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1、第六章 圖形的性質 (二 ) 第 26講 幾何作圖 1 尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺 2 基本作圖 (1)作一條線段等于已知線段； (2)作一個角等于已知角； (3)作角的平分線； (4)作線段的垂直平分線； (5)過一點作已知直線的垂線 3 利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊作三角形； (2)已知兩邊及其夾角作三角形； (3)已知兩角及其夾邊作三角形； (4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形 4 與圓有關的尺規(guī)作圖 (1)過不在同一直線上的三點作圓 (即三角形的外接圓 )； (2)作三角形的內(nèi)切圓
2、； (3)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 5 有關中心對稱或軸對稱的作圖以及設計圖案是中考的常見類型 1 兩種畫圖方法 對于一個既不屬于尺規(guī)基本作圖 ， 又不屬于已知條件為邊角邊、角邊 角、角角邊、邊邊邊、斜邊直角邊的三角形的作圖題 ， 可以分析圖形中 是否有屬于上述情況的三角形 ， 先把它作出來 ， 再發(fā)展成整個圖形 ， 這 種思考方法 ， 稱為三角形奠基法；也可以按求作圖形的要求 ， 一步一步 地直接畫出圖形 ， 這時 ， 關鍵的點常常由兩條直線 (或圓弧 )相交來確定 ， 稱為交會法 事實上 ， 往往把三角形奠基法和交會法結合使用 2 三點注意 (1)一般的幾何作圖 ， 初中階段
3、只要求寫出已知、求作、作法三個步驟 ， 完成作圖時 ， 需要注意作圖痕跡的保留 ， 作法中要注意作圖語句的規(guī) 范和最后的作圖結論 (2)根據(jù)已知條件作幾何圖形時 ， 可采用逆向思維 ， 假設已作出圖形 ， 再尋找圖形的性質 ， 然后作圖或設計方案 (3)實際問題要理解題意 ， 將實際問題轉化為數(shù)學問題 3 六個步驟 尺規(guī)作圖的基本步驟： (1)已知：寫出已知的線段和角 ， 畫出圖形； (2)求作：求作什么圖形 ， 它符合什么條件 ， 一一具體化； (3)作法：應用 “ 五種基本作圖 ” ， 敘述時不需重述基本作圖的過程 ， 但圖中必須保留基本作圖的痕跡； (4)證明：為了驗證所
4、作圖形的正確性 ， 把圖作出后 ， 必須再根據(jù)已知 的定義、公理、定理等 ， 結合作法來證明所作出的圖形完全符合題設條件 ； (5)討論：研究是不是在任何已知的條件下都能作出圖形；在哪些情況 下 ， 問題有一個解、多個解或者沒有解； (6)結論：對所作圖形下結論 1 (2014安順 )用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角 ， 如圖 ， 能得出 AOB AOB的依據(jù)是 ( ) A SAS B SSS C ASA D AAS 2 (2016曲靖 )下列尺規(guī)作圖 ， 能判斷 AD是 ABC邊上的高是 ( ) B B 3 ( 2015 嘉興 ) 數(shù)學活動課上 ， 四位同學圍繞作 圖問題： “
5、 如圖 ， 已知直 線 l 和 l 外一點 P ， 用直尺和圓規(guī)作直線 PQ ， 使 PQ l 于點 Q. ” 分別作出了 下列四個圖形 其中作法錯誤的是 ( ) , A ) , B ) , C ) , D ) A 4 ( 2015 深圳 ) 如圖 ， 已知 ABC ， AB BC ， 用尺規(guī)作圖的方法在 BC 上取一點 P ， 使得 PA PC BC ， 則下列選項正確的是 ( ) , A ) , B ) , C ) , D ) D 5 (2016麗水 )用直尺和圓規(guī)作 Rt ABC斜邊 AB上的高線 CD， 以下四個 作圖中 ， 作法錯誤的是
6、( ) D 【 例 1】 (2015杭州 )“ 綜合與實踐 ” 學習活動準備制作一組三角形 ， 記這些三角形的三邊分別為 a， b， c， 并且這些三角形三邊的長度為大 于 1且小于 5的整數(shù)個單位長度 (1)用記號 (a， b， c)(abc)表示一個滿足條件的三角形 ， 如 (2， 3， 3) 表示邊長分別為 2， 3， 3個單位長度的一個三角形請列舉出所有滿足條 件的三角形 (2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足 a b c的三角形 (用給定的單位長度 ， 不寫作法 ， 保留作圖痕跡 ) 解： (1)共 9種： (2， 2， 2)， (2， 2， 3)， (2， 3， 3)， (2，
7、3， 4)， (2， 4， 4) ， (3， 3， 3)， (3， 3， 4)， (3， 4， 4)， (4， 4， 4) (2)由 (1)可知 ， 只有 (2， 3， 4)， 即 a 2， b 3， c 4時滿足 a b c.如 圖的 ABC即為滿足條件的三角形 【 點評 】 (1)作三角形包括：已知三角形的兩邊及其夾角 ， 求作三 角形；已知三角形的兩角及其夾邊 ， 求作三角形；已知三角形的三 邊 ， 求作三角形； (2)求作三角形的關鍵是確定三角形的頂點；而求作直角三角形時 ， 一 般先作出直角 ， 然后根據(jù)條件作出所求的圖形 對應訓練 1 (2015南京 )如圖 ， 在邊長
8、為 4的正方形 ABCD中 ， 請畫出以 A為一 個頂點 ， 另外兩個頂點在正方形 ABCD的邊上 ， 且含邊長為 3的所有大小 不同的等腰三角形 (要求：只要畫出示意圖 ， 并在所畫等腰三角形長為 3的邊上標注數(shù)字 3) 解：滿足條件的所有圖形如圖所示： 【 例 2】 兩個城鎮(zhèn) A， B與兩條公路 ME， MF位置如圖所示 ， 其中 ME 是東西方向的公路現(xiàn)電信部門需在 C處修建一座信號發(fā)射塔 ， 要求發(fā)射 塔到兩個城鎮(zhèn) A， B的距離必須相等 ， 到兩條公路 ME， MF的距離也必須 相等 ， 且在 FME的內(nèi)部 (1)那么點 C應選在何處？請在圖中 ， 用尺規(guī)作圖找出符合條件的點
9、C.( 不寫已知、求作、作法 ， 只保留作圖痕跡 ) (2)設 AB的垂直平分線交 ME于點 N， 且 MN 2( 1) km， 在 M處測得點 C位于點 M的北偏東 60 方向 ， 在 N處測得點 C位于點 N的北偏西 45 方向 ， 求點 C到公路 ME的距離 解： (1) 如圖 (2) 作 CD MN 于點 D ， 由題意得： CMN 30 ， CND 45 ， 在 Rt CMD 中 ， CD MD tan CMN ， MD CD 3 3 3 CD ； 在 Rt CND 中 ， CD DN tan CNM ， ND CD 1 CD ；
10、 MN 2( 3 1) km ， MN MD DN CD 3 CD 2( 3 1) km ， 解得： CD 2 km . 點 C 到公路 ME 的距離為 2 km . 對應訓練 2 (2015濟寧 )如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， DAC是 ABC的一個 外角 實驗與操作： 根據(jù)要求進行尺規(guī)作圖 ， 并在圖中標明相應字母 (保留作圖痕跡 ， 不寫 作法 ) (1)作 DAC的平分線 AM； (2)作線段 AC的垂直平分線 ， 與 AM交于點 F， 與 BC邊交于點 E， 連接 AE ， CF. 猜想并證明： 判斷四邊形 AECF的形狀并加以證明
11、 解：如圖所示 ， 四邊形 AE CF 的形狀為菱形 理由如下： AB AC ， ABC ACB ， AM 平分 DAC ， DAM CAM ， 而 DAC ABC ACB ， CAM ACB ， EF 垂直平分 AC ， OA OC ， AOF COE ， 在 AOF 和 COE 中 ， F AO ECO ， OA OC ， AOF COE ， AOF COE ( ASA ), OF OE ， 即 AC 和 EF 互相垂直平分 ， 四邊形 AE CF 的形狀為菱形 【例 3 】 ( 2015
12、孝感 ) 如圖 ， 一條公路的轉彎處是一段圓弧 ( AB ) (1) 用直尺和圓規(guī)作出 AB 所在圓的圓心 O ； ( 要求保留作圖痕跡 ， 不寫作法 ) (2) 若 AB 的中點 C 到弦 AB 的距離為 2 0 m ， AB 8 0 m ， 求 AB 所在圓的半徑 解： (1)如圖 ， 點 O為所求 【點評】 根據(jù) “ 不在同一直線上的三點確定一個圓 ” ， 在 AB 上另找 一點 C ， 分別畫弦 AC ， BC 的垂直平分線 ， 交點即為圓心 O. (2) 連接 OA ， OC ， OC 交 AB 于 D ， 如圖 ， C 為 AB
13、的中點 ， OC AB ， AD BD 1 2 AB 40 ， 設 O 的半徑為 r ， 則 OA r ， OD OC CD r 20 ， 在 Rt OAD 中 ， OA 2 OD 2 AD 2 ， r 2 (r 20) 2 40 2 ， 解得 r 50 ， 即 AB 所在圓的半徑是 5 0 m . 對應訓練 3 (2016青島 )已知：線段 a及 ACB.求作： O， 使 O在 ACB 的內(nèi)部 ， CO a， 且 O與 ACB的兩邊分別相切 解：作 ACB的平分線 CD 在 CD上截取 CO a 作 OE CA于 E
14、， 以 O為圓心 ， OE長為半徑作圓 如圖所示： O即為所求 試題 尺規(guī)作圖 ， 已知頂角和底邊上的高 ， 求作等腰三角形 已知： ， 線段 a. 求作： ABC， 使 AB AC， BAC ， AD BC于 D， 且 AD a. 錯解 如圖 ， (1)作 EAF ； (2)作 AG平分 EAF， 并在 AG上截取 AD a； (3)過 D畫直線 MN交 AE， AF分別于 C， B， ABC為所求作的等腰三角 形 剖析 上述畫法考慮 AD平分 BAC， 等腰三角形頂角的平分線與底邊 上的高重合 ， 但是畫法 (3)沒有注意到要使 AD BC， 也難以使 AB AC. 正解 如圖 ， (1)作 EAF (2)作 AG平分 EAF， 并在 AG上截取 AD a (3)過 D作 MN AG， MN與 AE， AF分別交于 B， C.則 ABC即 為所求作的等腰三角形
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