有限元與有限差分法基礎

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1、1,第二講 有限元與有限差分法基礎,CAE的工具： 有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、邊界元法（BEM）、有限體積法（FVM）、無網(wǎng)格法等等 在材料成形的CAE中主要使用的是有限元法和有限差分法,2,“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世紀40年代初期就有人提出，但真正用于工程中則是電子計算機出現(xiàn)以后。 “ 有限元法 ” 這一名稱是1960年美國的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇題為 “平面應力分析的有限元法” 論文中首先使用。此后，有限元法的應用得到蓬勃發(fā)展。 到20世紀80年代初期國際上較大型的結(jié)構分析有限元通用程序多達幾百種，從而為工程應用提供了方便條件。由于有限元通用

2、程序使用方便，計算精度高，其計算結(jié)果已成為各類工業(yè)產(chǎn)品設計和性能分析的可靠依據(jù)。,3,有限元法最初用于飛機結(jié)構的強度設計，由于它在理論上的通用性，因而它可用于解決工程中的許多問題。 目前，它可以解決幾乎所有的連續(xù)介質(zhì)和場的問題，包括熱傳導、電磁場、流體動力學、地質(zhì)力學、原子工程和生物醫(yī)學等方面的問題。 機械設計中，從齒輪、軸、軸承等通用零部件到機床、汽車、飛機等復雜結(jié)構的應力和變形分析（包括熱應力和熱變形分析）。 有限元法不僅可以解決工程中的線性問題、非線性問題，而且對于各種不同性質(zhì)的固體材料，如各向同性和各向異性材料，粘彈性和粘塑性材料以及流體均能求解； 對于工程中最有普遍意義的非穩(wěn)態(tài)問題

3、也能求解。,4,2.1 有限元法基礎,基本思想： 將一個連續(xù)求解域（對象）離散（剖分）成有限個形狀簡單的子域（單元） 利用有限個節(jié)點將各子域連接起來 在給定的初始條件和邊界條件下進行綜合計算求解，從而獲得對復雜工程問題的近似數(shù)值解,5,物理系統(tǒng)舉例,幾何體 載荷 物理系統(tǒng),,6,有限元模型,真實系統(tǒng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,有限元模型,有限元模型 是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。,定義,7,自由度（D

4、OFs）,自由度(DOFs) 用于描述一個物理場的響應特性。,結(jié)構 DOFs,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ROTZ,UY,ROTY,UX,ROTX,UZ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8,節(jié)點(node)和單元(element) 網(wǎng)格（grid）,節(jié)點: 空間中的坐標位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。,單元: 一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為

5、剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。,有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,載荷,9,節(jié)點和單元,信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。,,,.,.,.,A,B,.,.,.,.,.,,,,,,,,,.,.,.,A,B,.,.,.,2 nodes,,,每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。 作為一個整體，單元形成了整體結(jié)構的數(shù)學模型。,10,,節(jié)點和單元,節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點 單元類型

6、變化的。,,,,,,,,,,,,J,I,I,J,J,K,L,I,L,K,I,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,O,M,N,K,J,I,L,三維桿單元 (鉸接),UX, UY, UZ,三維梁單元,二維或軸對稱實體單元,UX, UY,三維四邊形殼單元,UX, UY, UZ,,三維實體熱單元,TEMP,,,,,,,,,J,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,O,M,N,K,J,I,L,三維實體結(jié)構單元,ROTX, ROTY, ROTZ,ROTX, ROTY, ROTZ,UX, UY, UZ,,UX, UY, UZ,,,,11,為什么要離散？,1.無法得到復雜

7、實際問題的解析解 2.將域劃分成一些微小而形狀規(guī)則的單元后，便于在一個單元內(nèi)得到近似解 3.域中所有單元的解可視為該復雜問題的近似解,12,有限元分析的過程,1.連續(xù)體離散化 2.單元分析 3.整體分析 4.確定約束條件 5.方程求解 6.結(jié)果分析與討論,13,1.連續(xù)體離散化,連續(xù)體：是指所求解的對象（如物體或結(jié)構）。 離散化（劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡化）：是將所求解的對象劃分為有限 個具有規(guī)則形狀的微小塊體，把每個微小塊體稱為單元，相鄰兩個 單元之間只通過若干點互相連接，每個連接點稱為節(jié)點。 相鄰單元只在節(jié)點處連接，載荷也只通過節(jié)點在各單元之間傳 遞，這些有限個單元的集合體，即原來的連續(xù)體

8、。 *單元劃分后，給每個單元及節(jié)點進行編號； *選定坐標系，計算各個節(jié)點坐標； *確定各個單元的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及邊界條件等。,14,單元的劃分基本上是任意的，一個結(jié)構體可以有多種劃分結(jié)果。但應遵循以下劃分原則： (1) 分析清楚所討論對象的性質(zhì)，例如，是桁架結(jié)構還是結(jié)構物，是平面問題還是空間問題等等。 (2) 單元的幾何形狀取決于結(jié)構特點和受力情況，單元的幾何尺寸(大小)要按照要求確定。一般來說，單元幾何形體各邊的長度比不能相差太大。 (3) 有限元模型的網(wǎng)格劃分越密，其計算結(jié)果越精確，但計算工作量就越大。因此，在保證計算精度的前提下，單元網(wǎng)格數(shù)量應盡量少。 (4) 在進行網(wǎng)格疏密布局時，應

9、力集中或變形較大的部位，單元網(wǎng)格應取小一些，網(wǎng)格應劃分得密一些，而其他部分則可疏一些。,15,(5) 在設計對象的厚度或者彈性系數(shù)有突變的情況下，應該取相應的突變線作為網(wǎng)格的邊界線； (6) 相鄰單元的邊界必須相容，不能從一單元的邊或者面的內(nèi)部產(chǎn)生另一個單元的頂點。 (7) 網(wǎng)格劃分后，要將全部單元和節(jié)點按順序編號，不允許有錯漏或者重復。 (8) 劃分的單元集合成整體后，應精確逼近原設計對象。原設計對象的各個頂點都應該取成單元的頂點。 所有網(wǎng)格的表面頂點都應該在原設計對象的表面上。所有原設計對象的邊和面都應被單元的邊和面所逼近。,16,有限元分析模型圖例,將懸臂梁劃分為許多三角形單元 三角形

10、單元的三個頂點都是節(jié)點 載荷直接施加在節(jié)點上,懸臂梁及其有限元模型,17,2.單元分析,連續(xù)體離散化后，即可對單元體進行特性分析，簡稱為單元分析。 單元分析工作主要有兩項： (1)選擇單元位移模式(位移函數(shù)) 用節(jié)點位移來表示單元體內(nèi)任一點的位移、應變和應力，就需 搞清各單元中的位移分布。 一般是假定單元位移是坐標的某種簡單函數(shù)，用其模擬內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱為位移模式或位移函數(shù)。通常采用的函數(shù)形式多為多項式。 根據(jù)所選定的位移模式，就可以導出用節(jié)點位移來表示單元體內(nèi)任一點位移的關系式。,18,2.單元分析(2),(2) 分析單元的特性，建立單元剛度矩陣 進行單元力學特性分析，將作

11、用在單元上的所有力（表面 力、體積力、集中力）等效地移置為節(jié)點載荷； 采用有關的力學原理建立單元的平衡方程，求得單元內(nèi)節(jié) 點位移與節(jié)點力之間的關系矩陣單元剛度矩陣。,19,3. 整體分析,把各個單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將各單元的節(jié)點力向量集成總的力向量，求得整體平衡方程。 集成過程所依據(jù)的原理是節(jié)點變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件。,20,4. 確定約束條件,由上述所形成的整體平衡方程是一組線性代數(shù)方程，在求解之前，必修根據(jù)具體情況分析，確定求解對象問題的邊界約束條件，并對這些方程進行適當修正。,21,5. 有限元方程求解,應用有限元法求解機械結(jié)構應力類問題時，根據(jù)未知量和分析 有三種基

12、本解法：,位移法 力法 混合法,22,(1)位移法 以節(jié)點位移作為基本未知量，通過選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)，進行單元的力學特性分析。在節(jié)點處建立單元剛度方程，再組合成整體剛度矩陣，求解出節(jié)點位移后，進而由節(jié)點位移求解出應力。 位移法優(yōu)點是比較簡單，規(guī)律性強，易于編寫計算機程序。所以得到廣泛應用，其缺點是精度稍低。 (2)力法 以節(jié)點力作為基本未知量，在節(jié)點處建立位移連續(xù)方 程，求解出節(jié)點力后，再求解節(jié)點位移和單元應力。 力法的特點是計算精度高。 (3)混合法 取一部分節(jié)點位移和一部分節(jié)點力作為基本未知量，建立平衡方程進行求解。,,23,單元特性的推導方法,單元剛度矩陣的推導是有限元分析的基本步

13、驟之一。目前，建立單元剛度矩陣的方法主要有以下四種：, 直接剛度法 虛功原理法 能量變分法 加權殘數(shù)法,24,1. 直接剛度法 直接剛度法是直接應用物理概念來建立單元的有限元方程和分析單元特性的一種方法。這一方法僅能適用于簡單形狀的單元，如梁單元。但它可以幫助理解有限元法的物理概念。,圖1所示是xoy平面中的一簡支梁簡圖，現(xiàn)以它為例，來說明用直接剛度法建立單元剛度矩陣的思想和過程。,圖1平面簡支梁元及其計算模型,25, 梁在橫向外載荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下產(chǎn)生彎曲變形，在水平載荷作用下產(chǎn)生線位移。 對于該平面簡支梁問題： 梁上任一點受有三個力的作用： 水平力Fx， 剪切力F

14、y ， 彎矩Mz。 相應的位移為： 水平線位移u， 撓度v ， 轉(zhuǎn)角 z 。,由上圖可見：,,,水平線位移和水平力向右為正， 撓度和剪切力向上為正， 轉(zhuǎn)角和彎矩逆時針方向為正。, 通常規(guī)定：,26,為使問題簡化，可把圖示的梁看作是一個梁單元。 如圖1所示，當令左支承點為節(jié)點 i ，右支承點為節(jié)點 j 時， 則該單元的節(jié)點位移和節(jié)點力可以分別表示為：,,,稱為單元的節(jié)點位移列陣。,稱為單元的節(jié)點力列陣；若 F 為外載荷，則稱為載荷列陣。,（1-1）,（1-2）,寫成矩陣形式為,q(e)=ui ,vi , zi ,vj ,uj , zjT,ui ,vi , zi ,vj ,uj , zj,F(e)

15、=Fxi ,Fyi ,Mzi ,Fxj ,Fyj ,MzjT,Fxi ,Fyi ,Mzi ,Fxj ,Fyj ,Mzj,27,顯然，梁的節(jié)點力和節(jié)點位移是有聯(lián)系的。在彈性小變形范圍 內(nèi)，這種關系是線性的，可用下式表示,,,或,（1-3b）,（1-3a）,28,上式(1-3b)稱為單元有限元方程，或稱為單元剛度方程，它代表了單元的載荷與位移之間（或力與變形之間）的聯(lián)系； 式中，K(e)稱為單元剛度矩陣，它是單元的特性矩陣。,對于圖1所示的平面梁單元問題，利用材料力學中的桿件受力與變形間的關系及疊加原理，可以直接計算出單元剛度矩陣K(e)中的各系數(shù) kst( s, t = i, j ) 的數(shù)值,2

16、9,2. 虛功原理法,下面以平面問題中的三角形單元為例，說明利用虛功原理法來建立單元剛度矩陣的步驟。 如前所述，將一個連續(xù)的彈性體分割為一定形狀和數(shù)量的單元，從而使連續(xù)體轉(zhuǎn)換為有限個單元組成的組合體。單元與單元之間僅通過節(jié)點連結(jié)，除此之外再無其他連結(jié)。也就是說，一個單元上的只能通過節(jié)點傳遞到相鄰單元。,從分析對象的組合體中任取一個三角形單元： 設其編號為 e ， 三個節(jié)點的編號為i、j、m， 在定義的坐標系 xoy 中，節(jié)點坐 標分別為(x j , y j)、(xi , y i)、(xm, ym)，如圖2所示。,圖2三節(jié)點三角形單元,30,由彈性力學平面問題的特點可知，單元每個節(jié)點有兩個位移分

17、 量，即每個單元有6個自由度，相應有6個節(jié)點載荷，寫成矩陣形式， 即,單元節(jié)點載荷矩陣： F(e)=Fxi ,Fyi ,Fxj ,Fyj ,Fxm ,FymT,單元節(jié)點位移矩陣： q(e)=ui ,vi ,uj ,vj ,um ,vmT,圖2三節(jié)點三角形單元,31,(1)設定位移函數(shù),按照有限元法的基本思想：首先需設定一種函數(shù)來近似表達單元內(nèi)部的實際位移分布，稱為位移函數(shù)，或位移模式。,三節(jié)點三角形單元有6個自由度，可以確定 6個待定系數(shù)，故三角形單元的位移函數(shù)為,（1-4）,式(1-4)為線性多項式，稱為線性位移函數(shù)，相應的單元稱為線性單元。,,u=u(x,y)= 1+ 2x+ 3y v=v

18、(x,y)= 4+ 5x+ 6y,32,上式(5-5)也可用矩陣形式表示，即,式中，d為單元內(nèi)任意點的位移列陣。,（1-5）,33,由于節(jié)點 i、j、m 在單元上，它們的位移自然也就滿足位移函數(shù)式(1-4)。 設三個節(jié)點的位移值分別為( ui, vi)、( uj, vj )、( um, vm )，將節(jié) 點位移和節(jié)點坐標代入式(1-4)，得,,,34,,（1-6）,,式中,（1-7）,由上可知，共有6個方程，可以求出6個待定系數(shù)。解方程，求得 各待定系數(shù)和節(jié)點位移之間的表達式為,為三角形單元的面積。其中：,35,,（1-8）,將式(1-7)及式(1-8)、式(1-9)代入式(1-6)中，得到,（

19、1-9）,（1-10）,36,式中，矩陣N 稱為單元的形函數(shù)矩陣； 為單元節(jié)點位移列陣。 其中， 為單元的形函數(shù)，它們反映單元內(nèi)位移的 分布形態(tài)，是x, y 坐標的連續(xù)函數(shù)，且有,,,,（1-11）,式(1-10)又可以寫成,（1-12）,,上式清楚地表示了單元內(nèi)任意點位移可由節(jié)點位移插值求出。,,37,(2) 利用幾何方程由位移函數(shù)求應變,根據(jù)彈性力學的幾何方程 ， 線應變 剪切應變 則應變列陣可以寫成,,,,式中，B稱為單元應變矩陣，它是僅與單元幾何尺寸有關的常量矩陣，即,（1-13）,38,,（1-14）,上述方程(1-13)稱為

20、單元應變方程，它的意義在于： 單元內(nèi)任意點的應變分量亦可用基本未知量即節(jié)點位移分量來表示。,39,(3)利用廣義虎克定律求出單元應力方程,根據(jù)廣義虎克定律，對于平面應力問題,上式（1-15）也可寫成,（1-15）,（1-16）,,式中， 為應力列陣； D 稱為彈性力學平面問題的彈性矩陣，并有,,,40,則有如下單元應力方程,由式(1-18)可求單元內(nèi)任意點的應力分量，它也可用基本未知量即 節(jié)點位移分量來表示。,（1-17）,（1-18）,41,,,(4)由虛功原理求單元剛度矩陣,根據(jù)虛功原理，當彈性結(jié)構受到外載荷作用處于平衡狀態(tài)時， 在任意給出的微小的虛位移上

21、，外力在虛位移上所做的虛功 AF等 于結(jié)構內(nèi)應力在虛應變上所存儲的虛變形勢能 A ，即,,設處于平衡狀態(tài)的彈性結(jié)構內(nèi)任一單元發(fā)生一個微小的虛位移， 則單元各節(jié)點的虛位移 為,（1-20）,（1-21）,（1-19）,則單元內(nèi)部必定產(chǎn)生相應的虛應變，故單元內(nèi)任一點的虛應變 為,42,,,顯然，虛應變和虛位移之間關系為,,設節(jié)點力為,,則外力虛功為,,（1-24）,（1-22）,（1-23）,單元內(nèi)的虛變形勢能為,43,,根據(jù)虛功原理,,,,因為,（1-26）,（1-25）,代人式(1-25)，則有,式中， ，均與坐標 x, y 無關，故可以從積分符號中提出，可得：,44,,,,其中，單元剛

22、度矩陣,（1-27）,式(1-27)稱為單元有限元方程，或稱單元剛度方程，其中 是單元剛度矩陣。,（1-28）,,因為三角形單元是常應變單元，其應變矩陣B 、彈性矩陣D 均為常量，而 ，所以式(1-28)可以寫成,（1-29）,45,,,式中，t 為三角形單元的厚度； 為三角形單元的面積。,,對于圖2所示的三角形單元，將D 及B代入式(1-28)，可以得到單元剛度為,（1-30）,,,式中: K為66階矩陣，其中每個子矩陣為22階矩陣，由下式給出,（1-31）,46,,按照力學的一般說法，任何一個實際狀態(tài)的彈性體的總位能是 這個系統(tǒng)從實際狀態(tài)運動到某一

23、參考狀態(tài)(通常取彈性體外載荷為 零時狀態(tài)為參考狀態(tài))時它的所有作用力所做的功。彈性體的總位 能 是一個函數(shù)的函數(shù)，即泛函，位移是泛函的容許函數(shù)。,從能量原理考慮，變形彈性體受外力作用處于平衡狀態(tài)時，在 很多可能的變形狀態(tài)中，使總位能最小的就是彈性體的真正變形， 這就是最小位能原理。用變分法求能量泛函的極值方法就是能量變 分原理。能量變分原理除了可解機械結(jié)構位移場問題以外，還擴展 到求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續(xù)性問題。,3. 能量變分原理法,47,,該方法是將假設的場變量的函數(shù)(稱為試函數(shù))引入問題的控制方程式及邊界條件，利用最小二乘法等方法使殘差最小，便得到近似的場變量函數(shù)形式。 該方

24、法的優(yōu)點是不需要建立要解決問題的泛函式，所以，即使沒有泛函表達式也能解題。,4. 加權殘數(shù)法,48,有限元解的收斂性 有限元解是近似解 近似解是否收斂于真實解、近似解收斂速度、近似解的穩(wěn)定性 近似解的收斂條件: 1.完備性準則（必要條件） 試探函數(shù)（插值函數(shù)）的次數(shù)（m）不小于場函數(shù)的最高可導階數(shù) 2.協(xié)調(diào)性準則（充分條件） 試探函數(shù)在m-1次連續(xù)可導。,49,有限元分析的誤差,,有限元 分析誤差,,建模誤差,計算誤差,,離散誤差,物理離散誤差,幾何離散誤差,,邊界條件誤差,單元形狀誤差,,舍入誤差,截斷誤差,插值函數(shù)與真實函數(shù)之間的差異 1.減小單元特征尺寸，稱為h法 2.提高插值函數(shù)的階次

25、，稱為p法,單元組合體與求解對象幾何形狀的差異 1.網(wǎng)格局部加密 2.選用邊或面上帶有節(jié)點的單元,邊界條件的復雜性 1.準確測定，完善模型 2.細分邊界網(wǎng)格,單元嚴重畸變而退化 細分局部網(wǎng)格或者控制調(diào)整關鍵區(qū)域的網(wǎng)格,數(shù)據(jù)儲存,計算方法、解題性質(zhì)、解題規(guī)模,注意網(wǎng)格的劃分 選擇合適的解算方法 控制解題的規(guī)模,減少運算次數(shù)，降低解題規(guī)模,選擇合適的解算方法，控制解題規(guī)模,50,材料成形中的非線性問題,1.材料非線性 材料本構方程非線性 彈塑性、剛彈性、剛黏塑性、黏彈塑性 2.幾何非線性 3.邊界非線性,51,2.2 有限差分法基礎,一種直接將微分問題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題的近似數(shù)值解法。 基本思想

26、數(shù)值微分法 是把連續(xù)的定解區(qū)域劃分成差分網(wǎng)格，用有限個節(jié)點代替原連續(xù)求解域。 把原方程和定解條件中的微商用差商來近似 把原微分方程和定解條件近似地用代數(shù)方程組代替，即有限差分方程,52,差分網(wǎng)格通常為矩形在邊界不規(guī)則或者形狀復雜時精度降低,有限元網(wǎng)格,有限差分網(wǎng)格,53,差分概念,自變量x的解析函數(shù) y =f (x)，則有： dx,dy自變量和函數(shù)的微分 函數(shù)對自變量的一階導數(shù) 函數(shù)對自變量的一階差商,,差商,54,差分方向,向前差分 向后差分 中心差分,55,差商的截斷誤差,將函數(shù)f (x+x)按Taylor級數(shù)展開 向前 向后 中心,56,,二階中心差商 通常采用向前差商的向后差商

27、 截斷誤差與(x)2 同一數(shù)量級 一階向前差商 一階向后差商 一階計算精度 一階中心差商 二階中心差商 二階計算精度,57,我們在彈性體上，用相隔等間距h而平行于坐標軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，x=y=h，如圖。,設f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在--上,它只隨x坐標的改變而變化。在鄰近結(jié)點處，函數(shù)f可展為泰勒級數(shù)如下：,58,我們將只考慮離開結(jié)點充分近的那些結(jié)點，即（x-x0）充分小。于是可不計（x-x0）的三次及更高次冪的各項，則上式簡寫為：,在結(jié)點，x=x0-h, 在結(jié)點1, x=x0+h，代入(b) 得：,59,聯(lián)立(c),(d),解

28、得差分公式：,同理，在網(wǎng)線--上可得到差分公式,60,從而可導出其它的差分公式如下：,61,相隔2h的兩結(jié)點處的函數(shù)值來表示中間結(jié)點處的一階導數(shù)值，可稱為中點導數(shù)公式。,以相鄰三結(jié)點處的函數(shù)值來表示一個端點處的一階導數(shù)值，可稱為端點導數(shù)公式。,中點導數(shù)公式與端點導數(shù)公式相比，精度較高。因為前者反映了結(jié)點兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點一邊的函數(shù)變化。,62,邊界元法簡介,邊界元法（boundary element method） 一種結(jié)合有限元法和邊界積分法發(fā)展起來的一種新數(shù)值方法 只在定義域的邊界上劃分單元，用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊界條件。 適用于應力（薄板）、流體力學、聲場、電磁場

29、等問題,63,邊界元法基本思想,以微分控制方程的基本解為權函數(shù)，利用加權余量法將區(qū)域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分，并結(jié)合求解域邊界的離散，構建基于邊界單元的代數(shù)方程組，然后進行計算求解 以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界元插值離散，化為代數(shù)方程組求解 降低了問題的維數(shù)，從而顯著降低了自由度數(shù) 邊界的離散比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組,64,加權余量法簡介,一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā)，尋求邊值問題近似解的數(shù)學方法。 從靜力發(fā)展到了動力、穩(wěn)定、材料非線性和幾何非線性等各方面。 在求解域上建立一個試函數(shù) 試函數(shù)由完備函

30、數(shù)集的子集構成。已被采用過的試函數(shù)有冪級數(shù)、三角級數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項式等等。 試函數(shù)與真實解之間的偏差，即余量（內(nèi)部和邊界） 引入權函數(shù)，定義消除余量的條件 加權余量法就是一種定義近似解與真解之間余量，并設法使其最小的方法。,65,設問題的控制微分方程為: 在V域內(nèi) 在S邊界上 式中 : L、B分別為微分方程和邊界條件中的微分算子； f、g 為與未知函數(shù)u無關的已知函數(shù)域值； u為問題待求的未知函數(shù)。,66,,當利用加權余量法求近似解時，首先在求解域上建立一個試函數(shù) ， 一般具有如下形式：,式中： 待定系數(shù)，也可稱為廣義坐標；,取自完備函數(shù)集的線性無關的

31、基函數(shù)。,由于 一 般只是待求函數(shù)u的近似解，因此代入后將得不到滿足，若記：,在V域內(nèi),在S邊界上,顯然 反映了試函數(shù)與真實解之間的偏差，它們分別稱 做內(nèi)部和邊界余量。,67,若在域V內(nèi)引入內(nèi)部權函數(shù) ，在邊界S上引入邊界權函數(shù) 則可建立n個消除余量的條件，一般可表示為：,不同的權函數(shù) 和 反映了不同的消除余量的準則。從上 式可以得到求解待定系數(shù)矩陣C的代數(shù)方程組。一經(jīng)解得待定 系數(shù)，由式(5.1.3)即可得所需求解邊值問題的近似解。,68,由于試函數(shù) 的不同，余量 和 可有如下三種情況， 依此加權余量法可分為： 1內(nèi)部法 試函數(shù)滿足邊界條件，也即 此時消除余量的條

32、件成為: 2邊界法 試函數(shù)滿足控制方程，也即 此時消除余量的條件為:,69,3混合法 試函數(shù)不滿足控制方程和邊界條件，此時消除余量的條件為: 顯然，混合法對于試函數(shù)的選取最方便，但在相同精度條件下，工作量最大。對內(nèi)部法和邊界法必須使基函數(shù)事先滿足一定條件，這對復雜結(jié)構分析往往有一定困難，但試函數(shù)一經(jīng)建立，其工作量較小。,70,邊界元法特點,1 前處理工作量小 2 解算規(guī)模小 3 求解奇異性問題時計算精度高 4 在載荷集中和半無限域等問題上有優(yōu)勢 相對于有限元法，邊界元法發(fā)展較慢，,71,有限元法解決應力集中問題,在應力分析中對于應力集中區(qū)域必須劃分很多的單元，從而增加了求解

33、方程的階數(shù)，計算費用也就隨之增加 用位移型有限元法求解出的應力的精度低于位移的精度，對于一個比較復雜的問題必須劃分很多單元，相應的數(shù)據(jù)輸人量就很大，同時，在輸出的大量信息中，又有許多并不是人們所需要的。,72,1.使問題的維數(shù)降低一維 原為三維空間的可降為二維空間，原為二維空間的問題可降為一維。 2.只需將邊界離散而需將區(qū)域離散化 所劃分的單元數(shù)目遠小于有限元，這樣它減少了方程組的方程個數(shù)和求解問題所需的數(shù)據(jù)，不但減少了準備工作，而且節(jié)約了計算時間。,邊界元法與有限元法比較,73,3.由于直接建立在問題控制微分方程和邊界條件上的，不需要事先尋找任何泛函。有限元法是以變分問題為基礎，如果泛函不存

34、在就難于使用。 可以求解經(jīng)典區(qū)域法無法求解的無限域類問題。 4.由于邊界元法引入基本解，具有解析與離散相結(jié)合的特點，因而具有較高的精度。,74,邊界元法的缺點,對于非均值和非線性問題求解比較困難 用邊界元法解非線性問題時，遇到同非線性項相對應的區(qū)域積分，這種積分在奇異點附近有強烈的奇異性，使求解遇到困難。,75,用迭代法可逐步精確方程 根的近似值，但必須要找到 的等價方程 ,如果 選得不合適,不僅影響收斂速度,而且有可能造成迭代格式發(fā)散。能否找到一種迭代方法, 結(jié)構簡單,收斂速度快。這里通過牛頓迭代法的簡單介紹，使大家了解數(shù)值求解過程。,牛頓迭代法,,,,,,計算方法,76,計算方法,取x0作為初始近似值，將f(x)在x0做Taylor展開:,,重復上述過程 ,作為第一次近似值,一、牛頓迭代法,基本思想：將非線性方程f(x)=0 線性化,Newton 迭代公式,77,計算方法,二、牛頓法的幾何意義,,,,,x 1,x 2,,,牛頓法也稱為切線法,78,計算方法,例 1 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5.,解 Newton迭代格式為,79,計算方法,例2,解：設,取,則由Newton迭代公式,用 Newton 迭代法求,選取初始值,