2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 抽象函數(shù) 理

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1、化抽象為具體-抽象函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化方法 抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則的函數(shù)問(wèn)題。對(duì)考查學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，有著十分重要的作用。2005高考北京卷、遼寧卷、廣東卷等各有一個(gè)抽象函數(shù)解答題，同樣2006高考重慶卷、遼寧卷、安徽卷等也出現(xiàn)抽象函數(shù)?；橄鬄榫唧w,聯(lián)想類比思維都有助于問(wèn)題的思考和解決。 一、數(shù)形結(jié)合使抽象函數(shù)具體 一般地講，抽象函數(shù)的圖象為示意圖居多，有的示意圖可能只能根據(jù)題意作出n個(gè)孤立的點(diǎn)，但通過(guò)示意圖卻使抽象變形象化，有利于觀察、對(duì)比、減少推理、減小計(jì)算量等好處。 例1、設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

2、若當(dāng)x時(shí)，是增函數(shù)且f(2)=o 求不等式x的解。 分析：f(x)的圖像如圖所示 x>0時(shí)2

3、 利用對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合，可使抽象函數(shù)問(wèn)題迎刃而解。 二、利用單調(diào)性定義使問(wèn)題具體 加上函數(shù)符號(hào)f即為“穿”，去掉函數(shù)符號(hào)f即為“脫”。對(duì)于有些抽象函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)符號(hào)的“穿脫”，以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。 例3已知f(x)是定義在（0，）上的增函數(shù)，且f()=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不等式。f(x+5)- f()<2 分析：由f(6)=1，f()=f(x)-f(y)得：f()=f(36)-f(6)，所以f(36)=2。而 f(x+5)- f()<2“穿”f號(hào)得f(x+5)- f()

4、，“脫”得x。 在結(jié)合函數(shù)的定義域可得：0

5、以由f(x)=logax(0＜a＜1）理解題意顯然不當(dāng)，但是只要稍加變通，可以發(fā)現(xiàn)用f(x)=loga|x︳理解題意較為恰當(dāng)，第（3）小題解不等式就可與解對(duì)數(shù)不等式類比處理。 （1）令x=y=1得f(1)=0，令x=y= -1得f(-1)=0； （2）令y= -1得f(-x)=f(x)； （3）f(6)= f()+f() =2 ∵f(x)為偶函數(shù)，∴f（x）+f（x+5)=f（|x|）+f（|x+5 |）=f（|x(x+5)|）≤f（6）。 o<|x(x+5)| ≤6 ∴ 例4、已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞

6、1，求證：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1；（2）f(x)在x∈R上是減函數(shù)。 分析：由f（x）= ax(0＜a＜1）理解題意。 （1）令x=y=0得f（0）=f 2（0），又f（0）≠0，f（0）=1，再令y=-x得f（x）（-x）=1，∵當(dāng)時(shí)x＞0時(shí)，f（-x）＞1，∴0＜f（x）＜1； （2）受指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性啟發(fā)得，x＜0時(shí)，f（x）＞1；x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1；x=0時(shí)，f（x）≠0，f（x）＞0。又∵f(x+y)=f(x)f(y), (x、y∈R) ,設(shè)x1＜x2，x+y= x1 ,x= x2則f(x1-x2)＞1，∵f(x2)＞0∴f(x1)＞f(x2),因此，f(x

7、)在x∈R上是減函數(shù)。 四、賦值策略使問(wèn)題具體 抽象函數(shù)常常以函數(shù)方程的形式出現(xiàn)，解決這類問(wèn)題的時(shí)候讓變量取一些特殊值或特殊式，從而使問(wèn)題解決，并具有一定的規(guī)律性。 例5．如果且，則 （ ） A. 1002 B. 1003 C. 2004 D. 2006 分析：所求的是函數(shù)值分式的和，從已知式變形知函數(shù)值商等于自變量值差的函數(shù)。 1003個(gè) 解： 例6 設(shè)f(x)是區(qū)間(0,1)上的函數(shù)，且同時(shí)滿足：①對(duì)任意x?(0,1)，恒有f(x)>0；②對(duì)于任意,恒有+￡2.試證明：（I）對(duì)任意x?(0,1)

8、都有；（II）對(duì)任意都有. 解：（Ⅰ）令，由②知+￡2， 由①知+32，+=2. 上式取等號(hào)時(shí)=1，故. （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）得，++， ，同理，. 例．7已知定義在R上的函數(shù)滿足： （1） 值域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)， （2）對(duì)于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)，均滿足： 試回答下列問(wèn)題： （Ⅰ）試求的值； （Ⅱ）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅲ）若函數(shù)存在反函數(shù)，求證：． 講解：（Ⅰ）在中，令，則有．即：． 也即：． 由于函數(shù)的值域?yàn)?，所以，，所以? （Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有 ？（＊） 這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是：是否成立？ 為此，我們

9、首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關(guān)系．由于，所以，在中，令，得． 所以，函數(shù)為奇函數(shù)．故（＊）式成立．所以，． 任取，且，則，故且．所以， 所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減． （Ⅲ）由于函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)必存在反函數(shù)，由原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知：也為奇函數(shù)；在上單調(diào)遞減；且當(dāng)時(shí)，． 為了證明本題，需要考慮的關(guān)系式． 在（＊）式的兩端，同時(shí)用作用，得：， 令，則，則上式可改寫為： ． 不難驗(yàn)證：對(duì)于任意的，上式都成立．（根據(jù)一一對(duì)應(yīng)）． 這樣，我們就得到了的關(guān)系式．這個(gè)式子給我們以提示：即可以將寫成的形式，則可通過(guò)裂項(xiàng)相消的方法化簡(jiǎn)求證式的左端． 事實(shí)上，由于 ， 所以，． 所以， 點(diǎn)評(píng)：一般來(lái)說(shuō)，涉及函數(shù)奇偶性的問(wèn)題，首先應(yīng)該確定的值．