（全國通用）高考數(shù)學二輪復習 板塊三 專題突破核心考點 專題六 函數(shù)與導數(shù) 第4講 導數(shù)的熱點問題課件

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1、第4講導數(shù)的熱點問題專題六函數(shù)與導數(shù)板塊三專題突破核心考點考情考向分析利用導數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問題，高考中常與函數(shù)零點、方程根及不等式相結合，難度較大.熱點分類突破真題押題精練內容索引熱點分類突破用導數(shù)證明不等式是導數(shù)的應用之一，可以間接考查用導數(shù)判定函數(shù)的單調性或求函數(shù)的最值，以及構造函數(shù)解題的能力.熱點一利用導數(shù)證明不等式解答例例1(2018湖南長沙雅禮中學、河南省實驗中學聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(x)0對于xR恒成立.(1)求實數(shù)a的值；解解由f(x)ex(aexax)0對于xR恒成立，設函數(shù)g(x)aex

2、ax，可得g(x)aexax0對于xR恒成立，g(0)0，g(x)g(0)，從而x0是g(x)的一個極小值點，g(x)aex1，g(0)a10，即a1.當a1時，g(x)ex1x，g(x)ex1，x(，0)時，g(x)0，g(x)在(0，)上單調遞增，g(x)g(0)0，故a1.證明證明證明當a1時，f(x)e2xexxex，f(x)ex(2exx2).令h(x)2exx2，則h(x)2ex1，當x(，ln 2)時，h(x)0，h(x)在(ln 2，)上為增函數(shù)，h(1)0，在(2，1)上存在xx0滿足h(x0)0，h(x)在(，ln 2)上為減函數(shù)，當x(，x0)時，h(x)0，即f(x)0

3、，f(x)在(，x0)上為增函數(shù)，當x(x0，ln 2)時，h(x)0，即f(x)0，f(x)在(x0，ln 2)上為減函數(shù)，當x(ln 2,0)時，h(x)h(0)0，即f(x)h(0)0，即f(x)0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，f(x)在(ln 2，)上只有一個極小值點0，綜上可知，f(x)存在唯一的極大值點x0，且x0(2，1).h(x0)0，2 x020，0ex00020eeexxxx用導數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)；對x1，x2a，b，且x1x2，則f(x1)f(x2).對于減函數(shù)有類似結論.(2)利用最

4、值：若f(x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m)，則對xD，有f(x)M(或f(x)m).(3)證明f(x)g(x)，可構造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練1(2018荊州質檢)已知函數(shù)f(x)axln x.(1)討論f(x)的單調性；當a0時，則f(x)0時，綜上當a0時，f(x)在(0，)上單調遞減；證明證明證明令g(x)f(x)2axxeax1xeax1axln x，設r(x)xeax11(x0)，則r(x)(1ax)eax1(x0)，eax10，h(t)h(e2)0；g(x)0，故f(x)2axxeax1.熱點二利用導數(shù)討論方程根的

5、個數(shù)方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的走勢，通過數(shù)形結合思想直觀求解.解答例例2(2018衡水金卷分科綜合卷)設函數(shù)f(x)ex2aln(xa)，aR，e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若a0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)內單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；解解函數(shù)f(x)在0，)內單調遞增，即aexx在0，)內恒成立.記g(x)exx，則g(x)ex10恒成立，g(x)在區(qū)間0，)內單調遞減，g(x)g(0)1，a1，即實數(shù)a的取值范圍為1，).解答知f(x)在區(qū)間(a，)內單調遞增.f(x)在區(qū)間(a，)內存在

6、唯一的零點x0，0ex當axx0時，f(x)x0時，f(x)0，f(x)單調遞增.f(x)minf(x0)2aln(x0a)0ex當且僅當x0a1時，取等號.f(x)minf(x0)0，即函數(shù)f(x)沒有零點.0ex(1)函數(shù)yf(x)k的零點問題，可轉化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點問題.(2)研究函數(shù)yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練2(2018全國)已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當x0時，f(x)1；證明證明證明當a1時，f(x)1等價于(x21)ex10.設函數(shù)g(x)(x21)ex1，則g(x)(

7、x22x1)ex(x1)2ex.當x1時，g(x)0，h(x)沒有零點；()當a0時，h(x)ax(x2)ex.當x(0,2)時，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，)上單調遞增.因為h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一個零點；由(1)知，當x0時，exx2，故h(x)在(2,4a)上有一個零點.因此h(x)在(0，)上有兩個零點.生活中的實際問題受某些主要變量的制約，解決生活中的優(yōu)化問題就是把制約問題的主要變量找出來，建立目標問題即關于這個變量的函數(shù)，然后通過研究這個函數(shù)的性質，從而找到變量在什么情況下可以達到目標最優(yōu).熱點三利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題解答例例3羅

8、源濱海新城建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個橋墩的工程費用為32萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2 )x萬元.假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元.(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式；解解設需新建n個橋墩，解答(2)當m96米時，需新建多少個橋墩才能使余下工程的費用y最??？32x令f(x)0，得 64，所以x16.當0 x16時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,16)內為減函數(shù)；當16x0，f(x)在區(qū)間(16,96)內為增函數(shù)，所以f(x)在x16處取得最小值，32x答答需

9、新建5個橋墩才能使余下工程的費用y最小.利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)f(x).(2)求導：求函數(shù)的導數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)作答：回歸實際問題作答.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練3圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.若凹槽的強度T等于橫截面的面積S與邊AB的乘積，設

10、AB2x，BCy.(1)寫出y關于x的函數(shù)表達式，并指出x的取值范圍；解解易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為x.所以42x2yx，解答(2)求當x取何值時，凹槽的強度最大.8x2(43)x3.令T16x3(43)x20，真題押題精練(2017全國)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調性；真題體驗解答解解f(x)的定義域為(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0，則f(x)0，則由f(x)0，得xln a.當x(，ln a)時，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上單調遞減，在(ln a，)上單調遞增.(2)若f(

11、x)有兩個零點，求a的取值范圍.解答解解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一個零點.(ii)若a0，由(1)知，當xln a時，即f(ln a)0，故f(x)沒有零點；當a1時，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個零點；又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一個零點.因此f(x)在(ln a，)上有一個零點.綜上，a的取值范圍為(0,1).則f(n0)(a a2)n0 n0 n00.0en0en0en02n押題預測已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函數(shù).(1)若0a1，證明：函數(shù)G(x)f(1x)g(x

12、)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；押題依據(jù)押題依據(jù)有關導數(shù)的綜合應用試題多考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的單調性、導數(shù)與不等式等基礎知識和基本方法，考查分類整合思想、轉化與化歸思想等數(shù)學思想方法.本題的命制正是根據(jù)這個要求進行的，全面考查了考生綜合求解問題的能力.證明押題依據(jù)證明證明由題意知G(x)asin(1x)ln x，acos(1x)0，故函數(shù)G(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù).證明證明證明由(1)知，當a1時，G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上單調遞增.sin(1x)ln x0，m0恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)b的值.解解由對任意的x0，m0恒成立，即當x(0，)時，F(xiàn)(x)min0.又設h(x)F(x)ex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)單調遞增，又h(0)0，則必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(xiàn)(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，)上單調遞增，b 2x0200200e2e2xxxx又m0，則x0(0，ln 2)，0ex0ex0ex0ex0exm(x)在(0，ln 2)上單調遞增，m(x)在(0，ln 2)上單調遞增，m(x)m(ln 2)2ln 2，b2ln 2，又b為整數(shù)，最小整數(shù)b的值為2.