《高中數(shù)學(xué)選修2-3課件7_《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)選修2-3課件7_《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、與二項式系數(shù)的性質(zhì)與二項式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角楊輝三角2.3.1二項式定理二項式定理3.1.ban式式系系數(shù)數(shù)并并填填入入下下表表展展開開式式的的二二項項用用計計算算器器計計算算探探究究?,你你發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)了了什什么么規(guī)規(guī)律律通通過過計計算算填填表表654321n展展開開式式的的二二項項式式系系nba.些規(guī)律些規(guī)律發(fā)現(xiàn)某發(fā)現(xiàn)某助我們助我們也能幫也能幫化有時化有時式的變式的變表示形表示形:,?.,寫寫成成如如下下形形式式可可將將上上表表為為了了方方便便呢呢除除此此之之外外還還有有什什么么規(guī)規(guī)律律稱稱性性每每一一行行中中的的系系數(shù)數(shù)具具有有對對現(xiàn)現(xiàn)從從上上表表可可以以發(fā)發(fā)1615201561ba1510
2、1051ba14641ba1331ba121ba11ba654321?律嗎律嗎式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)你能借助上面的表現(xiàn)形你能借助上面的表現(xiàn)形探究探究;1,1,:,離離的的項項的的系系數(shù)數(shù)相相等等等等距距與與這這兩兩個個每每行行兩兩端端都都是是在在同同一一行行中中例例如如上上表表中中蘊蘊含含著著許許多多規(guī)規(guī)律律.CCC,CC,C1,.1,rn1rnr1nrn1rnr1n容容易易證證明明及及別別為為那那么么它它肩肩上上的的兩兩個個數(shù)數(shù)分分的的數(shù)數(shù)為為為為設(shè)設(shè)表表中中任任一一不不事事實實上上兩兩個個數(shù)數(shù)的的和和肩肩上上它它以以外外的的每每一一個個數(shù)數(shù)都都等等于于除除在在相相鄰鄰的的兩兩行行
3、中中十十五五一一一一一一一一一一一一一一二二十十六六六六十十五五一一一一一一一一一一一一二二三三 三三四四四四六六五五十十十十五五本本積積商商除除平方平方立立方方三三乘乘四四乘乘五五乘乘左左積積右右積積之之除除而而實實命命方方商商乘乘廉廉以以廉廉皆皆者者藏藏中中算算隅隅乃乃裘裘右右數(shù)數(shù)積積乃乃裘裘左左13.1圖圖).13.1(,1261,圖圖示的形式示的形式記載的是用漢字表記載的是用漢字表在這本書里在這本書里字表示字表示里的表用阿拉伯?dāng)?shù)里的表用阿拉伯?dāng)?shù)所不同的只是這所不同的只是這了了一書里就出現(xiàn)一書里就出現(xiàn)法法詳解九章算詳解九章算著的著的年所年所家楊輝在家楊輝在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)表在我國南宋表在我國南宋
4、這個這個值得指出的是值得指出的是.,.,)16621623,calBlaisePas(,11.)11(,”“,值得中華民族自豪的值得中華民族自豪的的成就是非常的成就是非常由此可見我國古代數(shù)學(xué)由此可見我國古代數(shù)學(xué)五百年左右五百年左右洲早洲早楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐這就是說這就是說帕斯卡三角帕斯卡三角他們把這個表叫做他們把這個表叫做首先發(fā)現(xiàn)的首先發(fā)現(xiàn)的學(xué)家帕斯卡學(xué)家帕斯卡這個表被認為是法國數(shù)這個表被認為是法國數(shù)洲洲在歐在歐世紀世紀不晚于不晚于這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表用過它用過它已經(jīng)已經(jīng)世紀世紀約公元約公元且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲算書算書釋鎖釋鎖楊輝指
5、出這個方法出于楊輝指出這個方法出于肩上兩個數(shù)的和肩上兩個數(shù)的和都等于它都等于它外的每一個數(shù)外的每一個數(shù)以以一一還說明了表里還說明了表里里里一書一書詳解九章算法詳解九章算法在在輝三角輝三角這個表稱為楊這個表稱為楊).23.1(7,6n.,n.n,2,1,rfrC.,C,C,C,Cbarnnn2n1n0nn 圖圖個個孤孤立立點點其其圖圖象象是是例例如如象象我我們們還還可可以以畫畫出出它它的的圖圖定定的的對對于于確確義義域域是是其其定定為為自自變變量量的的函函數(shù)數(shù)可可看看成成是是以以分分析析它它們們來來我我們們還還可可以以從從函函數(shù)數(shù)角角度度式式系系數(shù)數(shù)展展開開式式的的二二項項對對于于0 0?.9,
6、8,7n出它們有哪些異同嗎出它們有哪些異同嗎你能看你能看時的函數(shù)圖象時的函數(shù)圖象請你分別畫出請你分別畫出1234565101520or rf23.1圖圖.23.1數(shù)數(shù)的的一一些些性性質(zhì)質(zhì)來來研研究究二二項項式式系系和和圖圖楊楊輝輝三三角角下下面面結(jié)結(jié)合合.CC,.1mnnmn得得到到這這一一性性質(zhì)質(zhì)可可直直接接由由公公式式事事實實上上系系數(shù)數(shù)相相等等個個二二項項式式的的兩兩等等距距離離與與首首尾尾兩兩端端對對稱稱性性.,rf2nx它它是是圖圖象象的的對對稱稱軸軸分分的的圖圖象象分分成成對對稱稱的的兩兩部部將將函函數(shù)數(shù)直直線線 k!1k1kn2n1nnC2kn 因因為為增增減減性性與與最最大大值
7、值,k1knC1kn;,.,21nk,21nk1k1kn,k1knCC1knkn且且在在中中間間取取得得最最大大值值漸漸減減小小的的分分是是逐逐由由對對稱稱性性知知它它的的后后半半部部系系數(shù)數(shù)是是逐逐漸漸增增大大的的二二項項式式時時當(dāng)當(dāng)可可知知由由決決定定的的增增減減情情況況由由相相對對于于所所以以中中間間是是奇奇數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng),n.,C.C21nn21nn且且同同時時取取得得最最大大值值相相等等的的兩兩項項 ,xCxCxCxCCx13nnnrrn22n1n0nn 已已知知各各二二項項式式系系數(shù)數(shù)和和.CCCC2,1xnn2n1n0nn 則則令令?嗎嗎組組合合等等式式下下這這個個你你能能用用組組
8、合合意意義義解解釋釋一一,這這就就是是說說.2bann系系數(shù)數(shù)的的和和等等于于的的展展開開式式的的各各個個二二項項式式.,1721353521717n,6n.1nn,1,.二二項項式式系系數(shù)數(shù)從從而而可可根根據(jù)據(jù)這這個個表表來來求求延延伸伸下下去去就就可可以以將將二二項項式式系系數(shù)數(shù)表表這這樣樣的的各各二二項項式式系系數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)于于可可寫寫出出的的各各二二項項式式系系數(shù)數(shù)中中相相應(yīng)應(yīng)于于楊楊輝輝三三角角如如根根據(jù)據(jù)的的二二項項式式系系數(shù)數(shù)于于應(yīng)應(yīng)的的各各二二項項式式系系數(shù)數(shù)寫寫出出相相根根據(jù)據(jù)相相應(yīng)應(yīng)于于可可以以性性質(zhì)質(zhì)這這個個和和的的數(shù)數(shù)等等于于它它肩肩上上兩兩個個以以外外的的每每一一個個
9、數(shù)數(shù)都都中中除除楊楊輝輝三三角角利利用用例例如如許許多多問問題題利利用用這這些些性性質(zhì)質(zhì)可可以以解解決決.,ba:3n二二項項式式系系數(shù)數(shù)的的和和系系數(shù)數(shù)的的和和等等于于偶偶數(shù)數(shù)項項的的奇奇數(shù)數(shù)項項的的二二項項式式的的展展開開式式中中在在試試證證例例,CCC4n2n0n 為為奇奇數(shù)數(shù)項項二二項項式式系系數(shù)數(shù)的的和和分分析析,CCC5n3n1n 為為偶數(shù)項二項式系數(shù)的和偶數(shù)項二項式系數(shù)的和.b,a,b,abCbaCbaCaCbannn22n2n1n1nn0nn個系數(shù)和個系數(shù)和適當(dāng)賦值來得到上述兩適當(dāng)賦值來得到上述兩因此我們可以通過對因此我們可以通過對可以取任意實數(shù)可以取任意實數(shù)中的中的由于由于
10、.b,a.,b,a,的的值值要要靈靈活活選選取取的的需需我我們們可可以以根根據(jù)據(jù)具具體體問問題題還還可可以以是是別別的的項項式式也也可可以以取取任任意意多多既既可可以以取取任任意意實實數(shù)數(shù)實實際際上上,C1CCCC11,1b,1a,bCbaCbaCaCbannn3n2n1n0nnnnn22n2n1n1nn0nn 則得令中在展開式證明,CCCC03n1n2n0n 即 3n1n2n0nCCCC所以.,ban數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系和奇數(shù)項的二項式系數(shù)的的展開式中即在,xCxCxCxCCx1,nnnkkn22n1n0nn 聯(lián)想到聯(lián)想到實際上實際上.,01f,xCxCxCxCCx1xf,xnnnkk
11、n22n1n0nn的結(jié)果的結(jié)果由此很容易得到要證明由此很容易得到要證明那么那么即即的函數(shù)的函數(shù)把它看成是關(guān)于把它看成是關(guān)于 中的一些秘密中的一些秘密楊輝三角楊輝三角探究與發(fā)現(xiàn)探究與發(fā)現(xiàn).,來探索一下這些性質(zhì)來探索一下這些性質(zhì)下面就下面就多有趣的性質(zhì)多有趣的性質(zhì)楊輝三角本身包含了許楊輝三角本身包含了許實際上實際上展開式的一些性質(zhì)展開式的一些性質(zhì)了二項式了二項式前面借助楊輝三角討論前面借助楊輝三角討論行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第n1CCCCC11n654133131212111102n1nr1n1r1n21n11n .?,.1你你的的發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)填填寫寫在在
12、空空格格上上將將規(guī)規(guī)律律嗎嗎你你能能發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)每每一一行行的的數(shù)數(shù)字字觀觀察察圖圖形形即即展展開開式式的的系系數(shù)數(shù)項項式式行行就就是是二二楊楊輝輝三三角角的的第第從從上上述述圖圖形形可可以以看看到到,ban,nnnnrrn2n1n1nn0nnbCbaCbaCaCba?,.2兩兩行行的的數(shù)數(shù)有有什什么么關(guān)關(guān)系系嗎嗎你你能能發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)組組成成它它的的相相鄰鄰觀觀察察楊楊輝輝三三角角圖圖形形.,1,的的兩兩個個數(shù)數(shù)相相加加其其余余的的數(shù)數(shù)都都等等于于它它肩肩上上組組成成的的是是由由數(shù)數(shù)字字這這個個三三角角形形的的兩兩條條腰腰都都可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn).?,1.3再再連連一一些些數(shù)數(shù)字字試試試試自自己己你你能能
13、發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么規(guī)規(guī)律律從從連連線線上上的的數(shù)數(shù)字字如如圖圖.,rn.CCCC,C1041,C631,C321:,r1nr2rr1rrr31n21n11n納納法法來來證證明明上上式式等等式式可可以以用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸實實際際上上一一般般地地項項的的和和想想下下列列數(shù)數(shù)列列的的前前若若干干猜猜根根據(jù)據(jù)你你發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)的的規(guī)規(guī)律律 111111123451111345610101圖圖?,?,2.4你有什么發(fā)現(xiàn)你有什么發(fā)現(xiàn)和和仔細觀察這些仔細觀察這些和和標出其余各行的標出其余各行的處處請你在請你在出出經(jīng)在斜行上末標經(jīng)在斜行上末標上的數(shù)字的和已上的數(shù)字的和已位于前幾條斜行位于前幾條斜行楊輝三角圖形中楊輝三角圖形中的斜行中的斜行中如圖如圖!?,與與同同學(xué)學(xué)交交流流一一下下排排列列規(guī)規(guī)律律嗎嗎數(shù)數(shù)的的你你還還能能再再找找出出其其他他一一些些律律除除了了這這幾幾個個數(shù)數(shù)的的排排列列規(guī)規(guī)1111111234511113456101011161520156172135352171828567056288113?2圖圖作業(yè)：P37(A組78和B組)
高中數(shù)學(xué)選修2-3課件7_《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》
