個(gè)活動(dòng). 【導(dǎo)學(xué)難點(diǎn)】 活動(dòng)1. 【學(xué)法指導(dǎo)】 合作探究. 【課前準(zhǔn)備】 搜集勾股定理的證明方法. 【導(dǎo)學(xué)流程】 一、呈現(xiàn)目標(biāo)、明確任務(wù) 研究一些勾股定理的證明方法和勾股定理的應(yīng)用. 二、教師引導(dǎo) 活動(dòng)一、證明勾股定理的方法很多.大家把自己搜集來的方法展示給小組成員，并進(jìn)行研究與交流.（見附.） 活動(dòng)二、小紅和小軍周日去郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛得又高又遠(yuǎn)，他倆很想知道風(fēng)箏

2、離地面到底有多高，你能幫幫他們嗎？ 四、點(diǎn)撥升華、當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 活動(dòng)二，可以構(gòu)造直角三角形，風(fēng)箏的豎直高度、放風(fēng)箏的點(diǎn)到風(fēng)箏正下方之間的距離為直角邊，風(fēng)箏線為斜邊. 附：勾股定理的證明 【證法1】（課本的證明） 做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為、，斜邊長為，再做三個(gè)邊長分別為、、的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形. 從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是+，所以面積相等. 即 ，整理得. 【證法2】（鄒元治證明） 以、為直角邊，以為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B

3、、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四邊形EFGH是一個(gè)邊長為的 正方形. 它的面積等于2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一

4、個(gè)邊長為+的正方形，它的面積等于. ∴ . ∴ . 【證法3】（趙爽證明） 以、為直角邊（）， 以為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三 角形拼成如圖所示形狀. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一個(gè)邊長為b―a的正方形，它的面積等于. ∴ . ∴ . 【證法

5、4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明） 以a、b 為直角邊，以為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一個(gè)等腰直角三角形， 它的面積等于. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于. ∴

6、. ∴ . 【證法5】（梅文鼎證明） 做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P. ∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ Rt

7、ΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a. ∴ BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形. 【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明） 做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上. 過點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點(diǎn) F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA =

8、90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）. 【證法7】（歐幾里得證明） 做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使

9、H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié) BF、CD. 過C作CL⊥DE， 交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn) L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面積等于， ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， ∴ 矩形ADLM的面積 =. 同理可證，矩形MLEB的面積 =. ∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ∴ ，即 . 【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明） 如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.

10、 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即 . 同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 . ∴ ，即 . 【證法9】（楊作玫證明） 做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BP⊥AF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC =

11、90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90

12、o， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形. ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 【證法10】（李銳證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）. ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE

13、. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90o， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 . 過Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以

14、RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即. ∵ ，，， 又∵ ，，， ∴ = =， 即 . 【證法11】（利用切割線定理證明） 在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC

15、 = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)椤螧CA = 90o，點(diǎn)C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得 = = = ， 即， ∴ . 【證法12】（利用多列米定理證明） 在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點(diǎn)A作AD∥CB，過點(diǎn)B作BD∥CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有 ， ∵ AB = DC = c，AD = BC =

16、 a， AC = BD = b， ∴ ，即 ， ∴ . 【證法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明） 在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內(nèi)切圓⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖），設(shè)⊙O的半徑為r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ = = r + r = 2r, 即 ， ∴ . ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【證法14】（利用反證法證明） 如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D. 假設(shè)，即假設(shè)

17、 ，則由 == 可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，則 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B， ∴ 若BD：BC≠BC：AB，則 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90o， ∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o. 這與作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假設(shè)不能成立. ∴ . 【證法15】（辛卜松證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD

18、劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 =. ∴ , ∴ . 【證法16】（陳杰證明） 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做兩個(gè)邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）. 在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC， 則 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴ DM = EM―ED = ―a = b. 又∵ ∠CMD =

19、90o，CM = a， ∠AED = 90o， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o， ∴ ∠ADC = 90o. ∴ 作AB∥DC，CB∥DA，則ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o， ∴ ∠BAF=∠DAE. 連結(jié)FB，在ΔABF和ΔADE中， ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a. ∴ 點(diǎn)B、F、G、H在一條直線上. 8