[定積分及其應用]之內(nèi)容方法

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1、 ...wd... 第六章(定積分及其應用)之內(nèi)容方法 不定積分是微分的逆運算，其實質(zhì)還是微分，而定積分是無限求和，是真正意義上的積分。它是積分學中的又一非常 基本的概念。連接不定積分與定積分或微分與積分間的橋梁是微積分學 基本定理。 定積分的的定義： （1） 〔1〕分割 （2） 〔2〕作和： （3） 〔3〕取極限：。 定積分的幾何意義：當時，是由曲線，，，所圍的曲邊梯形的面積。 定積分存在定理：假設在上連續(xù)或只有有限個第一類連續(xù)點，則一定存在。 定積分的 基本性質(zhì)：〔1〕

2、對區(qū)間的可加性： =； 〔2〕線性性質(zhì)：； 〔3〕不等式：； 〔4〕估值不等式：， 其中,分別是在上的最小值和最大值； (5)中值定理：假設在上連續(xù)， 則必有一點使得， 稱為積分均值。 變上限積分：假設在上連續(xù)， 則當時，。 由此可見，是的一個原函數(shù)。這樣，它把不定積分和定積分聯(lián)系起來，有時把它稱作微積分學 基本定理。 牛頓—萊布尼茲公式：設連續(xù)，是的一個原函數(shù)，則 。 上述公式也稱為微積分 基本公式，它把定積分的計算問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，從而為定積分的計算提供了有力的工具。 定積分的計算：(1)用定積分的定義； 〔2〕用牛頓—萊布尼茲公式； 〔3〕湊

3、微分法(不必改變上下限)； 〔4〕換元法：令，〔換元換限不換回〕； 〔5〕分部積分法：。 無界函數(shù)的廣義積分的概念： 〔1〕當時，，定義； 〔2〕當時，，定義； 〔3〕當時，，定義 當各式中的極限存在時，稱廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散。 無窮區(qū)間的廣義積分的概念：(1)； 〔2〕； 〔3〕。 當各式中的極限存在時，稱廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散。 定積分的應用： （1） 〔1〕求平面圖形的面積〔曲邊梯形〕及 〔極坐標下角形域〕； （2） 〔2〕平行截面面積的立體體積：； （3） 〔3〕繞軸轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積： 。 （4） 〔4〕曲線的弧長 ; 曲線的弧長為

4、； 曲線的弧長為 ； （5） 〔5〕物質(zhì)曲線：的質(zhì)量為 ； （6） 〔6〕在的平均值：； 在均方根值： （7） 〔7〕變力沿直線做功：。 （8） 〔8〕變速直線運動的路程：。 第六章(定積分的應用)之例題解析 例6.1 (關(guān)于變上積分)：設f (x)在(a ￡ x ￡ b)內(nèi)連續(xù)，且。證明函數(shù) 在(0, +∞)內(nèi)單調(diào)增。 證明： 故在為單調(diào)增。 例6.2 求 解：這是一個型未定式?？煽闯梢評 = cos x 為中間變量的復合函數(shù)。從而。 由洛必塔法則有， =。 例6.3 計算以下積分 1．； 2. ; 3. . 解：1. 原式

5、=。 2. 此題用第二換元法(換元換限不換回)。 令，則1+ln x = t 2 , . 故 原式=)。 3. 解：原式 因為是奇函數(shù)，所以。 又因為是偶函數(shù)， 。 所以 原式 例6.4 假設f (x) 在 [0 , 1] 上連續(xù)， 證明 證明：設則dx = –dt, 且 當x = 0 時，；時，t = 0. 于是 注意：此處用到“定積分與積分變量無關(guān)〞的結(jié)論。 例6.5 證明廣義積分 當a < 1時收斂，當a 3 1時發(fā)散。 證明：x = 0 是函數(shù)的無窮連續(xù)點。 (1) (1)當a < 1時，因 故收斂。 (2) (2)當a =

6、1 時， 故此時積分發(fā)散。同理，當a > 1時，也發(fā)散。 例6.6 計算拋物線y 2 = 2x 與直線y = x – 4 所圍成的圖形的面積。 解：聯(lián)立兩曲線的方程可求得交點為 ( 2, -2 ) 和 (8, 4 ) .根據(jù)區(qū)域的形狀，選取y為積分變量,則所求面積是兩個曲邊梯形之差，即 例6.7 一圓柱形的貯水桶高為5米，底圓半徑為3米，桶內(nèi)盛滿了水。問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功 解：作x軸使其正向朝下，取深度x為積分變量，它的變化區(qū)間為 [ 0, 5 ] ,相應于 [ 0, 5 ] 上任一小區(qū)間 [ x , x + dx ] 的一薄層水的高度為dx .水的比重為9800牛/米 3 ，這薄層水的重力為9800 ′ 3 2 π dx,這薄層水吸出桶外需作之功為dw = ( 9800′ 3 2 π dx ) x . 故所求功為 焦。