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1、第五章 投影變換,重點(diǎn)：掌握平行投影、透視投影以及投影分類的概念。 難點(diǎn)：理解并推導(dǎo)透視投影的變換公式及變換矩陣。 課時(shí)安排：授課4學(xué)時(shí)。,人們觀察自然界的物體時(shí)，所得視覺映像同觀察點(diǎn)、觀察方向有關(guān)。同樣，要用計(jì)算機(jī)生成一幅三維視圖，也需要確定觀察點(diǎn)、觀察方向，還需要將觀察范圍以外的部分圖形裁剪掉。而且，由于圖形輸出設(shè)備通常都是二維的，還必須將三維圖形轉(zhuǎn)換到輸出設(shè)備的觀察平面上，二維圖形基元產(chǎn)生圖形,從三維物體模型描述到二維圖形描述的轉(zhuǎn)換過程稱為投影變換。,,一、投影的概念 投影變換分為平行投影和透視投影兩種： 1、透視投影變換：投影射線匯聚于投影中心，或者說投影中心在有限遠(yuǎn)處的投影。,5.1
2、 投影概念分類,,,,,,（a） 透視投影變換示意圖,即從空間選定的一個(gè)投影中心和物體上每點(diǎn)連直線從而構(gòu)成了一簇射線，射線與選定的投影平面的交點(diǎn)集便是物體的投影。見下圖（a）。,2、平行投影變換：平行投影可以看成投影中心在無限遠(yuǎn)處的投影。見下圖（b）。,（b） 平行投影變換示意圖,,,,,,,,,,投影面,投影中心,,,投影線,A,B,A,B,,投影面,投影中心,,,投影線,A,B,A,B,,,,,,,,透視投影,平行投影,平行投影保持物體的有關(guān)比例不變，這是三維繪圖中產(chǎn)生比例圖畫的方法。物體的各個(gè)面的精確視圖可以由平行投影得到。另一方面，透視投影不保持相關(guān)比例，但能夠生成真實(shí)感視圖。對同樣大
3、小的物體，離投影面較遠(yuǎn)的物體比離投影面較近物體的投影圖象要小，產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的效果。,二、投影的分類,平行投影可根據(jù)投影方向與投影面的夾角分成兩類：正平行投影和斜平行投影。當(dāng)投影方向與投影面的夾角為90時(shí)，得到的投影為正平行投影，否則為斜平行投影, 如下圖所示。,5.2 正平行投影,正平行投影的投影中心是在無限遠(yuǎn)處，且投影射線與投影平面垂直。正平行投影根據(jù)投影面與坐標(biāo)軸的夾角又可分成兩類：正投影(三視圖)和正軸測投影。當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為三視圖，這時(shí)投影方向與這個(gè)坐標(biāo)軸的方向一致。否則，得到的投影為正軸測投影，如下圖所示。,5.2.1 正投影 正投影的投影方向與用戶坐標(biāo)系的某
4、個(gè)坐標(biāo)軸方向平行，即投影方向與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸組成的平面是垂直的。示意圖中給出了立方體的各種正投影。,在觀察坐標(biāo)系中進(jìn)行正投影很方便，因?yàn)槭前碯方向投影，物體的投影圖坐標(biāo)便與它的Z值無關(guān)，所以去掉Z變量便是三維物體的二維投影描述。沿Z方向正投影的變換可表示成：,其中，xo,yo,zo是投影點(diǎn)坐標(biāo)，xo,yo,zo是物體上點(diǎn)的坐標(biāo)。,由于在三視圖上保持了有關(guān)比例的不變性，可以精確地測量長度和角度等量，因此常用于工程制圖。下圖是一個(gè)三視圖投影的例子。,5.2.2 正軸測投影,,正軸測投影的投影方向不與坐標(biāo)軸方向平行。,為了達(dá)到投影要求，需在用戶坐標(biāo)系中安排恰當(dāng)?shù)挠^察坐標(biāo)系位置。假設(shè)觀察坐標(biāo)系與用戶坐
5、標(biāo)系重合。經(jīng)將用戶坐標(biāo)系先繞y軸旋轉(zhuǎn)角，再繞x軸旋轉(zhuǎn)角的變換，形成觀察坐標(biāo)系與用戶坐標(biāo)系的新的位置關(guān)系，如上圖所示。兩坐標(biāo)系之間的變換矩陣為：,在觀察坐標(biāo)系中的正投影是去掉它們的z分量，即可得到正軸測投影的圖形。,常用的正軸測投影有： 1、正等軸測投影 正等軸測投影：投影方向與各坐標(biāo)軸夾角相等的正軸測投影，此時(shí)物體中各邊以相同比例縮小，如圖所示。,,根據(jù)正軸測投影的變換公式（見正軸測投影示意圖），在用戶坐標(biāo)系中， x軸上A點(diǎn)1 0 0 1變換后為： 1 0 0 1H = coppinpin -pincop1 y軸上B點(diǎn)0 1 0 1變換后為： 0 1 0 1H = 0 cop pin 1 z軸
6、上C點(diǎn)0 0 1 1變換后為： 0 0 1 1H = pin -coppin copcop1,在觀察坐標(biāo)系中的正投影是去掉z分量，上述三點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的長度是 ,按正等軸測投影的要求，原用戶坐標(biāo)系中x、y和z方向單位長度 的投影長度應(yīng)相等：AO=BO、CO=BO 即,解上述方程組： ， ， ， ， 所以正等軸測投影變換矩陣為：,2、正二軸測投影 正二軸測投影：投影線與各坐標(biāo)軸的夾角中有兩個(gè)相等，使得物體中有兩個(gè)與坐標(biāo)軸平行的邊等比例縮小的正軸測投影，如圖所示。,,,設(shè)投影線與x軸及y軸的夾角相等，則AO=BO 即,另給一約束條件，設(shè)原用戶坐標(biāo)系中z方向單位長度的投影長度
7、是k，即,解上述方程組： ， ， ， 。從而可以確定投影變換矩陣H。 3、正三軸測投影 正三軸測投影：投影線與各坐標(biāo)軸夾角全不相等，使得物體中三個(gè)與坐標(biāo)軸平行的三條邊各以不同比例縮小的正軸測投影，如圖所示。,5.3 斜平行投影,斜平行投影：是指投影射線方向不與投影平面垂直的平行投影。若投影方向用矢量A，B，C表示，則點(diǎn)(Xo,Yo,Zo)的投影直線可用參數(shù)寫成,以Z=0（Zo=0）的平面作為投影平面時(shí)，射線與投影面的交點(diǎn)滿足t=-Zo/C，所以投影點(diǎn)的坐標(biāo)是: Xp=XoAZo/C和Yp=YoBZo/C。這些變換關(guān)系可寫成： xp yp zp 1=xo yo zo 1
8、Mob,其中,投影方向不垂直于投影平面的平行投影稱為斜平行投影，在斜平行投影中，投影平面一般取坐標(biāo)平面。,,(A,B,C),（xo,yo,zo),,,（xp,yp, zp),,投影線的參數(shù)方程： xp=xo+At yp=yo+Bt zp=zo+Ct,(zp=0, t=-zo/C) xp= XoAZo/C yp=YoBZo/C,常用的斜平行投影有： 1、斜等測投影 斜等測投影：投影方向與投影平面成45的斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平面的線的投影長度不變。 2、斜二測投影 斜二測投影：與投影平面成arctg(1/2)角的斜平行投影，它使垂直投影平面的線產(chǎn)生長度為原來1/2的投影線。,5
9、.4 透視投影,透視投影：投影射線匯聚于投影中心，或者說投影中心在有限遠(yuǎn)處的投影。,,透視投影變換的觀察坐標(biāo)系中（見上圖所示），投影中心處于坐標(biāo)系原點(diǎn)，投影平面與Z軸垂直并距原點(diǎn)距離為d。由相似三角形關(guān)系求得空間點(diǎn)P(x0，y0，z0)和投影平面上投影點(diǎn)P(xP，yP，zP)的坐標(biāo)關(guān)系：,xP=x0d/z0 yP=y0d/z0 zP=d 可見隨著物距z0的增大，投影點(diǎn)的xP和yP將減小。在齊次坐標(biāo)系中這個(gè)變換關(guān)系可寫成如下所示：,xp yp zp w=,由上式得xp yp zp w=x0 y0 z0 z0/d，可見w=z0/d，所以,當(dāng)三維圖形用透視變換投影到投影面上，圖形中與投影面平行的平行
10、線投影后仍保持平行。不與投影面平行的任一組平行線投影后收斂于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為滅點(diǎn)。每一組平行線都有其不同的滅點(diǎn)。一般說來，三維圖形中有多少組平行線就有多少個(gè)滅點(diǎn)。,平行于某一坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)又稱作主滅點(diǎn)。因?yàn)橛蠿、Y和Z三個(gè)坐標(biāo)軸，所以主滅點(diǎn)最多有三個(gè)。當(dāng)某個(gè)坐標(biāo)軸與投影面平行時(shí)，則該坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上的投影仍保持平行，不形成滅點(diǎn)。投影中主滅點(diǎn)數(shù)目由與投影面相交的坐標(biāo)軸數(shù)目來決定，并據(jù)此將透視投影分類為一點(diǎn)、二點(diǎn)或三點(diǎn)透視。一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行；兩點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行；三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。,下圖說明了一個(gè)立方體的一點(diǎn)透視投影和兩點(diǎn)透視投影的情形。,前面的公式推導(dǎo)假設(shè)投影中心在坐標(biāo)原點(diǎn)及投影面與Z軸垂直，對于不符合這種假設(shè)情形的透視投影，其變換關(guān)系的推導(dǎo)方法類似，或首先利用幾何變換方法對投影中心和投影面進(jìn)行變換使其符合這種假定。,
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