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1、高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 9.2 兩直線的位置關(guān)系 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 一 .直線與直線的位置關(guān)系： 1.平行與垂直 若直線 l1和 l2有斜截式方程 l1： y=k1x+b1， l2： y=k2x+b2，則 （ 1）直線 l1 l2的充要條件是 k1=k2且 b1b2. （ 2）直線 l1 l2的充要條件是 k1k2= 1. 若 l1和 l2都沒有斜率，則 l1與 l2平行或重合 . 若 l1和 l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為 0，則 l1 l2. 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 2.相交 （ 1）交點： 直線 l1： A1x+B1y+C1=0和 L2： A2x+B2y+C2=0的公共點
2、的坐標與方程組 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解一一對應(yīng) . 相交 方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解； 平行 方程組無解 . 重合 方程組有無窮多個解 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 二 .點與直線的位置關(guān)系： 若點 P（ x0， y0）在直線 Ax+By+C=0上， 則有 Ax0+By0+C=0； 若點 P（ x0， y0）不在直線 Ax+By+C=0上， 則有 Ax0+By0+C0。 三 .兩點間的距離公式： 已知 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y ||AB 22 2 1 2 1( ) ( )x x y y
3、 則 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 四 .點 P（ x0， y0）到直線 l： Ax+By+C=0的距離： d= 22 00 || BA CByAx 兩平行線 l1： Ax+By+C1=0和 l2： Ax+By+C2=0之間的距離： d= 22 12 || BA CC 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 五 .直線系 (屬知識拓展 ) 1共點直線系方程： 過兩直線 的交點的直線系方程 為參數(shù)， 不包括在內(nèi)） 0: 0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl (0)( 222111 CyBxACyBxA 0222 CyBxA 高
4、考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 2平行、垂直直線系： Ax+By+m=0(m為參數(shù) )表示與 Ax+By+C=0 平行的 直線系 Bx--Ay+n=0(n為參數(shù) )表示與 Ax+By+C=0垂直的直 線系 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 確定參數(shù)，使兩直線分別相交、平行、重合 已知兩直線 l1： x+ 2y+6=0， l2：（ -2） x+3 y+2 =0， 當(dāng)為何值時， l1與 l2 (1)相交； (2)平行； (3)重合 ? 思路分析：依據(jù)兩直線位置關(guān)系判斷方法便可解決 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)
5、 解：當(dāng) m=0時， l1： x+6=0， l2： x=0， l1 l2. 當(dāng) m=2時， l1： x+4y+6=0， l2： 3y+2=0， l1與 l2相交 . = 當(dāng) 0且 2時，由 2 1 m m m 3 2 得 m=-1或 m=3， 由 = 得 =3. 2 1 m m2 6 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 故 (1)當(dāng) -1， 3且 0時， l1與 l2相交； (2)當(dāng) =-1或 =0時， l1 l2； （ 3）當(dāng) =3時， l1與 l2重合 . 點評與感悟 ：對這類問題，要從直線有斜率、沒有斜率
6、兩個方面進行分類討論 . 在確定參數(shù)的值時，應(yīng)注意先討論、系數(shù)為的情況。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 兩直線垂直的充要條件的應(yīng)用 已知兩條直線 和 互相垂直，則 等于 2y ax ( 2) 1y a x a （ A） 2 （ B） 1 （ C） 0 （ D） -1 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 解析：兩條直線 和 互相垂直，則 ， a= 1，選 D. 2y ax ( 2) 1y a x ( 2) 1aa 點評與感悟：（ 1）若直
7、線 l1和 l2有斜截式方程 l1： y=k1x+b1， l2： y=k2x+b2，則 直線 l1 l2的充要條件是 k1k2= 1. (2) 設(shè) l1： A1x+B1y+C1=0， l2： A2x+B2y+C2=0.則 l1 l2A1A2+B1B2=0. 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 點到直線的距離公式的應(yīng)用 已知點 P（ 2， 3）到直線 l:3x+my-4=0的距離為 2， 求實數(shù) m的值。 思路分析：逆用點到直線的距離公式即可求得。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 2: 2 , 1 2 3 2 0 , . mm 2 3 2 + 3 m - 4
8、解 由 點 到 直 線 的 距 離 公 式 得 ， 化 簡 得 5 9+m 8 解 得 m=-4 或 m= 5 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 點到直線的距離公式與直線的方程的整合 已知點 P（ 2， -1），求： (1)過 P點與原點距離為 2的直線的方程； (2)過 P點與原點距離最大的直線的方程， 最大距離是多少？ (3)是否存在過 P點與原點距離為 6的直線？ 若存在，求出方程；若不存在，請說明 理由。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 思路分析： 已知直線過定點求方程，首先想到的是求斜率或設(shè)方 程的斜截式，但不要忘記考察斜率不存在的直線是否 滿足題意 .若滿足，可先把它求出，然后再考慮
9、斜率 存在的一般情況 .圖形中量的最值問題往往可由幾何 原理作依據(jù)求得解決 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 解：（ 1）過 P點的直線 l與原點的距離為 2，而 P點坐標 為（ 2， -1），可見過 P（ 2， --1）垂直于 x軸的直線滿 足條件，其方程為： x=2. 若斜率存在，設(shè) l的方程為 ， 即 )2(1 xky 012 kykx 由已知，得 解得 ， 2 1 12 2 k k 4 3k 這時設(shè) l的方程為 01043 yx 綜上，可得直線 l的方程為 x=2.或 01043 yx 高
10、考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) （ 2） P點在直線 l上 , 原點到直線的距離 d<= 過 P點與原點 O距離最大的直線是 過 P點且與 PO垂直的直線 , OP 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 由 ,得 OPl 1l O Pkk ,得直線 l的方程為 ,即直 線 是過 P點且與原點 O距離最大的直線， 最大距離為 21 OP l kk 052 yx 052 yx 5 5 5 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) (3) 解法一：由（ 2）知，過 P點的直
11、線與原點 O 最大距離為 ，故過 P點不存在 到原點距離為 6的直線。 5 5 5 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 解法二：由于斜率不存在且過 P點的直線到原點距離不是 6，因此，設(shè)過 P點到原點距離為 6的直線的斜率存在且 方程為 y+1=k（ x 2），即 kx y 2k 1=0.原點 O到它 的距離 d= =6，即 32k2 4k+35=0.因 =16 4 32 35<0，故方程無解 .所以不存在這樣的直線 . 1 |12| 2 k k 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 點評與感悟 （ 1） 求直線方程時一定要注意斜率不存在
12、的況； （ 2） 第（ 3）問是判斷存在性問題，通常的解決方法是先假設(shè)判斷 對象存在， 令其滿足應(yīng)符合的條件， 若有解，則存在，并求得； 若無解，則不存在，判斷無解的過程就是結(jié)論的理由 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 與兩直線的交點有關(guān)的問題 求過直線 和 的交點，且與直線 x+4y-7=0垂直的直線方程。 03251 yx：l 08532 yx：l 思路分析 根據(jù)所求的直線與已知直線的位置關(guān)系， 靈活選擇直線方程的形式。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 法：由 求得 l1與 l2的交點
13、 的坐標為（ 1， -1）。 0853 0325 yx yx 因為直線 x+4y-7=0的斜率為 -1/4，所以直線 l的斜率為。 因此滿足條件的直線 l的方程為 y+1=4(x-1),即 4x-y-5=0。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 法：由直線 l垂直于直線 x+4y-7=0，則可設(shè)直線 l的方程 為 4x-y+t=0。 因為 l1與 l2的交點為 (1,-1)，所以 從而 t=-5 0)1(14 t 所以直線 l的方程為 4x-y-5=0。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 法：由于直線過 l1與 l2的交點，所以直線 l的方程為， 0)853()325( yxy
14、x 即 083)52()35( yx 因為 l與直線 x+4y-7=0垂直， 所以 452 35 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 從而 17 13 所以直線 l的方程為 x+4y-7=0。 點評與感悟 ：與直線 平行的直線 可表示為 ； 與直線 垂直的直線可表示為 . :0l Ax By C 1 0A x B y C :0l Ax By C 1 0B x A y C 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 兩直線的綜合問題 當(dāng) m為何值
15、時，三條直線 l1:4x+y=4, l2:mx+y=0, l3:2x-3my=4不能構(gòu)成三角形？ 思路分析： 三條直線不能構(gòu)成三角形的情況： 有兩條直線平行； 三條直線相交于一點 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 解：當(dāng) l1 l2時， m=4. 當(dāng) l1 l3時， = 即 m=-. 4 2 1 3m 6 1 當(dāng) l2 l3時， = 無解 . 2 m 1 3m 當(dāng) l1,l2,l3相交于一點時， 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 由 得交點 A( , ) ,0 ,44 ymx yx m4 4 m m 4 4 A點在 l3上，即 -3m =4. m4 8 m m 4 4 解得 m= 或 m=-1. 3 2 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 綜上，當(dāng) m=-1, -1/6, 2/3, 4時三條直線不能構(gòu)成三角形 . 點評與感悟： 三條直線不能構(gòu)成三角形的情況有 其中有兩條直線平行或三條直線相交 于一點 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)
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