天津市2013屆高三數(shù)學總復習 綜合專題 數(shù)列求和（學生版）

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1、數(shù)列求和 概述：先分析數(shù)列通項的結構特征，再利用數(shù)列通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項和，即求和抓通項。 1、直接（或轉化）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求和 思路：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。 ①等差數(shù)列求和公式：； ②等比數(shù)列求和公式：； ③； ④； ⑤。 2、逆序相加法 思路：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加。（即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣） 例1：設函數(shù)的圖象上有兩點，若，且點的橫坐標為。 （1）求證：點的縱坐標為定值，并求出這個定值； （2）若 3、錯位相減法 思路：設數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則求的前項和可用錯

2、位相減法。 例2：在數(shù)列中，，其中。 （1）求數(shù)列的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和。 4、裂項相消法 思路：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。一般地，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，。 常見的通項分解（裂項）如下： ①，（當時，通項裂項后求和是隔項相消的，注意觀察剩余項） ；（通項裂項后求和是逐項相消的，剩余的是所裂項的首項和末項） ②； ③等。 例3：求數(shù)列的前項和。 補充練習：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為，數(shù)列的前項和為，

3、點均在函數(shù)的圖象上。 （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整 數(shù)。 5、并項求和法 思路：將擺動數(shù)列相鄰兩項（或若干項）合并成一項（或一組），得到一個新數(shù)列，再利用直接法求這個 新數(shù)列的和。一般來說，擺動數(shù)列求和的基本模型是。當這個擺動數(shù)列是正負或負正相間時，要對為奇數(shù)或偶數(shù)進行分類討論；當這個擺動數(shù)列是正正負負或負負正正或正負正負或負正負正相間時，要對順次進行分類討論。 注：一個數(shù)列，若從第2項起，有些項大于其前一項，有些項小于其前一項，這樣的數(shù)列叫擺動數(shù)列。 例4：求。 例5：在數(shù)列與中，，，數(shù)列的前項和滿足，且為與的等比中項，。 （1）求，的值； （2）求數(shù)列與的通項公式； （3）設，，證明，。 6、分組求和法 思路：將既非等差，也非等比的數(shù)列適當拆分為幾個等差、等比或常見數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。 例6：數(shù)列的前項和，數(shù)列滿。 （1）證明數(shù)列為等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的前項和。 綜合習題： 1、計算 （1）； （2）。 2、求。 3、求。 4、已知數(shù)列滿足的值。