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1、6-1 梁彎曲時的正應(yīng)力,6-2 慣性矩的計算,6-3 梁彎曲時的強度計算,6-4 梁彎曲時的切應(yīng)力,6-5 提高彎曲強度的措施,第六章 彎曲應(yīng)力,,梁橫截面上 與彎矩M對應(yīng)， 與剪力F對應(yīng)。,純彎曲 (pure bending) 梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應(yīng)的正應(yīng)力。,6-1 梁彎曲時的正應(yīng)力,一、彎曲分類,橫力彎曲 (bending by transverse force) 梁橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)的，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、 純彎曲時的正應(yīng)力,計算公式的推導(dǎo),(1) 幾何關(guān)系變形與應(yīng)變,
2、觀察在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁，研究其表面變形情況,. 彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb，在梁彎曲后成為弧線，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；,. 相鄰橫向線mm和nn，在梁彎曲后仍為直線，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。,根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：,平面假設(shè) 梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。,此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實。,橫截面的
3、轉(zhuǎn)動使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層 (圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉(zhuǎn)動的軸 中性軸 (neutral axis)。,（f),令中性層的半徑為r(如圖c)，則有,3縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 圖c為由相距d x的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動了角dq。梁的橫截面上距中性軸 z為任意距離 y 處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為,(c),(2)物理關(guān)系力與變形（應(yīng)力、應(yīng)變）,梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作（胡克定律），且拉、壓彈性模量相同時，有,
4、這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按線性規(guī)律變化,即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應(yīng)變e與該點至中性軸的距離 y 成正比。,(3)靜力學(xué)關(guān)系 應(yīng)力與內(nèi)力。,梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d )不可能組成軸力( )，也不可能組成對于與中性軸垂直的y 軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩( )，只能組成對于中性軸 z 的內(nèi)力偶矩，即,(d),將 代入上述三個靜力學(xué)條件，有,(a),(b),(c),以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，屬于截面的幾何性質(zhì)，而,其中,為截面對于z軸的靜矩(static moment of
5、an area)或一次矩（形心計算公式），其單位為m3。,為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。,為截面對于z軸的慣性矩(moment of inerita of an area)或二次軸矩，其單位為m4。,由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而該兩式要求：,1. 橫截面對于中性軸 z 的靜矩等于零， ；顯然這是要求中性軸 z 通過橫截面的形心；,2. 橫截面對于 y 軸和 z 軸的慣性積等于零， ；在對稱彎曲情況下，y 軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。,(a),(b),(c),由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為,上式中的EIz稱為梁的抗彎剛度（對
6、Z軸）。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M 不隨截面位置變化。,將上式代入得出的式子 即得彎曲正應(yīng)力計算公式：,(c),應(yīng)用此式時，如果如圖中那樣取 y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中 y 的正負(fù)，則在彎矩 M 按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的 y 看作求應(yīng)力的點離中性軸 z 的距離。,中性軸 z 為橫截面對稱軸的梁 (圖a，b) 其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸 z 不是橫截面對稱軸的梁 (圖c) ，其橫
7、截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。,中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為,式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)（對Z軸）(section modulus in bending)，其單位為m3。,中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為,(1) 矩形截面,,簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù),思考: 一長邊寬度為 b，高為 h 的平行四邊形，它對于形心軸 z 的慣性矩是否也是 ？,(2) 圓截面,在等直圓桿扭轉(zhuǎn)問題中已求得：,而由圖可見，2=y2+z2 , 從而知,而彎曲截面系數(shù)為,根據(jù)對稱性可知，
8、原截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得,(3) 空心圓截面,由于空心圓截面的面積等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有,式中， 。,根據(jù)對稱性可知：,思考： 空心圓截面對于形心軸的慣性矩就等于大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？,而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為,純彎曲理論的推廣,工程中實際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和
9、縱向線之間無擠壓的假設(shè)實際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當(dāng)其跨長與截面高度之比 大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時的正應(yīng)力計算公式用于橫力彎曲情況，即,例題6-1 圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150 kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax。,,,,解：在不考慮梁的自重( )的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應(yīng)的最大彎矩值為,,,,由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面,于是有,顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為,而危險截面上的最大
10、正應(yīng)力變?yōu)?遠(yuǎn)小于外加荷載F 所引起的最大正應(yīng)力。,如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)?工程中常遇到由基本圖形構(gòu)成的組合截面，例如下面例題中所示的兩種橫截面。當(dāng)對組合截面桿件計算在外力作用下的應(yīng)力和變形時需要求出它們對于形心軸x，y (本節(jié)中的x軸就是以前我們所用的z軸) 的一些幾何性質(zhì)，例如：,慣性矩 (moment of inertia),慣性積 (product of inertia),6-2 慣性矩的計算,在已知構(gòu)成組合截面的每一圖形對于通過其自身形心且平行于組合截面某個軸(例如x軸)的慣性矩時，組合截面的慣性矩可利用平行移軸公式求得。組
11、合截面對于某對相互垂直的軸(例如x，y軸)的慣性積也可類似地求得。,x,,已知任意形狀的截面(如圖)的面積A以及對于形心軸xC和yC的慣性矩 及慣性積 ，現(xiàn)需導(dǎo)出該截面對于與形心軸xC ， yC平行的x軸和y軸的慣性矩Ix，Iy和慣性積Ixy。截面的形心C在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為,1. 慣性矩和慣性積的平行移軸公式,因截面上的任一元素dA在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為,于是有,注意到xC軸為形心軸，故上式中的靜矩 等于零，從而有,同理可得,以上三式就是慣性矩和慣性積的平行移軸公式。需要注意的是式中的a，b為坐標(biāo)，有正負(fù)，應(yīng)用慣性積平行移軸公式時要特別注意。,2. 組合截面的慣性矩及慣性積,若組合
12、截面由幾個部分組成，則組合截面對于x，y兩軸的慣性矩和慣性積分別為,x,例題6-2 試求圖a所示截面對于x軸的慣性矩Ix ，對于y軸的慣性矩Iy ，以及對于x，y軸的慣性積Ixy 。,(a),解：將截面看作由一個矩形和兩個半圓形組成，半圓形的形心位置如圖b所示。,(1)求Ix,設(shè)矩形對x軸的慣性矩為 ，每個半圓形對x軸的慣性矩為 ，則有,其中：,至于 則需先求出半圓形對其自身形心軸的慣性矩。根據(jù)平行移軸公式可得 ，而半圓形對于直徑軸x(圖b)的慣性矩等于圓形對x軸的慣性矩 的一半，于是得,然后再利用平行移軸公式求半圓形對x軸的慣性矩：,將 d = 80 mm，a = 100 mm 代入
13、后得,從而得圖a所示截面對x軸的慣性矩：,（2） 求Iy,此組合截面的y軸就是矩形和半圓形的形心軸，故不必應(yīng)用平行軸公式而有,將 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得,（3） 求 Ixy,由 可知，只要x 軸或y 軸為截面的對稱軸，則由于與該軸對稱的任何兩個面積元素dA的慣性積xydA數(shù)值相等而正負(fù)號相反，致使整個截面的慣性積必定等于零。圖a所示截面的x 軸和y 軸都是對稱軸，當(dāng)然Ixy=0。,6-3 梁彎曲時的強度計算,等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應(yīng)力也等于零或其值很小(詳見下
14、節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可以忽略不計。因此可以認(rèn)為梁的危險截面上最大正應(yīng)力所在各點系處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強度條件：,式中，s為材料的許用彎曲正應(yīng)力。,對于中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強度條件可寫作,由拉、壓許用應(yīng)力st和sc不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力st和許用壓應(yīng)力sc 。,(a),(b),例題6-3 圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正
15、應(yīng)力s=152 MPa 。試選擇工字鋼的號碼。,,,,,,解：在不計梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示,,,,,,強度條件 要求：,此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。,由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為,此時危險截面上的最大工作應(yīng)力為,其值超過許用彎曲應(yīng)力約4.6%。工程實踐中，如果最大工作應(yīng)力超過許用應(yīng)力不到5%，則通常還是允許的。,如果計入梁的自重 ，危險截面仍在跨中，相應(yīng)的最大彎矩則為,例6-4,如圖所示一個鑄鐵梁，求此梁的最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力,1、計算約束力,2、畫出剪力彎矩圖,？最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力是否都發(fā)生在截面 C,,,3、計算截面
16、的幾何性質(zhì),設(shè)截面的形心位于 O 點,,,,,,,4、應(yīng)力計算,考察C截面，彎矩為正,C截面下邊受拉上邊受壓,4、應(yīng)力計算,考察B截面，彎矩為負(fù),B截面上邊受拉下邊受壓,至此，該問題中最大拉應(yīng)力位于B截面的上邊緣，而最大壓應(yīng)力位于C截面的上邊緣,一、 矩形截面梁的切應(yīng)力公式推導(dǎo)*,儒拉夫斯基假設(shè),1）截面上任意一點的切應(yīng)力 t 的方向和該截面上的剪力FQ的方向平行。,2）切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即t 的大小只與距離中性軸的距離有關(guān)。,6-4 梁彎曲時的切應(yīng)力,,,取簡支梁中dx的微段進(jìn)行受力分析,若所切微段上無橫向外力作用，則兩截面的剪力相等。,則該微段上的應(yīng)力分布如圖,彎矩不同，兩側(cè)截面上的正
17、應(yīng)力也不相同,按照儒拉夫斯基假設(shè)，切應(yīng)力和剪力平行。,,,為了研究橫截面上距離中性層 y 處的切應(yīng)力t的數(shù)值，可在該處用一個平行于中性層的縱截面pp1，將微段的下半部分截出。,研究 x 方向的平衡,距中性軸為 y 處的橫線以外部分橫截面積A1對中性軸的靜矩。,同理可得,研究 x 方向的平衡,頂邊分布的切應(yīng)力的合力 dF的大小,由,橫截面上的剪力,整個截面對中性軸的慣性矩,梁橫截面上距中性軸為 y 的橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩,所求切應(yīng)力點的位置的梁截面的寬度。,上述公式對組合矩形截面梁亦可使用。,對于矩形截面梁，公式可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換,這樣，公式可以改寫為,在截面的兩端，y = h/2,在中性
18、層，y =0,如圖切應(yīng)力分布規(guī)律,二、特殊界面切應(yīng)力,1. 矩形截面梁,2.工字形截面梁,工字形截面由翼緣和腹板組成,上翼緣,下翼緣,腹 板,由于腹板截面是狹長矩形，因此儒拉夫斯基假設(shè)仍然適用，若要計算腹板上距中性軸y處的切應(yīng)力，Sz*是圖中黃色部分面積對中性軸的靜矩。,經(jīng)計算可得公式為,沿高度的分布規(guī)律如圖,結(jié)果表明，腹板幾乎全部承擔(dān)了橫截面上的剪力，且最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力相差不大，因此接近均勻分布。,3.圓形圓環(huán)形截面梁,根據(jù)分析結(jié)果，圓形和圓環(huán)形截面梁的最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，并且沿中性軸均勻分布，其值分別為:,圓形截面,圓環(huán)形（薄壁）截面,4. T形截面梁,T形截面梁上的切應(yīng)力
19、分布規(guī)律如圖所示：,最大切應(yīng)力位于中性軸，大小為:,橫截面中性軸z一側(cè)面積（上部或下部對z軸的靜矩）,腹板寬度,例6-5,如圖所示矩形截面梁，已知,求 危險截面上a、c、d、e、f 五點的正應(yīng)力和切應(yīng)力,1）確定危險截面，首先畫出剪力彎矩圖,危險截面位于B截面右側(cè),2）計算截面慣性矩,3）計算正應(yīng)力,拉,拉,位于中性軸,壓,壓,3）計算切應(yīng)力,一、合理配置梁的荷載和支座,,6.5 提高彎曲強度的措施,二、合理選取截面形狀,(1) 盡可能使橫截面上的面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，以使彎曲截面系數(shù)Wz增大。,由四根100 mm80 mm10 mm不等邊角鋼按四種不同方式焊成的梁(角鋼的長肢均平放，故四
20、種截面的高度均為160 mm)，他們在豎直平面內(nèi)彎曲時橫截面對于中性軸的慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz如下：,圖a所示截面,圖b所示截面,圖c所示截面,圖d所示截面,(2) 對于由拉伸和壓縮許用應(yīng)力值相等的材料 (例如建筑用鋼) 制成的梁，其橫截面應(yīng)以中性軸為對稱軸。對于在壓縮強度遠(yuǎn)高于拉伸強度的材料(例如鑄鐵)制成的梁，宜采用T形等對中性軸不對稱的截面，并將其翼緣置于受拉一側(cè)，如下圖。,例 4-18 圖,為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設(shè)計為,因,即,,三、合理設(shè)計梁的外形,可將梁的截面高度設(shè)計成考慮各截面彎矩大小變化的變截面梁；若使梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的許用應(yīng)力，則這種變截面梁稱為等強度梁。,,,,
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