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1、矩陣與變換,高中數(shù)學(xué) 選修,江蘇教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 章飛 Z,,1 主要內(nèi)容與意義 2 具體內(nèi)容解析 3 教學(xué)建議,1 主要內(nèi)容與意義（為什么）,內(nèi)容： 通過幾何變換討論二階方陣的乘法及性質(zhì)、矩陣的逆和矩陣的特征向量，并以變換和影射的觀點(diǎn)理解解現(xiàn)行方程組的意義，初步展示矩陣應(yīng)用的廣泛性。 意義： 主要立足于幾何（為什么下放矩陣）； 通過幾何變換討論二階矩陣（具體）、理解矩陣； 為高等數(shù)學(xué)打基礎(chǔ)。,2 具體內(nèi)容解析（學(xué)什么）,1引入二階矩陣 2二階矩陣與平面向量（列向量）的乘法、平面圖形的變換 3變換的復(fù)合二階方陣的乘法 4逆矩陣與二階行列式 5二階矩陣與二元一次方程組 6變換的不變量 7矩陣的
2、應(yīng)用 8完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告。,,2.1 引入二階矩陣,2.2 二階矩陣與平面向量（列向量）的乘法、平面圖形的變換,（1）以映射和變換的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)矩陣與向量乘法的意義。 矩陣與向量乘法： 映射的觀點(diǎn)： 變換的觀點(diǎn),,,,,=,矩陣---幾何變換的代數(shù)表示,幾何代數(shù)化----向量 平面幾何變換 : 二階矩陣乘向量,,,矩陣-----一個(gè)幾何變換(將原點(diǎn)對應(yīng)到原點(diǎn)的),,（2）證明矩陣變換把平面上的直線變成直線，即證明A(1+2)=1A+2A。,,（3）通過大量具體的矩陣對平面上給定圖形（如正方形）的變換，認(rèn)識(shí)到矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影。,伸壓變換,反射變換,,,
3、切變變換,旋轉(zhuǎn)變換,投影變換,,,,,,,,,,,,2. 3變換的復(fù)合二階方陣的乘法,（1）通過變換的實(shí)例，了解矩陣與矩陣的乘法的意義。,的變換過程(先旋轉(zhuǎn)后壓縮):,,,（2）通過具體的幾何圖形變換，說明矩陣乘法不滿足交換律。,的變換過程(先旋轉(zhuǎn)后壓縮):,的變換過程(先壓縮后旋轉(zhuǎn)):,,,,,,（3）驗(yàn)證二階方陣乘法滿足結(jié)合律。 （4）通過具體的幾何圖形變換，說明乘法不滿足消去律。,2.4逆矩陣與二階行列式,（1）通過具體圖形變換，理解逆矩陣的意義；通過具體的投影變換，說明逆矩陣可能不存在。,逆變換與逆矩陣,伸壓變換之逆為伸壓變換,,逆變換與逆矩陣,反射變換之逆為反射變換 壓伸變換之逆為
4、壓伸變換 旋轉(zhuǎn)變換之逆為旋轉(zhuǎn)變換 切邊變換之逆為切變變換,,（2）會(huì)證明逆矩陣的唯一性和 (AB)-1=B-1A-1 等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義。,兩矩陣之積之逆的幾何意義,先旋轉(zhuǎn)再壓縮,先拉伸后旋轉(zhuǎn),,,,,,（3）了解二階行列式的定義，會(huì)用二階行列式求逆矩陣。,2.5 二階矩陣與二元一次方程組,（1）能用變換與映射的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)解方程組的意義。,線性方程組的矩陣形式 求解線性方程組即為：求一個(gè)向量，它由已知變換變?yōu)橐粋€(gè)已知向量。,,,,（2）會(huì)用系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組。 （3）會(huì)通過具體的系數(shù)矩陣，從幾何上說明方程組解的存在性，唯一性。,2. 6 變換的不變量,（1）掌握矩陣特征
5、值與特征向量的定義，能從幾何變換上說明特征向量的意義。,矩陣的特征向量是在變換下“基本”不變的量,,特征值與特征向量的意義,矩陣 特征根1的特征向量為 ，特征根-1的特征向量為,矩陣只改變其特征向量的長度不改變其方向,,,（2）會(huì)求二階方陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形）。,2.7 矩陣的應(yīng)用,（1）利用矩陣A的特征值、特征向量給出An簡單的表示，并能用它來解決一個(gè)實(shí)際問題。 （2）初步了解三階或高階矩陣。 （3）了解矩陣的應(yīng)用。,2.8 完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告,報(bào)告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：（1）知識(shí)的總結(jié)。對本專題的整體思路、結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的理解，對數(shù)學(xué)變換思想的認(rèn)識(shí)。（2）拓展。通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，對矩陣變換及其應(yīng)用做進(jìn)一步探討。（3）對本專題學(xué)習(xí)的感受、體會(huì)。,3 教學(xué)建議（如何教學(xué)）,1定位：與大學(xué)教學(xué)相區(qū)別： 大學(xué):代數(shù)的運(yùn)算對象,主要研究運(yùn)算性質(zhì);線性方程組與線性空間的表示方法. 課程標(biāo)準(zhǔn):通過幾何變換對幾何圖形的作用體會(huì)矩陣的幾何作用,從直觀上認(rèn)識(shí)矩陣的意義. 2序 3建議： 突出矩陣的幾何意義，從直觀到抽象（矩陣、矩陣運(yùn)算及其性質(zhì)、矩陣的特征值與特征向量） 概念建構(gòu)的合理性和必要性（矩陣運(yùn)算） 從具體到一般（具體例子入手） 用實(shí)例展示矩陣應(yīng)用廣泛性 運(yùn)用信息技術(shù),謝謝大家， 加強(qiáng)聯(lián)系與合作！,
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