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1、第3章 多維隨機向量及其概率分布,3.1 隨機向量及其聯(lián)合分布函數(shù),3.3 隨機向量的獨立性,3.2 二維離散型和連續(xù)型隨機向量,3.4 隨機向量的函數(shù)及其概率分布,3.1 隨機向量及其聯(lián)合分布函數(shù),一、多維隨機向量,,,以后除非特別聲明，一般只討論二維隨機向量,,,,,同樣，從右邊的圖中，不難得到,,,,,,,,,實例1 炮彈的彈著點的位置 ( X, Y ) 就是一個二維隨機變量.,二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與 X 、Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系.,實例2 考查某一地 區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機變量 ( H,
2、W ).,說明,實例3,X,Y,Z 都是隨機變量，則稱(X,Y,Z )是三維隨機向量.,在三維空間中，飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量 (三個坐標X,Y,Z ）來確定的.,二、隨機向量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),,,不難驗證其具有如下性質(zhì),,,,,,,,,定義2.,,,,三、隨機向量的邊緣分布函數(shù),,,設(shè),,邊緣分布函數(shù)也稱為邊際分布函數(shù)或邊沿分布函數(shù),3.2 二維隨機離散型和連續(xù)型隨機向量1,為討論方便，仍然只分離散型和連續(xù)型兩大類,一、二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布,定義1. 若隨機變量X和Y的所有可能取值為有限個或可列個，則稱(X,Y)為二維離散型隨機向量.,設(shè)X的所有可能取值為,,Y的
3、所有可能取值為,,則稱,,為二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合概率分布,聯(lián)合概率函數(shù)的表格形式，稱為(X,Y)的聯(lián)合分布律或聯(lián)合分布列,二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率函數(shù)具有下列性質(zhì):,,,二維離散型隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)為,,例1,一袋中裝有2只白球和3只黑球,進行有放回取球,,,,若進行不放回取球,例2 一袋中裝有4只球,依次標有號碼1,2,2,3,從袋中有放回取求兩次,X,Y分別表示兩次取得球上的號碼,則(X,Y)的聯(lián)合概率分布為,,思考,將本例中有放回取球改為不放回取球,結(jié)果會如何?,二、二維離散型隨機向量的邊緣概率分布,若(X,Y)為二維離散型隨機向量,X的所有可能取值為,,Y
4、的所有可能取值為,,,聯(lián)合概率函數(shù)為,則分別稱,,,,離散型隨機變量的邊緣分布列可以在聯(lián)合分布列的基礎(chǔ)上增加，即,也可以將X,Y分開后分別表示，即,例3.,在本節(jié)例1.中,,本節(jié)例2.的邊緣分布也是一樣,解,例4,由乘法公式得,解,,,,,,,,,下面求邊緣分布,若隨機向量 具有如下 的多元分布列,其中 ， ， ， 則稱隨機向量 服從多項分布。,兩個常用的離散型多元分布,（一）多項分布,若隨機向量 具有如下 的多元分布列,其中 ， 為自然 數(shù) ，則稱隨機向量 服從多元超幾何分布。,（二）多元超幾何分布,三、二維
5、連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合概率分布,定義2.,二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)具有以下性質(zhì),,,,,,,從而,,,,用聯(lián)合密度函數(shù)的圖形分析以上性質(zhì),設(shè)隨機向量(X,Y)具有聯(lián)合密度,解,例4,,,,,,設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度,解：,,例5,,,四、二維連續(xù)型隨機向量的邊緣概率分布,,,與離散型隨機向量一樣，X,Y也是單個的隨機變量,,,,,3.2 二維隨機離散型和連續(xù)型隨機向量2,,,,從上面的分析不難得到X和Y的密度函數(shù)為,,,,例6 求隨機向量(X,Y)的邊緣分布函數(shù)和邊緣密度函數(shù)，已知其聯(lián)合分布函數(shù)為,,解,邊緣分布函數(shù)分別為,,,邊緣密度函數(shù)為,,例7 求隨機向量(X,Y)的邊緣密
6、度函數(shù)，已知其聯(lián)合密度函數(shù)為,解,由邊緣密度函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)的關(guān)系可知,,,,,,,所以,,同理,,1.均勻分布,定義 設(shè) D 是平面上的有界區(qū)域,其面積為 S,若二維隨機變量 ( X , Y ) 具有概率密度,則稱 ( X , Y ) 在 D 上服從 均勻分布.,兩個常用的分布,,例8 已知隨機向量 ( X , Y ) 在 D上服從均勻分布, 試求( X , Y )的分布密度及分布函數(shù),其中D為x 軸, y 軸及直線 y = x+1 所圍成的三角形區(qū)域 .,解,,所以 ( X , Y ) 的分布函數(shù)為,練習(xí),設(shè)(X,Y)在圓域D=(x, y)| x2+y2r 2上服從均勻分布. (1) 判
7、斷X與Y是否相互獨立.,解,,,(2),2.二維正態(tài)分布,若二維隨機向量 ( X,Y ) 具有概率密度,二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度函數(shù)的圖象如右圖:,,,,,,二維正態(tài)分布隨機向量的邊緣分布均是正態(tài)分布,,例9,解,由于,于是,則有,即,同理可得,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,,請同學(xué)們思考,邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量,其聯(lián)合分 布一定是二維正態(tài)分布嗎?,不一定.,舉一反例以示證明.,答,練習(xí) 設(shè) 有概率密度 （1）試驗證 符合概率密度的兩個 性質(zhì)； （2）試求 和 的邊際密度。,解 （1）顯然，,因為 和 都是分布 的密度，所以
8、根據(jù)一元密度的性質(zhì)，有,又由于 和 都是奇函數(shù)， 從而,故而,（2）,同理有,所以 和 都服從分布 。,作業(yè),P89練習(xí)3.2 1 2 3,,3.3 隨機變量的獨立性,定義1.,否則稱不相互獨立或相依,,,,對于離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量也分別有,定理1.,即,,,,,顯然,,,,例1.,一袋中裝有2只白球和3只黑球,進行有放回取球,,,,,,如果進行無放回取球,X和Y是否獨立?,若進行不放回取球,,,,在有放回取球中,第二次取的球的顏色不受第一次取球結(jié)果的影響,故X和Y相互獨立,而在不放回取球中,第二次取到球的顏色當(dāng)然受第一次取球結(jié)果的影響,故X和Y不相互
9、獨立.,例2.,,,,解:,,,所以,根據(jù)聯(lián)合分布列和邊緣分布列的關(guān)系,不難得到X和Y的聯(lián)合分布列,,,由于,所以X,Y不相互獨立,99年考研題,8分,思考,設(shè)A,B為兩事件,且相互獨立,,,試證X,Y相互獨立.,,,定理2.,證明:,,(1) 必要性,,,所以,,(2) 充分性,,,,,例3.,,,,解:,(1) 由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì),可知,,,,,,,,,,,,,,,顯然,,所以,,,定理3.,證明,設(shè)二維隨機向量,f(x,y)為其聯(lián)合密度函數(shù),證明X與Y獨立的充要條件是=0,證明 由題意得,充分性,將=0代入f(x,y)即得f(x,y)=fX(x)fY(y).,必要性 若X和Y相互獨立,
10、則f(x,y)=fX(x)fY(y),,例4. 設(shè)二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,其中參數(shù) ,這個分布稱為二維指數(shù)分布,試討 論X和Y的獨立性.,解: 由已知可得邊緣分布函數(shù),例6 某碼頭能容納一只船,現(xiàn)預(yù)知某日將獨立地來 到甲,乙兩船,且在24小時內(nèi)各時刻來的可能性都相 等,如果它們需要?？康臅r間分別為3小時及4小時, 試求有一船要在江中等待的概率.,關(guān)于X的邊緣密度函數(shù),關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù),解:設(shè)X表示甲船到達碼頭的時間.Y表示乙船到達 碼頭的時間.由題中條件,X與Y都服從0,24上的均 勻分布,因為X與Y相互獨立,故(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,事件有一只船在江中等待=Y
11、
12、,概率,,,,,結(jié)論,例2 設(shè)兩個獨立的隨機變量 X 與 Y 的分布律為,求隨機變量 Z=X+Y 的分布律.,解,解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,,,例4,X, Y 相互獨立,證明,由前面的例題可知,例5,例6,設(shè)X和Y相互獨立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,我們可以按照前面的方法來求解，也可以換一種方法.,解,從問題的背景出發(fā)得到的結(jié)果更直接，更容易理解.,更一般地，,連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布,1. 已知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布.,若Z為連續(xù)型隨機變量,則在f(z)的連續(xù)點處,解,例7,X,Y相互獨立,設(shè)Z的分布函數(shù)
13、和概率密度分別為,2.連續(xù)型隨機變量和的分布,,,,,,,,,,,,,同樣也有,,因此,由公式,解,例8 設(shè)兩個獨立的隨機變量 X 與Y 都服從標準正態(tài)分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,得,推論 有限個獨立的正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布.,即:若XiN(i,i2), (i=1,2,...n), X1,X2, ...Xn相互獨立, 實數(shù)a1,a2,...,an不全為零,則,特別, 若X1,X2, ...Xn獨立同正態(tài)分布N(,2) ,記:,則,解,例9,此時,二、隨機變量差的分布,,,,,,,,,,,或,,,,,,,,,,,,,,,三、隨機變量積的分布,,,,或,,,,,,,,,或,四、隨機變量商的分布,,,,,,,,,或,,,,,,,,,,,例10,得所求密度函數(shù),得,,五、隨機向量一般函數(shù)的分布,,,只討論連續(xù)型情況,,,,則有,故有,推廣,例8,解,作業(yè),P106練習(xí)3.4 1 2,,P106習(xí)題三,
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