2014-2015學年八年級數(shù)學下冊 第1章 第3節(jié)《線段的垂直平分線》教學設計2 （新版）北師大版

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1、線段的垂直平分線 一、學生知識狀況分析 通過對前面相關內(nèi)容的學習，學生對如何證明一個命題已經(jīng)積累一些經(jīng)驗并掌握了必要的方法。但是要證明三角形三邊垂直平分線交于一點對學生來說還是較抽象的，因此，教學時，教師對此不要操之過急，應逐步引導學生理解． 二、教學任務分析 在上一節(jié)課，學生已經(jīng)掌握了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理，本節(jié)課的主要任務是性質(zhì)和判定的應用。因此本節(jié)課的目標為： 1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點 2.經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出符合條件的三角形． 3.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力．體驗解決問題的方法，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新意識．

2、4.學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果． 教學重點、難點 重點： ①能夠證明與線段垂直平分線相關的結(jié)論． ②已知底邊和底邊上的高，能利用尺規(guī)作出等腰三角形． 難點：證明三線共點。 三、教學過程分析 本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：例題解析；第三環(huán)節(jié)：引申拓展； 第四環(huán)節(jié)：動手操作；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習；第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié) ；第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。 1：情景引入 活動內(nèi)容：尺規(guī)作圖作三條邊的垂直平分線。 活動目的：讓學生利用自己的動手體會三類三角形三條邊的垂直平分線交于一點的正確性。 活動過程： 教師提問：“[利用尺規(guī)作三角形

3、三條邊的垂直平分線，當作完此題時你發(fā)現(xiàn)了什么?(教師可用多媒體演示作圖過程)” “三角形三邊的垂直平分線交于一點．”、“這一點到三角形三個頂點的距離相等．”等都是學生可以發(fā)現(xiàn)的直觀性質(zhì)。 下面請同學們剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流． 教師質(zhì)疑：“這只是用我們的眼睛觀察到的，看到的一定是真的嗎？我們還需運用公理和已學過的定理進行推理證明，這樣的發(fā)現(xiàn)才更有意義．” 這節(jié)課我們來學習探索和線段垂直平分線有關的結(jié)論． 上述活動中，教師要注意多畫幾種特殊的三角形讓學生親自體驗和觀察結(jié)論的正確性。 2：例題解析 （1

4、）教師引導學生分析，尋找證明方法。 我們要從理論上證明這個結(jié)論，也就是證明“三線共點”，但這是我們沒有遇到過的．不妨我們再來看一下演示過程，或許你能從中受到啟示． 通過演示和啟發(fā)，引導學生認同：“兩直線必交于一點，那么要想證明‘“三線共點’，只要證第三條直線過這個交點或者說這個點在第三條直線上即可．” 雖然我們已找到證明“三線共點”的突破口，詢問學生如何知道這個交點在第三邊的垂直平分線上呢? 師生共析，完成證明 （2）討論結(jié)束后，學生書寫證明過程。教師點評，注意幾何符號語言的規(guī)范性。 已知：在△ABC中，設AB、BC的垂直平分線交于點P，連接AP，BP，CP． 求證：P點在AC

5、的垂直平分線上． 證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上， ∴PA=PB(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)． 同理PB=PC． ∴PA=PC． ∴P點在AC的垂直平分線上(到線段兩個端點距離相等的點.在這條線段的垂直平分線上)． ∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點P． 進一步設問：“從證明三角形三邊的垂直平分線交于一點，你還能得出什么結(jié)論?” （交點P到三角形三個頂點的距離相等．） （3）多媒體演示我們得出的結(jié)論： 定理　　三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等 3.引申拓展 (1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三

6、角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎? (2)已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎? (3)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個? 學生通過小組討論，并嘗試作出草圖，驗證自己的結(jié)論。 由學生思考可得：（1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，能作出三角形，并且能作出無數(shù)多個，如下圖： 已知：三角形的一條邊a和這邊上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h 從上圖我們會發(fā)現(xiàn)，先作已知線段BC=a；然后再作BC邊上的高h，但垂足不確定,我們可將垂足取在線段BC上或其

7、所在直線上的任意一點D，過此點作BC邊的垂線，最后以D為端點在垂線上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，連接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都滿足條件，所以這樣的三角形有無數(shù)多個．觀察還可以發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等．（見幾何畫板課件） （2）如果已知等腰三角形的底邊，用尺規(guī)作出等腰三角形，這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，因為只要作已知等腰三角形底邊的垂直平分線，取它上面的任意一點，和底邊的兩個端點相連接，都可以得到一個等腰三角形． 另外有學生補充：“不是底邊垂直平分線上的任意一點

8、都滿足條件，如底邊的中點在底邊上，不能構成三角形，應將這一點從底邊的垂直平分線上挖去．” （3）如果底邊和底邊上的高都一定，這樣的等腰三角形應該只有兩個，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)． l 例題學習 已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形． 已知：線段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h 作法：1．作BC=a； 2．作線段Bc的垂直平分線MN交BC于D點； 3．以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點； 4．連接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形(如圖所示)． l 做一做：課本第25頁：教師引導學生分析作出草圖，注意對學生作法敘述的準確

9、性加以更正。 4.動手操作 （1）例題：已知直線 l 和 l 上一點 P，用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過點 P. 學生先獨立思考完成，然后交流：說出做法并解釋作圖的理由。 （2）拓展：如果點 P 是直線 l 外一點，那么怎樣用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過點 P 呢？說說你的作法，并與同伴交流. 5.隨堂練習:：習題1.8第1、2題。 6.課時小結(jié) 本節(jié)課通過推理證明了“到三角形三個頂點距離的點是三角形三條邊的垂直平分線的交點，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點”的結(jié)論，并能根據(jù)此結(jié)論“已知等腰三角形的底和底邊的高，求作等腰三角形”． 7.課后作業(yè) 習題1．8第3、4題 四、教學反思 本節(jié)課證明了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并能利用尺規(guī)作出已知線段的垂直平分線．已知等腰三角形的底邊和高作出符合條件的等腰三角形，從尺規(guī)作圖，邏輯推理多層次地理解并證明了三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三角形三個頂點的距離相等。