《多邊形的內(nèi)角和與外角和》教案 (省優(yōu))2022年華師大版數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

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1、 9.2 多邊形的內(nèi)角和與外角和 教學(xué)目標 【知識與技能】 1.理解多邊形的概念和正多邊形的概念. 2.了解多邊形的內(nèi)角、外角、對角線等概念.3、在熟悉和掌握多邊形內(nèi)角和定理的根底上， 推理并掌握多邊形的外角和定理. 【過程與方法】 經(jīng)歷質(zhì)疑、猜測、歸納等活動，開展學(xué)生的推理能力，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，在探索中學(xué)會 與人合作，學(xué)會和別人交流自己的思想和方法. 【情感態(tài)度】 讓學(xué)生體驗猜測得到證實的喜悅和成就感，在解題中感受生活中數(shù)學(xué)的存在，體驗數(shù)學(xué)中充 滿著探索和創(chuàng)造. 教學(xué)重難點 【教學(xué)重點】 多邊形內(nèi)角和定理的探索和應(yīng)用. 【教學(xué)難點】 多邊形的內(nèi)角和

2、，外角和定理的推導(dǎo). 課前準備 課件 教學(xué)過程 一、情境導(dǎo)入，初步認識 什么叫三角形？你能說出什么叫四邊形、五邊形嗎？三角形如何表示？四邊形和五邊形又是 怎樣表示呢？ 【教學(xué)說明】把學(xué)生的注意力自然的引入研究方向，為課題的研究做鋪墊. 二、思考探究，獲取新知 探究 1 多邊形的概念 三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形.記作：△ABC. 四邊形是由四條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形 . 記作：四邊形 ABCD. 五邊形是由五條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形.記作：五邊形 ABCDE. 一般地，由 n

3、條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為 n 邊形，又稱為多 邊形. 注意：①我們現(xiàn)在只研究多邊形，如圖(2)，(3)； ②圖(4)也是多邊形，但不是我們現(xiàn)在研究范圍. ③與三角形類似，如圖(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四邊形 ABCD 的四個內(nèi)角，∠CBE 和∠ABF 都是與∠ABC 相鄰的外角，兩者互為對頂角，稱為一對外角. 探究 2 正多邊形 如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形. 如：正三角形、正四邊形〔正方形〕、正五邊形等. 連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線. 探究 3 多邊形的內(nèi)角

4、和 我們知道三角形的三個內(nèi)角和是 180 度，那么四邊形、五邊形、六邊形……的內(nèi)角和是多少？ 由以下列圖可以看出，從多邊形的一個頂點引出的對角線把多邊形劃分為假設(shè)干個三角形， 我們一個三角形的內(nèi)角和等于 180 度，這樣我們就可以求出多邊形的內(nèi)角和. 根據(jù)我們的分析，完成下表： 由此，我們可以得出： 【歸納結(jié)論】n 邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°. 探究 4 多邊形對角線的條數(shù) 你能根據(jù)上面的分析，總結(jié)出多邊形對角線的條數(shù)嗎？ 分析：n 邊形從一個頂點可以畫出〔n-3〕 條對角線，n 邊形共有 n 個頂點，這樣 n 邊形一 共可以畫 n〔n-3〕條對角線，但是每條對角

5、線計算了兩遍，所以n 邊形一共有 n(條對角線. 探究 5 多邊形的外角和 與多邊形的每個內(nèi)角相鄰的外角分別有兩個，這兩個外角是對頂角，從與每個內(nèi)角相鄰的兩 個外角中分別取一個相加，得到的和稱為多邊形的外角和. 如圖(1)四邊形 ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4 分別是四個外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4 的度數(shù). 因為∠1+∠DAB=∠2+∠CBA=∠3+∠DCB=∠4+∠ADC=180° 又因為∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°〔四邊形內(nèi)角和等于 360°〕所以∠1+∠2+∠ 3+∠4=360°. 所以四邊形的外角和等于 360°. 根據(jù) n 邊形的每一個內(nèi)角與它相

6、鄰的外角互為補角，就可以求得 n 邊形的外角和，填 表： 【歸納結(jié)論】任意多邊形的外角和都為 360°. 【教學(xué)說明】我們是把多邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形，再由三角形內(nèi)角和為180°，求出多邊 形內(nèi)角和與外角和，從而使問題得到解決！ 三、運用新知，深化理解 1.如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的 3 倍，那么這個多邊形是〔 〕 ∶2，那么 n 為〔 〕 A.6 B.7 C.8 ∶1，那么這個多邊形是〔 〕 A.正六邊形 C.正十邊形 度，四個內(nèi)角中最多可有 個銳角. ∶3∶5∶6，那么這個四邊形各內(nèi)角順次 是 度. 6.多邊形的每

7、一個內(nèi)角都相等，它的一個外角等于正十邊形的一個內(nèi)角的 .求這個多邊形的邊數(shù). 7.(1)一個多邊形的內(nèi)角和等于 2340°，求它的邊數(shù)； (2)一個正多邊形的一個內(nèi)角為 150°，你知道它是幾邊形嗎？ °，求這個正多邊形的邊數(shù). 9.(1)四邊形有幾條對角線？ (2)五邊形有幾條對角線？六邊形呢？n 邊形呢？ °，求(1)這個多邊形的邊數(shù)，(2)過一個頂點有幾條對角線，(3)總對角線條數(shù). 【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)今天所學(xué)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果. 【答案】 4.360, 3 5.24，72，120，144 6. 6 7.解：(1)設(shè)邊數(shù)為 n，那么有 (n-2)·18

8、0°=2340° n-2=13, n=15； (2)設(shè)這個多邊形為 n 邊形，那么有(n-2)·180°=150°n n=12 這個多邊形是十二邊形. 8.分析：正多邊形的各個內(nèi)角都相等，那么各個外角也都相等，而多邊形的外角和是 360°. 解：設(shè)一個外角為 x°，那么內(nèi)角為(x+36)° 因為多邊形的內(nèi)角與相鄰的外角互補； 所以 x°+x°+36°=180° 解得 x°=72° 360°÷72°=5 答：這個多邊形是五邊形. 9.解：(1)四邊形有兩條對角線. (2)如圖 2，以 A 為頂點的對角線有兩條 AC、AD 同樣以 B 為端點的對角線也有 2 條，以 C 為

9、 端點也有 2 條，但 AC 與 CA 是同一條線段，以 D 為端點的兩條 DA、DB 與 AD、BD 分別表示同 一條線段，所以只有 5 條，以此類推六邊形有 9 條對角線，從以上分析可知從 n 邊形的一個 頂點引對角線，可以引(n-3)條，那么 n 個頂點就有 n(n-3)條，但其中每一條都重復(fù)計算一 次，所以 n 邊形一共有條對角線. 10.解：(1)(n-2)·180°=1440° ? ? n=10 (2)n-3=10-3=7 答：這個多邊形是十邊形，過一個頂點的對角線有 7 條，共有 35 條對角線. 四、師生互動，課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想而后

10、以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補充. 課后作業(yè) 1.布置作業(yè):教材第 88 頁“習(xí)題 9.2〞中第 1 、2、3 題. 2.完成練習(xí)冊中本課時練習(xí). 五、教學(xué)反思 本節(jié)課通過把多邊形劃分成假設(shè)干個三角形，用三角形內(nèi)角和去求多邊形的內(nèi)角和，從而得 到多邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)·180°°，與邊數(shù)無關(guān)，所以常把多邊形內(nèi)角的問題轉(zhuǎn)化為 外角和來處理.通過練習(xí)情況來看學(xué)生本節(jié)課掌握的較好. 第 2 課時  三角形的三邊關(guān)系 1．掌握三角形按邊分類方法，能夠判定三角形是否為特殊的三角形； 2．探索并掌握三角形三邊之間的關(guān)系，能夠運用三角形的三邊關(guān)系解決問題

11、．(難點) 一、情境導(dǎo)入 數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)．觀察下面的圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 問：你能不能給三角形下一個完整的定義？ 二、合作探究 探究點一：三角形按邊分類 以下關(guān)于三角形按邊分類的集合中，正確的選項是( ) 解析： ì不等邊三角形 三角形根? í等腰三ì?只有兩邊相等的三角形 據(jù)邊分類 í ?角形 ??三邊相等的三角形〔等邊三角形〕 應(yīng)選 D. 方法總結(jié)：三角形按邊分類，分成不等邊三角形與等腰三角形，知道等邊三角形是特殊 的等腰三角形是解此題的關(guān)鍵． 探究點二：三角形中三邊之間的關(guān)系 【類型一】 判定三條線段能

12、否組成三角形 以以下各組線段為邊，能組成三角形的是( ) A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 解析：選項 A 中 2＋3＝5，不能組成三角形，故此選項錯誤；選項 B 中 5＋6＞10，能 組成三角形，故此選項正確；選項C 中 1＋1＜3，不能組成三角形，故此選項錯誤；選項D 中 3＋4＜9，不能組成三角形，故此選項錯誤．應(yīng)選 B. 方法總結(jié)：判定三條線段能否組成三角形，只要判定兩條較短的線段長度之和大于第三 條線段的長度即可． 【類型二】 判斷三角形邊的取值范圍 一個三角形的三邊長分別為 4，7

13、，x，那么 x 的取值范圍是( ) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 解析：∵三角形的三邊長分別為 4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即 3＜xA. 方法總結(jié)：判斷三角形邊的取值范圍要同時運用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第 三邊． 【類型三】 三角形三邊關(guān)系與絕對值的綜合 假設(shè) a，b，c 是△ABC 的三邊長，化簡|a－b－c|＋|b －c－a|＋|c＋a－b|. 解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來判定絕對 值里的式子的正負，然后去絕對值符號進行計算即可． 解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三

14、邊，得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋ a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b. 方法總結(jié)：絕對值的化簡首先要判斷絕對值符號里面的式子的正負，然后根據(jù)絕對值的 性質(zhì)將絕對值的符號去掉，最后進行化簡．此類問題就是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，判斷絕對 值符號里面式子的正負，然后進行化簡． 三、板書設(shè)計 1．三角形按邊分類： 有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，三邊互不相 等的三角形是不等邊三角形． 2．三角形中三邊之間的關(guān)系： 三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊． 本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷一個探究解決問題的過程，抓住“任意的三條線段能不能圍成一個 三角形〞引發(fā)學(xué)生探究的欲望，圍繞這個問題讓學(xué)生自己動手操作，發(fā)現(xiàn)有的能圍成，有的 不能圍成，由學(xué)生自己找出原因，為什么能？為什么不能？初步感知三條邊之間的關(guān)系，重 點研究“能圍成三角形的三條邊之間到底有什么關(guān)系〞．通過觀察、驗證、再操作，最終發(fā) 現(xiàn)三角形任意兩邊之和大于第三邊這一結(jié)論．這樣教學(xué)符合學(xué)生的認知特點，既增加了學(xué)習(xí) 興趣，又增強了學(xué)生的動手能力