《點集拓?fù)鋵W(xué)》§2.2 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射

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1、§2.2　拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射 　　本節(jié)重點: 拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念,并在此空間上建立起來的連續(xù)映射的概念. 注意區(qū)別: 拓?fù)淇臻g的開集與度量空間開集的異同；連續(xù)映射概念的異同. 　　現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即從開集及其基本性質(zhì)（定理2.1.2）出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g的概念． 　　定義2.2.1　設(shè)X是一個集合，T是X的一個子集族．如果T滿足如下條件： 　?。╨）X，∈T ； 　　（2）若A，B∈T　，則A∩B∈T ； 　?。?）若則稱 T是X的一個拓?fù)洌? 　　如果T是集合X的一個拓?fù)?，則稱偶對（X，T）是一個拓?fù)淇臻g，或稱集合X是一個相對于拓?fù)銽而言的拓?fù)淇臻g；此外T

2、的每一個元素都叫做拓?fù)淇臻g（X，T）或X中的一個開集．即：A∈T A是開集 　?。ù硕x與度量空間的開集的性質(zhì)一樣嗎） 　　經(jīng)過簡單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）蘊涵著：有限多個開集的交仍是開集，條件（3）蘊涵著：任意多個開集的并仍是開集． 　　現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇． 　　定義2.2.2　設(shè)（X，ρ）是一個度量空間·令為由X中的所有開集構(gòu)成的集族．根據(jù)定理2.1.2，（X，）是X的一個拓?fù)洌覀兎Q為X的由度量ρ誘導(dǎo)出來的拓?fù)洌送馕覀兗s定：如果沒有另外的說明，我們提到度量空間（X，ρ）的拓?fù)鋾r，指的就是拓?fù)?；在稱度量空間（X，ρ）為拓?fù)淇臻g時，指的就是拓?fù)淇臻g（

3、X，） 　　因此，實數(shù)空間R，n維歐氏空間（特別，歐氏平面），Hilbert空間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，它們各自的拓?fù)浔闶怯衫?.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定義的各自的度量所誘導(dǎo)出來的拓?fù)洌? 　　例2.2.1　平庸空間． 　　設(shè)X是一個集合．令T ={X，}．容易驗證，T 是X的一個拓?fù)洌Q之為X的平庸拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X，T）為一個平庸空間．在平庸空間（X，T）中，有且僅有兩個開集，即X本身和空集． 　　例2.2.2　離散空間． 　　設(shè)X是一個集合．令T =P（X），即由X的所有子集構(gòu)成的族．容易驗證，T是X的一個拓?fù)?，稱之為X的離散拓?fù)?；可知，在離散空間（X，T）

4、中，X的每一個子集都是開集． 　　例2.2.3　設(shè)X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}． 　　容易驗證，T是X的一個拓?fù)?，因此（X，T）是一個拓?fù)淇臻g．這個拓?fù)淇臻g既不是平庸空間又不是離散空間． 　　例2.2.4　有限補空間． 　　設(shè)X是一個集合．首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問題中的基礎(chǔ)集自明時，我們并不每次提起．因此在后文中對于X的每一個子集A，它的補集X－A我們寫為．令 　　T ={U X|是X的一個有限子集}∪{} 　　先驗證T是X的一個拓?fù)洌? 　?。?）X∈T (因為=)；另外，根據(jù)定義便有∈T． 　?。?）設(shè)A，B∈T如果A和B之中有一個

5、是空集，則A∩B∈T,假定A和B都不是空集．這時 是X的一個有限子集，所以A∩B∈T ． 　　（3）設(shè)．令,顯然有 　　 如果，則 　　 設(shè)任意選?。@時是X的一個有限子集，所以 　　根據(jù)上述（1），（2）和（3），P是X的一個拓?fù)洌Q之為X的有限補拓?fù)洌負(fù)淇臻g（X，P）稱為一個有限補空間． 　　例2.2.5　可數(shù)補空間． 　　設(shè)X是一個集合．令 　　T ={U X|是X的一個可數(shù)子集}∪{} 　　通過與例2.2.4中完全類似的做法容易驗證（請讀者自證）T 是X的一個拓?fù)?，稱之為X的可數(shù)補拓?fù)洌負(fù)淇臻g（X，T ）稱為一個可數(shù)補空間． 　　一個令人關(guān)心的問題是拓?fù)淇臻g

6、是否真的要比度量空間的范圍更廣一點？換句話就是問：是否每一個拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€度量誘導(dǎo)出來？ 　　定義2.2.3　設(shè)（X，P）是一個拓?fù)淇臻g．如果存在X的一個度量ρ使得拓?fù)銹即是由度量ρ誘導(dǎo)出來的拓?fù)?，則稱（X，P）是一個可度量化空間． 　　根據(jù)這個定義，前述問題即是：是否每一個拓?fù)淇臻g都是可度量化空間？從§2．1中的習(xí)題2和3可以看出，每一個只含有限個點的度量空間作為拓?fù)淇臻g都是離散空間．然而一個平庸空間如果含有多于一個點的話，它肯定不是離散空間，因此它不是可度量化的；例2.2.3中給出的那個空間只含有三個點，但不是離散空間，也不是可度量化的．由此可見，拓?fù)淇臻g是可度量空間的

7、范圍要廣泛．進一步的問題是滿足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？這是點集拓?fù)鋵W(xué)中的重要問題之一，以后我們將專門討論． 　　現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射． 　　定義2.2.4　設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:X→Y．如果Y中每一個開集U的原象（U）是X中的一個開集，則稱f是X到Y(jié)的一個連續(xù)映射，或簡稱映射f連續(xù)． 　　按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了§2．1中的定理2.1.4的啟發(fā)．并且那個定理也保證了：當(dāng)X和Y是兩個度量空間時，如果f:X→Y是從度量空間X到度量空間Y的一個連續(xù)映射，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個連續(xù)映射

8、，反之亦然．（按照約定，涉及的拓?fù)洚?dāng)然都是指誘導(dǎo)拓?fù)洌? 　　下面的這個定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質(zhì)． 　　定理2.2.1　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 　　（1）恒同映射：:X→X是一個連續(xù)映射； 　?。?）如果f:X→Y和g:Y→Z都是連續(xù)映射，則 gof:X→Z也是連續(xù)映射． 　　證明（l），所以連續(xù)． 　　（2）設(shè)f:X→Y,g:Y→Z都是連續(xù)映射 　　 　　這證明gof連續(xù)． 　　在數(shù)學(xué)科學(xué)的許多學(xué)科中都要涉及兩類基本對象．如在線性代數(shù)中我們考慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合和映射，在不同的幾何學(xué)中

9、考慮各自的圖形和各自的變換等等．并且對于后者都要提出一類來予以重視，例如線性代數(shù)中的（線性）同構(gòu)，群論中的同構(gòu)，集合論中的—一映射，以及初等幾何學(xué)中的剛體運動（即平移加旋轉(zhuǎn)）等等．我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對象，即拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射．下面將從連續(xù)映射中挑出重要的一類來給予特別的關(guān)注． 　　定義2.2.5　設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g．如果f：X→Y是一個—一映射，并且f和：Y→X都是連續(xù)的，則稱f是一個同胚映射或同胚． 　　定理2.2.2　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 　?。?）恒同映射：X→X是一個同胚； 　?。?）如果f：X→Y是一個同胚，則：Y→X也是一個同胚； 　?。?）如果f：X

10、→Y和g：Y→Z都是同胚，則gof：X→Z也是一個同胚． 　　證明　以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見定理2.2.1，定理 l．5．3和定理1．5．4． 　?。╨）是一個—一映射，并且，都是連續(xù)的，從而是同胚． 　?。?）設(shè)f：X→Y是一個同胚．因此f是一個—一映射，并且f和 都是連續(xù)的．于是也是一個—一映射并且和也都是連續(xù)的，所以也是一個同胚． 　?。?）設(shè)f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和都是連續(xù)的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是連續(xù)的．所以gof是一個同胚． 　　定義2.2.6　設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g．如果存在一個同胚f：X→Y，則稱

11、拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻gY是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X同胚于Y． 　　粗略地說，同胚的兩個空間實際上便是兩個具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間． 　　定理2.2.3　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 　?。?）X與X同胚； 　　（2）如來X與Y同胚，則Y與X同胚； 　　（3）如果X與Y同胚，Y與Z同胚，則X與Z同胚． 　　證明從定理2.2.2直接得到． 　　根據(jù)定理2.2.3，我們可以說：在任意給定的一個由拓?fù)淇臻g組成的族中，兩個拓?fù)淇臻g是否同胚這一關(guān)系是一個等價關(guān)系．因而同胚關(guān)系將這個拓?fù)淇臻g族分為互不相交的等價類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚，屬于不同類的拓?fù)淇臻g彼此不同胚． 　　拓?fù)?/p>

12、空間的某種性質(zhì)P，如果為某一個拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚的任何一個拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì)P是一個拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)．換言之，拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)． 　　拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)． 　　至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學(xué)分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間的連續(xù)函數(shù)的概念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射這樣一個在數(shù)學(xué)的歷史上經(jīng)過了很長的一段時期才完成的工作．在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中對所研究的問題不斷地加以抽象這種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對象（或其中的某一個方面）的精粹而進行的一次提升，是一個去粗取精的過程．也正因為如此，新的概念和理論往往有更多的包容．拓?fù)鋵W(xué)無疑也是如此，一方面它使我們對“空間”和“連續(xù)”有更為純正的認(rèn)識，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對象（特別是許多無法作為度量空間處理的映射空間）．這一切讀者在學(xué)習(xí)的過程中必然會不斷地加深體會． 　　作業(yè)： 　　P55 2,5,6,8,9,10 第 7 頁 ~ 共 7 頁