概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章.ppt

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,山東大學經(jīng)濟學院，李長峰 2012.10.26,我們開始學習多維隨機變量,一維隨機變量及其分布,,多維隨機變量及其分布,由于從二維推廣到多維一般無實質性的 困難，我們重點討論二維隨機變量 .,它是第二章內(nèi)容的推廣.,第三章 多維隨機變量及其分布,,到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布. 但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.,在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標)來確定的.,飛機的重心在空中的位置是由三個r.v (三個坐標）來確定的等等.,一般地，我們稱n個隨機變量的整體 X=(X1, X2, ，Xn)為n維隨機變量或隨機向量

2、. 以下重點討論二維隨機變量.,4,第三章 多維隨機變量及其分布,3.1二維隨機變量及其分布 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布 3.4 隨機變量的獨立性 3.5二維隨機變量函數(shù)的分布,3.1 二維隨機變量及其分布,定義 設為隨機試驗的樣本空間，,則稱( X , Y )為二維r.v.或二維隨機向量,下面給出相應的分布函數(shù)、密度函數(shù)或分布律等一些反應變量概率性質的函數(shù),定義 3.1.1 設(X，Y)為二維隨機變量，對任意實數(shù)x，y，二元函數(shù) 稱為二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)， 簡稱為(X，Y)的分布函數(shù)。,幾何意義：F(x,y)表示隨機點落入以(x,y)為頂點而位于該點左下方的無窮矩

3、形區(qū)域D內(nèi)的概率。（如圖陰影部分）,隨機點(X,Y) 落在矩形區(qū)域： 內(nèi)的概率為,如圖,聯(lián)合分布函數(shù)的性質,,(x, y),,,,,,,,,,固定 x , 對任意的 y1< y2 ,,固定 y , 對任意的 x1< x2 ,,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ),F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ),F (x, y1) F (x, y2),F (x1,y) F (x2, y),定義 若二維 r.v.(X ,Y )所有可能的取值為有限多個或無窮可列多個, 則稱 (X ,Y ) 為二維離散型 r.v.,要描述二維離散型 r.v.的概率

4、特性及其與每個 r.v.之間的關系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布,聯(lián)合分布律,設( X ,Y )的所有可能的取值為,則稱,為二維 r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布律,顯然，,( X ,Y ) 的聯(lián)合分布律,x1 xi,二維離散 r.v.的聯(lián)合分布函數(shù),已知聯(lián)合分布律可以求出其聯(lián)合分布函數(shù),聯(lián)合分布律 的求法, 利用古典概型直接求；, 利用乘法公式,(X, Y)落入平面區(qū)域 G內(nèi)的概率,例3.1.1 設隨機變量X在1,2,3三個整數(shù)中等可能取值，另一個隨機變量Y在1X中等可能地取一整數(shù)值，求(X,Y)的概率分布。,解：由假設，隨機變量X的可能取值為1,2,3. 而

5、YX，故Y 的可能取值范圍也為1,2,3. 首先，當 ji 時，X=i,Y=j 為不可能事件，故 P(X=i,Y=j)=0，ji. 當 ji 時，根據(jù)概率的乘法公式，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j | X=i) =1/i 1/3，i=1,2,3. 由此得(X, Y)的概率分布如下：,例3.1.2 設(X, Y)的分布函律為,求： P(X=0) P(Y2) P(X<1,Y2) P(X+Y=2),=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)+P(X=0,Y=3) =0.1+0.1+0.3=0.5,=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=2)+P(X=

6、1,Y=2) =0.1+0.25+0.1+0=0.45,=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2) =0.1+0.1=0.2,=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.25=0.35,二維連續(xù)型隨機變量,定義 設二維 r.v.( X, Y )的分布函數(shù)為F(x, y), 若存在非負可積函數(shù) f (x, y) , 使得對于任意實數(shù) x , y 有,則稱( X, Y ) 為二維連續(xù)型 r.v. f (x, y) 為( X, Y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù) 簡稱概率密度函數(shù)簡記 p.d.f.,聯(lián)合密度的性質,(3) 在 的連續(xù)點處,(4) 若G 是平面上的區(qū)域，則,幾何意義： 二

7、元函數(shù) f(x, y)在三維空間表示一曲面, 上式表明隨機點(X, Y)落入?yún)^(qū)域G內(nèi)的概率恰好等于以G為底, 以曲面 f(x, y)為頂?shù)那斨w的體積。,例3.1.3 設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為 求：（1）常數(shù) k；（2）P(XY),解：（1）由概率密度的性質可知 即,（2）,例3.1.4 設二維隨機變量(X, Y)的概率密度函數(shù)為 （1）求(X, Y)的分布函數(shù) F(x, y)； （2）求 P(0

8、X, Y )服從區(qū)域G上的均勻分布,與第2章中服從區(qū)間a, b上的均勻分布類似，服從區(qū)域 G 上的均勻分布 (X, Y) 落在 G 中任一區(qū)域 D的概率只與的 D 面積成正比，而與 D 的位置和形狀無關。,例3.1.5 設二維隨機變量(X, Y) 服從區(qū)域 G 上的均勻分布，其中 G：0 x1,0yx，求 (1) P(X+Y1); (2) P ( Y X 2 ); (3) ( X ,Y ) 在平面上的落點到 y 軸距離小于 0.3 的概率. 。,解 (1) 如右圖，G 的面積 A=1/2，所以(X, Y)的概率密度為 則,,,,,,G,D,x,y,O,x+y=1,1,y=x,,(2),,(3)

9、,,定義3.1.5 若二維隨機變量(X，Y)的概率密度函數(shù)為 則稱(X，Y)服從參數(shù) 的二維正態(tài)分布。 記作,二維正態(tài)分布,3.2 邊緣分布,二維隨機變量的聯(lián)合分布是把(X，Y)看作一個整體的分布。其中分量X和Y都是一維隨機變量，也有各自的分布，分別稱X和Y的分布為二維隨機變量(X，Y)關于X和Y的邊緣分布。 設二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)為F(x，y)，分別記關于X和Y的邊緣分布函數(shù)為Fx(x)和Fy(y)，由于 Fx(x)=P(Xx,Y<+ )=F(x,+ ), 同理，有 Fy(y)=F(+ ,y). 由此看出，邊緣分布函數(shù)Fx(x)，F(xiàn)y(y)完全由聯(lián)合分布函

10、數(shù)F(x，y)來確定。,二維離散型隨機變量的邊緣分布,設二維離散型隨機變量(X，Y)的概率分布為 則,另一方面 兩式比較 同理可得 記,(X，Y)關于X的 邊緣概率分布,(X，Y)關于Y的 邊緣概率分布,,,還可表示為：,例3.2.1 袋中裝有4只白球和2只黑球，分別采取有放回和無放回的取法，每次取一個，共取兩次，定義隨機變量X，Y如下： 求(X，Y)的聯(lián)合概率分布及其邊緣分布。,解 對有放回的情形P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0X=0)=2/62/6=1/9 同樣可得P(X=0,Y=1)=2/9，P(X=1,Y=0)=2/9，P(X=1,Y=1)=4/9 由此，(X，Y)的聯(lián)

11、合分布及邊緣分布如下：,對無放回的情形(X，Y)的聯(lián)合分布及邊緣分布如下：,由此例看出，X和Y的邊緣分布完全相同，但是它們的聯(lián)合分布卻不相同。 也就是說，一般情況下，聯(lián)合分布唯一確定其邊緣分布，反之不然。,二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布,若二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為F(x，y)與f(x，y)，則有,記,分別稱fX(x)，fY(y)為二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)關于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)，簡稱邊緣密度函數(shù)。,例3.2.2 設二維隨機變量(X，Y)服從區(qū)域D上的均勻分布，其中D=(x,y)x0，y0，x+y/21，求其邊緣密度函數(shù)。,解 區(qū)域D為直角三角形，其面積為1，

12、所以(X，Y)的密度函數(shù)為,解 設二維正態(tài)隨機變量 關于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)分別記為fX(x)和fY(y)。 為了計算方便，令,例2.2.3 求二維正態(tài)隨機變量的邊緣密度函數(shù)。,注意到上式中的被積函數(shù)恰好是服從正態(tài)分布 的隨機變量的密度函數(shù),由此看見，二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，而且這兩個邊緣分布都與其中參數(shù)無關。 這表明僅僅由X和Y的邊緣分布，一般不能完全確定二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合分布。,*3.3 條件分布,離散型隨機變量的條件分布 連續(xù)型隨機變量的條件分布,對于二維隨機變量，當其中某一隨機變量的取值確定后，另一隨機變量的分布問題。,離散型隨機變量的條

13、件分布,設離散型隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布為 關于X和Y的邊緣分布列為 P(X=xi)=pi，i=1,2,， P(Y=yj)=pj，i=1,2,， 對某一固定的i，若P(X=xi)=pi0，則稱 為在X=xi的條件下，隨機變量Y的條件分布律。 同樣，對于某一固定的j，若P(Y=yj)=pj，0，則稱 為在Y=yj的條件下，隨機變量X的條件分布律。,,條件分布律的性質： 1、 2、,例3.3.1 在例3.1.1中，求關于X和Y的邊緣分布律及在Y=1的條件下，X的條件分布律。,解 關于X和Y的邊緣分布如下：,在Y=1的條件下有,故在Y=1的條件下，X的條件分布列為,對于任意0，若(x-0，對

14、任意實數(shù)y，極限 存在，則稱它為在給定條件X=x下，隨機變量Y的條件分布函數(shù)，記為,當X和Y是連續(xù)型隨機變量時，事件X=x和Y=y的概率都是0，所以不能直接使用條件概率的公式給出在X=x及Y=y的條件下的條件分布?？紤]隨機變量X落在x的某鄰域內(nèi)的概率，進而給出連續(xù)型隨機變量的條件分布。,連續(xù)型隨機變量的條件分布,若二維隨機變量(X，Y)的概率分布函數(shù)為F(x,y)，密度函數(shù)為f(x,y)，且f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，邊緣分布函數(shù)，密度函數(shù)分別為FX(x)，fX(x)，且fX(x)0連續(xù)，則有,即,若記X=x條件下Y的條件概率密度函數(shù)為 則有,類似的有,其中fY(y)是Y的邊緣密度函數(shù)

15、，fY(y)0，且連續(xù)。,例3.3.2 設二維隨機變量求條件概率密度函數(shù),解 由例3.2.3知,即在X=x條件下Y的條件分布為正態(tài)分布,注意到，這里 是x的線性函數(shù)。,同理可得,例3.3.2 設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為求條件概率密度 以及概率P(Y1/8X=1/4).,解 邊緣密度,則當0

16、數(shù)的定義，上式可以寫成 P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy). 由此，隨機變量X與Y的相互獨立是指對任意實數(shù)x，y，隨機事件Xx與Yy相互獨立。,(X,Y)為離散型隨機變量時 P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)，i,j=1,2,.(X,Y)為連續(xù)型隨機變量時 f(x,y)=fX(x)fY(y),其中f(x,y)，fX(x)，fY(y)分別為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)。,例3.4.1 討論例3.2.1中隨機變量X與Y的獨立性。 解 在有放回抽取的情況下， P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)，i,j=0,1,故X與Y相互獨立；而在無放回的情況下，因為P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0)，所以X與Y不相互獨立。 與直觀解釋一致。,證明 充分性 設=0， 從而X與Y相互獨立。 必要性 設X與Y相互獨立，則對任意的x，y，有 f(x,y)=fX(x)fY(y) 特別令x=1,y=2，則有f(1,2)=fX(1)fY(2)，即 于是 故=0,例3.4.3 設二維隨機變量證明：X與Y相互獨立的充分必要條件是=0.,