全國(guó)各地名校2013年中考數(shù)學(xué)5月試卷分類匯編 判定說理型問題

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1、判定說理型問題 一、選擇題 1、(2013年湖北荊州模擬6)甲乙丙丁四人一起到冷飲店買紅豆和桂園兩種雪糕，四個(gè)人購(gòu)買的數(shù)量和總價(jià)分別如表所示，若其中一人的總價(jià)計(jì)算錯(cuò)了，則此人是（ ▲） 甲 乙 丙 丁 紅豆雪糕（枝） 18 15 24 27 桂園雪糕（枝） 30 25 40 45 總價(jià) 396 330 528 585 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 答案：D 二、填空題 1、 三、解答題 1．（2013年北京順義區(qū)一模） 如圖1，在四邊形中，，分別是的中點(diǎn)，連結(jié) 并延長(zhǎng)，分別與的延

2、長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則（不需證明）． 小明的思路是：在圖1中，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)三角形中位線定理和平行線性質(zhì)，可證得． 問題：如圖2，在中，，點(diǎn)在上，，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明． 答案：判斷是直角三角形 證明：如圖連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，………………1分 是的中點(diǎn)， ∴，，………………… 2分 A B C D F G H E 1 2 3 ∴． 同理，， ∴． ∴， ∴． …………………………………………3分 ， ∴， ∴是等邊三角形．………………………………4分 ， ∴，

3、 ∴ ∴ 即是直角三角形．…………………………… 5分 2. 已知：半徑為1的⊙O1與軸交、兩點(diǎn)，圓心O1的坐標(biāo)為（2, 0)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn) 第2題圖 （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （2）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與⊙O1相切，求直線的解析式； （3）若為二次函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)是軸上的任意一點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、．試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由 答案：解：（1）由題意可知
---------- 1分 因?yàn)槎魏瘮?shù)
的圖象經(jīng)過點(diǎn)
，
兩點(diǎn) ∴
解得：
∴二次函數(shù)的

4、解析式
--------------------------2分 （2）如圖，設(shè)直線與⊙O相切于點(diǎn)E，∴O1E⊥ ∵O1O=2, O1E=1 ，∴
過點(diǎn)E作EH⊥
軸于點(diǎn)H ∴
,
∴
,∴的解析式為：
----------------3分 根據(jù)對(duì)稱性，滿足條件的另一條直線的解析式為：
-----4分 ∴所求直線的解析式為：
或
（3）結(jié)論：
-----5分 理由：∵
為二次函數(shù)
的圖象上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為2， ∴
25. 當(dāng)點(diǎn)
重合時(shí)， 有
---------------6分 ②當(dāng)
， ∵直線
經(jīng)過點(diǎn)
、
，

5、 ∴直線
的解析式為
∵直線
與
軸相交于點(diǎn)
的坐標(biāo)為
∴
關(guān)于
軸對(duì)稱 聯(lián)結(jié)結(jié)
， ∴
，
-------------------7分 第2題圖 ∴
，
∵在
中，有
∴

綜上所述：
------------------------------------8分 3、(2013年江蘇南京一模)（8分）已知
、
、
三點(diǎn)均在
上，且
是等邊三角形． （1）如圖，用直尺和圓規(guī)作出
；（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）若點(diǎn)
是
上一點(diǎn)，連接
、
、
．探究
、
、
之間的等量關(guān)系并說明理由．
答案：（本題8分

6、） （1）如圖；……………………………………………2分 A B C P O D （第1題） （2）PA＝PB＋PC．理由如下： ……………………3分 如圖，在PA上取點(diǎn)D，使得PD＝PC，連接CD． ∵ △ACB是等邊三角形， ∴ AB＝BC＝CA，∠APC＝∠ABC＝60°． ∴ △PCD是等邊三角形．……………………………5分 ∴ CD＝CP． ∵ ∠ACD+∠DCB＝60°， ∠BCP+∠DCB＝60°, ∴∠ACD=∠BCP ∴ △CAD≌△CBP． …………………………………7分 ∴ AD＝BP． ∴ PA＝PD＋AD＝PB＋PC．………

7、…………………8分 4、（2013杭州江干區(qū)模擬）（本小題12分）已知拋物線
與
軸交于定點(diǎn)A和另一點(diǎn)C． (1)求定點(diǎn)A的坐標(biāo)． (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為
的圓交拋物線
于點(diǎn)B，當(dāng)直線AB與圓相切時(shí)，求錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。的解析式．
（第23題備用圖2） (3)在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P（P在點(diǎn)A的右上方），使△PAC、△PBC的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
（第23題備用圖1） 【答案】（12分）解：（1）A(5,0) 2分 （2）如圖1，當(dāng)B在
軸上方時(shí)，求得
1分

8、 代入得
1分 所以
1分 如圖2，當(dāng)B在
軸下方時(shí)，求得
1分
（第23題圖2） 代入得
1分 所以
(3)存在 1分 當(dāng)
時(shí)，
2分 當(dāng)
時(shí)，
2分 5、（2013年廣東省珠海市一模）觀察下列各式及證明過程： （1）
；（2）
；（3）
． 驗(yàn)證：
；
． a．按照上述等式及驗(yàn)證過程的基本思想，猜想
的變形結(jié)果

9、并驗(yàn)證； b．針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n≥1的自然數(shù)）表示的等式，并驗(yàn)證． 解：（1）
驗(yàn)證：
； （2）
或
驗(yàn)證：
6、（2013山東德州特長(zhǎng)展示）（本小題滿分12分） 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，tan∠BAC=
，將∠ABC對(duì)折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系 （1）求過A、B、O三點(diǎn)的拋物線解析式； （2）若在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長(zhǎng)度等于d，試探究d有無(wú)最大值，如果有，請(qǐng)求出最大值，

10、如果沒有，請(qǐng)說明理由． （3）若在拋物線上有一點(diǎn)E，在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)F，且以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)． B A C O H x y 解：（1）在Rt△ABC 中，∵BC=3 ，tan∠BAC=
， ∴AC=4． ∴AB=
． 設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對(duì)稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°， ∴AH=AB－BH=2，OA=4－m． ∴在Rt△AOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得 m=
． ∴OC=
，OA=AC－OC=
， ∴O（0，0） A（
，0）

11、，B（－
，3）．…………………………………………2分 設(shè)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x－
）． 把x=
，y=3代入解析式，得a=
． ∴y=
x（x－
）=
． 即過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=
．…………………………4分 （2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得： －

解之得 k= －
，b=
． ∴直線AB的解析式為y=
．………………………………………………6分 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（t，
），則M（t，
）．………………………………7分 ∴d=（
）—（
）=—

12、
=
∴當(dāng)t=
時(shí)，d有最大值，最大值為2．………………………………………………8分 y B A C O H x E2 E1 E3 D (3)設(shè)拋物線y=
的頂點(diǎn)為D． ∵y=
=
， ∴拋物線的對(duì)稱軸x=
，頂點(diǎn)D（
，－
）． 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，A、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱． ①． 當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)D以及點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)F與A、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形．這時(shí)點(diǎn)D即為點(diǎn)E，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（
）．……………………………………………………………………………10分 ②． 當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，由OA=
，知拋

13、物線存在點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為
或
，即
或
，分別把x=
和x=
代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=
中，得點(diǎn) E（
，
）或E（－
，
）． 所以在拋物線上存在三個(gè)點(diǎn)：E1（
，－
），E2（
，
），E3（－
，
），使以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．……………………………………………12分 7、（2013鳳陽(yáng)縣縣直義教教研中心）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD＝CF，BD⊥CF成立. （1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（
）時(shí)，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由. （2）當(dāng)正方形ADEF繞

14、點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G. ① 求證：BD⊥CF； ② 當(dāng)AB＝4，AD＝
時(shí)，求線段BG的長(zhǎng). 圖1 圖2 圖3 解（1）BD＝CF成立. 理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°, ∵∠BAD=
，∠CAF=
， ∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF. ∴BD＝CF.……………………………………………………………

15、………（4分） （2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M. ∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM＝∠GCM. ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG. ∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分） ②過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N. ∵在正方形ADEF中，AD＝
， ∴AN＝FN＝
. ∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4， ∴CN＝AC－AN＝3，BC＝
. Rt△FCN∽R(shí)t△ABM，∴
∴AM＝

. ∴CM＝AC－AM＝4－
＝
，
.…… （9分） ∵△BMA ∽△CMG，∴
. ∴
. ∴CG＝
.……………………

16、……………… （11分） ∴在Rt△BGC中，

. …………………….. （12分） 8、(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (每小題8分，共16分) (1) 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)． 求證：四邊形ADEF是菱形． C A B D E F 第17(1)題圖 (2) 一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行100千米所用時(shí)間與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？ (1) 證明：∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)， ∴DEAC，EFAB， ……

17、……2分 ∴四邊形ADEF為平行四邊形． …………4分 又∵AC＝AB， ∴DE＝EF． …………6分 ∴四邊形ADEF為菱形． …………8分 (2) 解：設(shè)江水的流速為x千米/時(shí)，依題意，得： …………1分 ＝， ………………4分 解得：x＝5． ………………6分 經(jīng)檢驗(yàn)：x＝5是原方程的解． …………7分 答：江水的流速為5千米/時(shí)． …………8分 A B C D E O x y F 9、(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (12分)如圖，半

18、徑為2的⊙E交x軸于A、B，交y軸于點(diǎn)C、D，直線CF交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)F，連接EB、EC．已知點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1)，∠OFC＝30°． (1) 求證：直線CF是⊙E的切線； (2) 求證：AB＝CD； (3) 求圖中陰影部分的面積． 解：(1) 過點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G， ∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1)，∴EG＝1． 在Rt△CEG中，sin∠ECG＝＝， ∴∠ECG＝30°． ………………1分 ∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°， ∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°． ………………2分 ∴∠F

19、CE＝∠OCF＋∠ECG＝90°． 即CF⊥CE． ∴直線CF是⊙E的切線． ………………3分 (2) 過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H， ∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1)， ∴EG＝EH＝1． ………………4分 在Rt△CEG與Rt△BEH中， ∵ ，∴Rt△CEG≌Rt△BEH． ∴CG＝BH． ………………6分 ∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG． ∴AB＝CD． ………………7分

20、(3) 連接OE， 在Rt△CEG中，CG＝＝， ∴OC＝＋1． ………………8分 同理：OB＝＋1． ………………9分 ∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°． 又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°． 同理：∠OEB＝105°． ………………10分 ∴∠OEB＋∠OEC＝210°． A B C D E x y F O G H ∴S陰影＝－×(＋1)×1×2＝－－1． …

21、……………12分 10、（2013河南沁陽(yáng)市九年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)）（11分）以原點(diǎn)為圓心,
為半徑的圓分別交
、
軸的正半軸于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為
. (1)如圖一，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)一周,設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為t秒，當(dāng)
時(shí)，直線PQ恰好與⊙O第一次相切，連接OQ.求此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度（結(jié)果保留
）； (2)若點(diǎn)Q按照⑴中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)， ①為何值時(shí)，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形； ②在①的條件下，如果直線PQ與⊙O相交，請(qǐng)求出直線PQ被⊙O所截的弦長(zhǎng). （補(bǔ)充說明：直角三角形中，如果一條直角邊長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半，那么

22、這條直角邊所對(duì)的角等于30°.） 解：（1）連接OQ，則OQ⊥PQ OQ=1，OP=2，所以
，可得

所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為
/秒. 3分 (2)由（1）可知，當(dāng)t=1時(shí)， △OPQ為直角三角形 所以，當(dāng)Q’與Q關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，△OPQ’為直角三角形 此時(shí)

，
當(dāng)Q’(0，-1)或Q’(0，1)時(shí)，
， 此時(shí)
或
即當(dāng)
，
或
時(shí)，△OPQ是直角三角形. 7

23、分 當(dāng)
或
時(shí)，直線PQ與⊙O相交. 作OM⊥PQ，根據(jù)等面積法可知： PQ×OM=OQ×OP PQ=

QM
弦長(zhǎng)
. 11分 11．(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (10分)有一個(gè)袋中摸球的游戲．設(shè)置了甲、乙兩種不同的游戲規(guī)則： 甲規(guī)則： 紅1 紅2 黃1 黃2 紅2 紅1 黃1 黃2 黃1 紅1 紅2 黃2 黃2 紅1 紅2 黃1 第一次 第二次

24、 乙規(guī)則： 第一次 第二次 紅1 紅2 黃1 黃2 紅1 (紅1，紅1) (紅2，紅1) (黃1，紅1) ② 紅2 (紅1，紅2) (紅2，紅2) (黃1，紅2) (黃2，紅2) 黃1 (紅1，黃1) ① (黃1，黃1) (黃2，黃1) 黃2 (紅1，黃2) (紅2，黃2) (黃1，黃2) (黃2，黃2) 請(qǐng)根據(jù)以上信息回答下列問題： (1) 袋中共有小球_______個(gè)，在乙規(guī)則的表格中①表示_______，②表示_______； (2) 甲的游戲規(guī)則是：隨機(jī)摸出一個(gè)小球后______(填“放回”或“不放回”)

25、，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球； (3) 根據(jù)甲、乙兩種游戲規(guī)則，要摸到顏色相同的小球，哪一種可能性要大，請(qǐng)說明理由． 解：(1)
……1分； (紅2，黃1) ……2分； (黃2，紅1) ……3分 (2) 不放回 ………5分 (3) 乙游戲規(guī)則摸到顏色相同的小球的可能性更大． 理由：在甲游戲規(guī)則中，從樹形圖看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而顏色相同的兩個(gè)小球共有4種． …………6分 ∴P(顏色相同)＝＝． …………7分 在乙游戲規(guī)則中，從列表看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而顏色相同的兩個(gè)小球共有8種． ……………8分 ∴P(顏色相同) ＝＝． ……………9分 ∵＜， ∴乙游戲規(guī)則摸到顏色相同的小球的可能性更大． ……………10分