2019高中數(shù)學 考點58 直線系方程與圓系方程庖丁解題 新人教A版必修2

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1、 5．過直線?Ax+By+C=0?與圓?x? +?y? +Dx?+?Ey?+F=?0??的交點的圓系方程?x? +?y? +Dx?+?Ey?+F+λ（Ax+By+C） 【例】求過兩圓?x?? +?y?? －4x??+??2y??=??0?和??x?? +?y?? －2y??－4??=??0?的交點，且圓心在直線?2x??+ 考點?58?直線系方程與圓系方程 要點闡述 1．與直線?l:Ax+By+C=0?平行的直線系方程為?Ax+By+m=0； 2．與直線?l:Ax+By+C=0?平行的直線系方程為?Bx–Ay+m=0； 3．過定點（?x?，

2、?y?）的直線系方程：?A(?x?-?x?)?+?B(?y?-?y?)?=?0?（A,B?不同時為?0）； 0 0 0 0 4．過直線?n：?A?x?+?B?y?+?C?=?0?（?A?,?B?不同時為?0）與?m?：?A?x?+?B?y?+?C?=?0?（?A?,?B?不同時為?0）交 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 點的直線系方程為：?A?x?+?B?y?+?C?+?l?(?A?x?+?B?y?+?C?)?=?0?（?l???R?，?l?為參數(shù)）； 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 =0； 6．過 和 交點的圓系方程為 ．

3、 典型例題 2 2 2 2 4y?=?1?上的圓方程_____________，此時圓心到?x?軸的距離_____________． 【答案】??x?? +??y?? －3x??+??y??－1??=??0， 2 2 1 2 【解題技巧】在遇到過圓與圓交點的圓有關(guān)問題時，靈活應(yīng)用圓系方程，可簡化繁雜的解題過程． 1 小試牛刀 1．已知點?P(x?,?y 0  0

4、)是直線?l?:?Ax?+?By?+?C?=?0?外一點，則方程?Ax?+?By?+?C?+?(Ax  0 +?By?+?C?)?=?0?表示 0 （ ） A．過點?P?且與?l?垂直的直線 C．不過點?P?且與?l?垂直的直線 【答案】D 【解析】  B．過點?P?且與?l?平行的直線 D．不過點?P?且與?l?平行的直線 0) 2．求經(jīng)過點?B(3，?，且與直線?2?x?+?y?-?5?=?0?垂直的直線的方程_____________． 【答案

5、】?x?-?2?y?-?3?=?0?． 0) 【解析】設(shè)與直線?2?x?+?y?-?5?=?0?垂直的直線系方程為?x?-?2?y?+?n?=?0?，因為經(jīng)過點?B(3，?，所以 n?=?-3?，故所求直線方程為?x?-?2?y?-?3?=?0?． 【解題技巧】對已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問題，常用垂直直線系法，可以簡 化計算． x y =0 3．不論?k?為何實數(shù)，直線（2k﹣1）﹣（k+3）﹣（k﹣11）?恒通過一個定點，這個定點的坐標是_____________． 【答案】?(2,3) 【解析】

6、 4．設(shè)直線?l?經(jīng)過?2x–3y+2=0?和?3x–4y–2=0?的交點,且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形,求直線?l?的方程 _____________． 2 整理得(2+3λ??)x–(4λ??+3)y–2λ??+2=0,由題意,得??2?+?3l 【答案】x–y–4=0,或?x+y–24=0． 【解析】設(shè)所求的直線方程為(2x–3y+2)+λ?(3x–4y–2)=0, 5 =±1,解得?λ?=–1,或?λ?=– ． 3?+?4l 7 所以所求的直線方程為?x–y–4=0,或

7、?x+y–24=0． 【易錯易混】對求過定點（?x?，?y?）的直線方程問題，常用過定點直線法，即設(shè)直線方程為: 0 0 A(?x?-?x?)?+?B(?y?-?y?)?=?0?，注意的此方程表示的是過點?P(?x?，y?)?的所有直線（即直線系），應(yīng)用這種 0 0 0 0 直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實際解答問題時可以避免分類討論，有效地防止 解題出現(xiàn)漏解或錯解的現(xiàn)象． 3 5?．?求經(jīng)過兩直線l?：x?-?2?y?+?4?=?0?和?l?：x?+?y?-?2?=?0?的交點?P?，且與直線l?：x?-?4?y?+?5?=?0?垂直的直

8、線l?的方 1 2 3 程_____________． 【答案】?4x?+?3?y?-?6?=?0 考題速遞 1?．?已知直線?l?:?(a?+?2)?x?+?3?y?=?5?與直線?l?:?(a?-1)?x?+?2?y?=?6?平行，則直線?l?在?x?軸上的截距為（ ） 1 2 1 B．?5 A．?-?1 9 C．1 D．?2 【答案】B 【解析】由已知得?2(a?+?2)?=?3(a?-?1)?，得?a?=?7?，則直線?l?在?x?軸上的

9、截距為 1 2?．?平行于直線?2?x?+?y?+?1?=?0?且與圓?x?2?+?y?2?=?5?相切的直線的方程是（ ） A．?2?x?-?y?+?5?=?0?或?2?x?-?y?-?5?=?0  5 9  ,故選?B． 3 22?+?12???=???5?，解得?c?=?±5?，所以所求切線 3?．?過直線??2x??+?y??+??4??=??0和圓??x?? +?y?? +??2x??－4y??+??1??=??0的交點，面積最小的

10、圓方程_____________， 【答案】5x?? +??5y?? +??26x??－12y??+??37??=??0 B．?2?x?+?y?+?5?=?0?或?2?x?+?y?-?5?=?0 C．?2?x?-?y?+?5?=?0?或?2?x?-?y?-?5?=?0 D．?2?x?+?y?+?5?=?0?或?2?x?+?y?-?5?=?0 【答案】D 【解析】依題可設(shè)所求切線方程為?2?x?+?y?+?c?=?0?，則有?0?+?0?+?c 的直線方程為?2?x?+?y?+?5?=?0?或?2?x?+?y?-?5?=?0?，故選?D．

11、 2 2 圓的面積為_____________． 2 2 4．已知平行四邊形兩邊所在直線的方程為?x+y+2=0?和?3x–y+3=0,對角線的交點是(3,4),求其他兩邊所在直 線的方程． ì 【解析】由?í?x?+?y?+?2?=?0 ?3x?-?y?+?3?=?0 5?3 得一頂點為?(-?,?)?． 4?4 因?qū)蔷€交點是(3,4),則已知頂點的相對頂點為?( 29?35 ,??)?． 4??4

12、 設(shè)與?x+y+2=0?平行的對邊所在直線方程為?x+y+m=0, 因為該直線過?(?29?,?35?)?, 4 4 所以?m=–16． 設(shè)與?3x–y+3=0?平行的對邊所在直線方程為 3x–y+n=0, 4 同理可知過點?( 29?35 ,??)?, 4??4 得?n=–13． 故所求直線的方程為?x+y–16=0?和?3x–y–13=0． 數(shù)學文化 平行直線系 兩條平行的直線永遠不會有交集 5